Maatriksarvutus: Def. 1 (m x n) järku maatriksit A nimetatakse m · n elemendist moodustatud tabelit, milles on m-rida ja n-veergu Def. 2 Maatriksid A ja B loetakse võrdseks, kui nad mõlemad on sama järku ja nende maatriksite kõik vastavad elemendid on võrdsed Def. 3 (m x n) järku A ja B järku maatriksite A ja B summaks nimetatakse sama järku maatriksit -> A+B, mille elementideks on lähtemaatriksite A ja B kõigi vastavate elementide summa. Def. 4 (m x n) järku Maatriksi korrutiseks arvuga lambda nimetame maatriksit, mille elementideks on maatriksi kõigi elementide korrutised arvuga lambda. Def. 5 (m x n) järku A vastandmaatiksiks (-A) nimetatakse sama järku maatriksit, mille elementideks on lähtemaatriksi A kõigi elementide vastandväärtused Def. 6 (m x n) järku maatrikiste A ja B vaheks nimetatame sama järku maatriksi (A-B), mis loetakse võrseks maatriksi A ja maatriksi (-1)*B summa Def. 7 (m x k) järku maatriksi A ja (k x n) järku...
Kompleksarvud · Kui vaatleme ruutvõrrandit x2+1=0 siis selline ruutvõrrand ei ole lahendatav. Kui aga eeldame, et arvu i olemasolu, mille korral i2 =-1 x2=1 x=+- 1. · olgu hulk C kõigi selliste (2*2) ruutmaatriksite hulk, kus iga maatriksi korral tema peadiagonaali elemendid on võrdsed ja kõrvaldiagonaali elemendid on teineteise vastandarvud. · Def1: Kui hulgas on määratud mingisugune tehe ja kui selle hulga mistahes kahe elemendiga sooritatud tehte tulemus osutub uuesti selle sama hulga elemendiks, siis öeldakse, et hulk on vaadeldava tehte suhtes kinnine. · Tuginedes maatriksarvutustele võime väita, et hulgas C kehtivad järgmised omadused:
Determinanti on võimalik arendada tema suvalise rea/veeru järgi. Kompleks arvutus i2 = -1 = a + bi a-kompleksarvu reaalosa bi imaginaarosa b imaginaarosa kordaja i imaginaarühik Olgu hulk C kõigi selliste(2 × 2)järku ruutmaatriksite hulk, kus iga maatriksi korral tema peadiagonaali elemendid on võrdsed ning kõrvaldiagonaali elemendid teineteise vastandarvud. = ( a -b) (b a) Def1 Kui hulgas on määratud tehe/ arvutus operatsioon ja kui selle hulga mistahes kahe elemendiga sooritatud tehte tulemus on uuesti selle hulga element, siis öeldakse, et hulk on vaadeldava tehte suhtes kinni.
Majandusmatemaatika ja Statistika (RP089) 4 5 4 5 4 5 4*4+5*(-6) 4*5+5*2 -14 30 2 A = -6 2 = -6 2 * -6 2 = -6*4+2*(-6) -6*5+2*2 = -36 -26 DETERMINANDID -on seotud maatriksitega. Determinandiks nimetatakse ruutmaatriksite vastavat arvu, mis on leitud teatud eeskirja kohaselt. Tähis on D, kui seostame maatriksiga siis DA. a11 a12 1. DA = a21 a22 = a11*a22 a12*a21 a11 a12 a13 2. DA = a21 a22 a23 = a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a21*a32*a13 - a31*a22*a13 a21*a12*a33 a32*a23*a11 a31 a32 a33 Determinantide reegel (Sarruse reegel) + * * * + * * * +
veerge kui maatriksis B Maatrikskorrutamise omadused: Maatriksite korrutamine on assotiatiivne, st mistahes kolme ruutmaatriksi X,Y,Z korral (XY)Z=X(YZ) Mistahes ruutmaariksi X ning vastava ühikmaatriksi E korral XE=EX=X Mistahes kolme ruutmaatriksi X,Y,Z korral ( X ±Y ) Z=XZ ± YZ , X ( Y ± Z )= XY ± XZ Mistahes ruutmaatriksite X ja Y korral (XY) T=YTXT Maatriksite korrutamine on mittekommutatiivne, st AB ≠ BA 48.maatriksi transponeerimine-transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude äravahetamisel tähis AT 49.Maatriksi elemendi täiendusmiinor- tähis Mij . Kui maatriksist ära jätta i-s rida ja j-s veerd, siis saadud (n-1)-järku ruutmaatriksi determinanti nimetatakse elemendi aij täiendusmiinoriks.
fikseeritud ridade i1...im toetuv m-järku miinor ja teiseks teguriks on tema algebraline täiend, summaga st |X|= , kus summa tuleb võtta üle kõigi miinorite Mm, mis toetuvad ridadele i1, i2, . . . , im. *Valemit |X| = xk1Xk1 + xk2Xk2 + · · · + xknXkn nim. determinandi |X| arendiseks k-nda rea järgi.. *Valemit |X| = x1kX1k + x2kX2k + ··· + xnkXnk nim. determinandi |X| arendiseks k-nda veeru järgi. TEOREEM MAATRIKSITE KORRUTAMISE DETERMINANDIST: *Sama järku ruutmaatriksite korrutise determinant võrdub nende maatriksite determinantide korrutisega X,Y Mat(n,n) => |XY|=|X||Y| *kehtivad valemid: |XYT|=|X||Y| ja |XTY| =|X||Y| PÖÖRDMAATRIKS: Pöördmaatriks Me nimetame n-järku maatriksi A pöördmaatriksiks sellist n-järku maatriksit X, mis rahuldab kahte maatriks võrrandit: AX=E ja XA = E Regulaarne (Singulaarne) maatriks - Me nimetame n-järku maatriksit Y regulaarseks (singulaarseks), kui |Y| 0, (|Y |= 0). OMADUSED:
6 -1 8 = 0 2 8 -3 1 -2 N¨ aide: rea- ja veeruvektorite korrutised 4 1, 2, 3 5 = 1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6 = 32 6 4 4·1 4·2 4·3 4 8 12 5 1, 2, 3 = 5 · 1 5 · 2 5 · 3 5 10 15 6 6·1 6·2 6·3 6 12 18 N¨ aide: ruutmaatriksite korrutised 1 2 5 6 1·5+2·7 1·6+2·8 19 22 = = 3 4 7 8 3·5+4·7 3·6+4·8 43 46 5 6 1 2 5·1+6·3 5·2+6·4 23 34 = = 7 8 3 4 7·1+8·3 7·2+8·4 31 46 3.3 Maatrikskorrutise mittekommutatiivsus ¨ Oeldakse, et maatriksid A ja B kommuteeruvad, kui AB = BA.
algebraliste t¨aiendite j¨ark u ¨he v~orra v¨aiksem kui maatriksi X j¨ark. Veel meeldivam on valemite (4.6) v~oi (4.7) rakendamine, kui vastavalt maatriksi X i-nda rea v~oi i-nda veeru elementide seas on v~oimalikult palju nulle. Viimane on saavutatav, rakendades eelnevalt determinandi omadusi. 39 5. TEOREEM MAATRIKSITE KORRUTISE DETERMINANDIST Teoreem 5.1. Sama j¨ arku ruutmaatriksite korrutise determinant v~ or- dub nende maatriksite determinantide korrutisega, s.o. X, Y M at(n, n) = |XY | = |X||Y |. T~oestus. Me moodustame n-j¨arku maatriksite abil 2n-j¨arku maat- riksi, mille determinandi leiame kahel erineval moel, saades kord |X||Y | ja teinekord |XY |. Kuna saadud v~orduste vasakud pooled u ¨htuvad, siis saamegi teoreemi 5.1. Selline on selle teoreemi t~oestuse idee
algebraliste t¨aiendite j¨ark u ¨he v˜orra v¨aiksem kui maatriksi X j¨ark. Veel meeldivam on valemite (4.6) v˜oi (4.7) rakendamine, kui vastavalt maatriksi X i-nda rea v˜oi i-nda veeru elementide seas on v˜oimalikult palju nulle. Viimane on saavutatav, rakendades eelnevalt determinandi omadusi. 39 5. TEOREEM MAATRIKSITE KORRUTISE DETERMINANDIST Teoreem 5.1. Sama j¨ arku ruutmaatriksite korrutise determinant v˜ or- dub nende maatriksite determinantide korrutisega, s.o. X, Y ∈ M at(n, n) =⇒ |XY | = |X||Y |. T˜oestus. Me moodustame n-j¨arku maatriksite abil 2n-j¨arku maat- riksi, mille determinandi leiame kahel erineval moel, saades kord |X||Y | ja teinekord |XY |. Kuna saadud v˜orduste vasakud pooled u ¨htuvad, siis saamegi teoreemi 5.1
mugavamaks. Selline vaatevinkel aitab meil varsti siduda maatriksid ka lineaarvõrrandite süstee- miga. 153 Determinant ja lineaarvõrrandisüsteem Kuigi väga põnevaks osutuvad nii kui muu suurusega maat- riksid, keskendume edasises ning maatriksitele. maatriks Esiteks tutvustame ühte ruutmaatriksite (ruutmaatriksis on sama palju tulpasid ja veerge) karakteristikut, mida kutsutakse determinandiks. Seejärel üritame sel- gitada, kuidas determinandid on seotud lineaarvõrrandisüsteemide lahenditega ning kust ikkagi pärinevad kooliõpikute mõned müstilised võrrandisüsteemide lahendamisviisid. Käesolev peatükk ulatub kindlasti kooliprogrammist välja, aga ühtlasi aitab ehk
annaabi.ee 
