6. Keskväärtusteoreemid. L'Hospitali reegel. 7. Taylori valem polünoomi korral. Taylori valem. Taylori valemi jääkliige. 8. Joone puutuja ja normaal. Funktsiooni lokaalne ekstreemum. Joone kumerus ja nõgusus. Käänupunktid. 9. Funktsiooni uurimine. Iteratsioonimeetod. 10. Määramata integraal ja selle omadused. Määramata integraalide tabel. Muutujate vahetus määramata integraalis. Ositi integreerimine määramata integraalis. 11. Hulkliikme teguriteks lahutamine. Ratsionaalfunktsiooni osamurdudeks lahuta-mine. Lihtsamate osamurdude integreerimine. 12. Trigonomeetriliste ja hüperboolsete funktsioonide integreerimine. 13. Algebraliste funktsioonide integreerimine. Mitte-elementaarsed integraalid. 14. Määratud integraal ja selle omadused 15. Määratud integraal ülemise raja funktsioonina. Newton-Leibnizi valem. Muutujate vahetus ja ositi integreerimine määratud integraalis. 16. Määratud integraali rakendused. Päratud integraalid. Õppeaine jaotub kahte ossa:
Elementaarfunktsiooniks nim. iga funkstiooni, mis on esitatav põhiliste
elementaarfunktsioonide kaudu.
DEF 2. Funktsiooni Pn(x)=a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an nim. n-astme polünoomiks ehk
täisratsionaalseks funktsiooniks.
Algebra põhiteoreem: igal komplekssete kordajatega n-astme polünoomil Pn(x) on täpselt n
kompleksset nullkohta x1, x2,...,xn.
DEF 3. Ratsionaalfunktsiooniks ehks murdratsionaalseks funktsiooniks nim. kahe polünoomi
jagatisena esitatavat funktsiooni f(x)= Qm(x)/Pn(x)
DEF 4. Ratsionaalfunktsiooni nim. lihtmurruks, kui m
liitfunktsiooni moodustamise teel.: konstantne, astme-,eksponent-, logaritm-,trigo-,arkus-, hüperbppolsed-, areafunktsioonid. n-astme polünoom e täisratsionaalne funkts: Pn(x)=a0xn+a1xn-1+...an-1x+an( a00), a-d on const, n-N, x-muutuja Algebra põhiteoreem: igal komplekssete kordajatega n-astme polünoomil on n kompleksset 0-kohta x1.. Ratsionaalfunkts e murdratsionaalseks funkts nim kahe polünoomi jagatisena esitatavat funkts-i f(x)=Qm(x)/Pn(x) Ratsionaalfunktsiooni nim lihtmurruks , kui mn, vastasel korral aga liigmurruks Murdlineaarseks funkts nim funkts kujul a0x+a1/b0x+b1, b00 Algebraliseks funkts nim funkts y=f(x), mis rahuldab võrrandit P ( x ) y n + Q ( x ) y n -1 + ... + R ( x ) y + S ( x ) = 0 ( n N ) , kus R(x), Q(x), ... , R(x), S(x) on mingid polünoomid. Irratsionaalfunkts nim algebralist funkts-i, mis ei ole ratsionaalfunkts Funktsioone, mis ei ole algebralised nim transtsendentseteks funkts-ideks( nt trigof, ekspoent, logaritmf)
.....................21 32. Funktsiooni ekstreemumite tarvilikud ja piisavad tingimused. ............................................... 22 33. Funktsiooni graafiku asümptoot, asümptootide liigid, teha selgitav joonis. ........................... 22 34. Määramata integraal, määramata integraali omadused, määramata integraali arvutusvõtted (ositi integreerimine ja asendusvõte). ............................................................................................23 35. Kirjeldada ratsionaalfunktsiooni integreerimist. ..................................................................... 23 36. Esimest ja teist liiki osamurrud. Tuletada valemid nende integreerimiseks. ...........................24 Osamurdude integreerimine...........................................................................................................24 37. Kirjeldada kõvertrapetsi pindala leidmist. ...............................................................................24 38
kusjuures Pn(x) on n-astme polünoom, st Pn(x) = a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an kusjuures suurused ak (0 k n) on konstandid ja a0 0 ja Sl(x) on l astme trapetsi pindala S avaldub kujul = () - () Tõestus polünoom. Selle ratsionaalfunktsiooni integreerimiseks eraldame esmalt (kui l n) Lause: Olgu lõigul [a; b] pidev funktsioon y = f (x) 0 antud parameetriliste sup ()
96 5 Integraalid 103 5.1 Algfunktsioon ja m¨a¨aramata integraal. . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.2 Integraalide tabel. M¨a¨aramata integraali omadused. . . . . . . . 104 5.3 Asendusv~ote ja ositi integreerimine m¨a¨aramata integraali aval- damisel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.4 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. Ratsionaalfunktsiooni in- tegraalile taanduvad integraalid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.5 Integraalsumma ja m¨a¨aratud integraal. . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.6 M¨a¨ aratud integraali geomeetriline sisu. . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.7 M¨a¨ aratud integraali omadused. Integraali keskv¨a¨artusteoreem. . 122 5.8 Muutuva u ¨ lemise rajaga integraal. Newton-Leibnitzi valem. . . . 124 5
96 5 Integraalid 103 5.1 Algfunktsioon ja m¨a¨aramata integraal. . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.2 Integraalide tabel. M¨a¨aramata integraali omadused. . . . . . . . 104 5.3 Asendusv~ote ja ositi integreerimine m¨a¨aramata integraali aval- damisel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.4 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. Ratsionaalfunktsiooni in- tegraalile taanduvad integraalid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.5 Integraalsumma ja m¨a¨aratud integraal. . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.6 M¨a¨aratud integraali geomeetriline sisu. . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.7 M¨a¨aratud integraali omadused. Integraali keskv¨a¨artusteoreem. . 122 5.8 Muutuva u ¨lemise rajaga integraal. Newton-Leibnitzi valem. . . . 124 5
¨ I 4 / 25 Integraalarvutus Ma¨ aramata ¨ integraal ja selle omadused. Ma¨ aramata ¨ integraalide tabel. Muutujate vahetus ma¨ aramata ¨ integraalis. Ositi integreerimine ma¨ aramata ¨ integraalis. Hulkliikme teguriteks lahutamine. Ratsionaalfunktsiooni osamurdudeks lahutamine. Lihtsamate osamurdude integreerimine. Trigonomeetriliste ja huperboolsete ¨ funktsioonide integreerimine. Algebraliste funktsioonide integreerimine. Mitte-elementaarsed integraalid. Ma¨ aratud ¨ integraal ja selle omadused. Ma¨ aratud ¨ integraal ulemise ¨ raja funktsioonina. Newton-Leibnizi valem
kordajatega ruutpol¨ unoom kujul x2 + px + q, kus p = -2 ja q = 2 + 2 . 30 Definitsioon 3. Ratsionaalfunktsiooniks ehk murdratsionaalseks funktsiooniks nime- tatakse kahe pol¨ unoomi jagatisena esitatavat funktsiooni, st f (x) = Qm (x)/Pn (x) (m, n N), kusjuures Qm (x) ja Pn (x) on pol¨ unoomid. Definitsioon 4. Ratsionaalfunktsiooni nimetatakse lihtmurruks, kui m < n, vas- tasel korral aga liigmurruks. Definitsioon 5. Murdlineaarseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni kujul a0 x + a1 (b0 = 0) . b0 x + b 1 Definitsioon 6. Algebraliseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni y = f (x), mis rahuldab v~ orrandit P (x)y n + Q(x)y n-1 + . . . + R(x)y + S(x) = 0 (n N),
annaabi.ee 
