lihtmurd - (a
hulka. Alles 7.sajandil sõnastasid india matemaatikud reeglid arvu 0 kasutamiseks. Oleme õppinud nelja põhitehet naturaalarvudega. · Liitmine · Korrutamine · Lahutamine · Jagamine NATURAALARVUDE HULK N 1. On järjestatud lõpmatu hulk,milles on vähim,kuid pole suurimat arvu. 2. On hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge. 3. On hulk, mis on kinnine liitmis- ja korrutamistehte suhtes. Ratsionaalarvud Ratsionaalarvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena , kus a Ratsionaalarvud on need reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n ( ) jagatisena nii, et kus on täisarvude hulk, on naturaalarvude hulk (v.a. null) ja on ratsionaalarvude hulk. Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. Näiteks 2¾ = 11/4 = 2,7500000.... või 2,7499999... ja 0 = 0/1 = 0,00000... on ratsionaalarvud.
nimetajasse paneme nii mitu üheksat kui mitu arvu on perioodis. Üks kõik millise murru korral paneme koma taga oleva arvu lugejasse ja lahutame sellest mitteperioodis oleva arvu. Nimetajasse paneme üheksa ja nii mitu nulli kui on mitteperioodis olevaid numbreid, -1 null. Ratsionaalarvude hulk Q Täisarvude hulga ja murdarvude hulga ühend on ratsionaalarvude hulk (v.a. mitteperioodilised lõpmatud kümnendmurrud). a Ratsionaalarvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena , kus aZ, bZ ja b0. b 0 7 0 =0 ; =- ; = iga arv. 7 0 0 Ratsionaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise korrutamise ja jagamise (v.a. 0) suhtes. Ratsionaalarvude hulk on tihe, st iga kahe ratsionaalarvu vahel on ratsionaalarv. Et iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise ja irratsionaalarv lõpmatu
c) Nende astmete korrutis ongi VÜK. VÜK(360; 140; 35) = 23 32 51 71 = 8 9 5 7 = 2520 360 2 140 2 35 5 180 2 70 2 7 7 90 2 35 5 1 45 3 7 7 15 3 1 5 5 1 4) Iga naturaalarvu a ja b korral kehtib võrdus : a b = SÜT(a; b) VÜK(a; b) 11. Ratsionaalarvud. 1) Ratsionaalarvuks nimetatakse sellist arvu, mis avaldub jagatisena. 2) Ratsionaalarvude hulk on tihe, sest iga kahe mittevõrdse ratsionaalarvu vahel leidub veel lõpmata palju ratsionaalarve. 3) Ratsionaalarvude hulk on kinnine kõigi aritmeetiliste tehete suhtes v.a. 0-ga jagamine. 4) Iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. Iga lõpmatu perioodiline kümnendmurd avaldub ratsionaalarvuna.
täisarvude hulk. Ehk Z 0;1;2;3... . Arve n ja –n nimetatakse teineteise vastandarvudeks. Täisarvude hulk on liitmise, korrutamise ja lahutamise suhtes kinnine. Kuid ei ole endiselt seda jagamise suhtes. Kõik täisarvud, positiivsed ja negatiivsed murdarvud kokku moodustavad arvuhulga, mida nimetatakse m ratsionaalarvude hulgaks Q . Ratsionaalarvuks nimetatakse sellist arvu, mis avaldub jagatisena , n kus m Z , n Z ja n 0. Et tehete sooritamisel murdudega saame murru, siis seetõttu võib öelda, et ratsionaalarvude hulk on kinnine kõigi aritmeetiliste tehete suhtes (välja arvatud jagamine nulliga). Saab tõestada, et iga kahe erineva ratsionaalarvu vahel leidub ratsionaalarve.
täisarvude hulk. Ehk Z 0;1;2;3... . Arve n ja –n nimetatakse teineteise vastandarvudeks. Täisarvude hulk on liitmise, korrutamise ja lahutamise suhtes kinnine. Kuid ei ole endiselt seda jagamise suhtes. Kõik täisarvud, positiivsed ja negatiivsed murdarvud kokku moodustavad arvuhulga, mida nimetatakse m ratsionaalarvude hulgaks Q . Ratsionaalarvuks nimetatakse sellist arvu, mis avaldub jagatisena , n kus m Z , n Z ja n 0. Et tehete sooritamisel murdudega saame murru, siis seetõttu võib öelda, et ratsionaalarvude hulk on kinnine kõigi aritmeetiliste tehete suhtes (välja arvatud jagamine nulliga). Saab tõestada, et iga kahe erineva ratsionaalarvu vahel leidub ratsionaalarve.
võrreldes positiivses suunas. Täisarvude hulga omadusi: · Täisarvude hulk Z on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv. · Täisarvude hulk Z on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge. · Täisarvude hulk Z on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes, s.t. kahe täisarvu liitmisel, lahutamisel ja korrutamisel saame alati täisarvu. RATSIONAALARVUD Ratsionaalarvuks nimetatakse hariliku murdu a , kus a Z, b Z ja b 0. b ratsionaalarvu a vastandarvuks nimetatakse ratsionaalarvu _ a = -a = a ning b b b -b ratsionaalarvu a pöördarvuks b b a. Kõik täisarvud, pos ja neg murdarvud kokku moodustavad arvuhulga, mida nimetatakse ratsionaalarvude hulgaks ja seda arvuhulka tähistatakse tähega Q.
Täisarvude hulga omadused Täisarvude hulk on lõpmatu Iga täisarvu saame kujutada punktidena arvteljel -2 Täisarvude hulk-1 0 hulk iga on järjestatud 1 kahe erineva 2 täisarvu korral saame öelda, milline nendest on suurem Täisarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise tehete suhtes Ratsionaalarvude hulk Ratsionaalarvuks nimetatakse harilik murdu , kus aZ ja bZ a ning b0 Ratsionaalarvude b hulka tähistatakse tähega Q Ratsionaalarvu vastandarvuks nimetatakse ratsionaalarvu a Ratsionaalarvu b pöördarvuks a -a a nimetatakse - = = ratsionaalarvu . b b -b a b b a
mitteperioodis oleva arvu. Nimetajasse paneme üheksa ja nii mitu nulli kui on mitteperioodis olevaid numbreid, -1 null. Ratsionaalarvude hulk Q 5 Täisarvude hulga ja murdarvude hulga ühend on ratsionaalarvude hulk (v.a. mitteperioodilised lõpmatud kümnendmurrud). a Ratsionaalarvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena , kus aZ, bZ ja b0. b 0 7 0 =0 ; =- ; = iga arv. 7 0 0 Ratsionaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise korrutamise ja jagamise (v.a. 0) suhtes. Ratsionaalarvude hulk on tihe, st iga kahe ratsionaalarvu vahel on ratsionaalarv. 1 * Arvu a vastandarv on a ja pöördarv . Arvul 0 ei ole pöördarvu.
Tavalise hulga ja j¨arjestatud hulga eristamiseks lepime kokku, et viimase t¨ahistamisel kasutame loogeliste sulgude asemel u ¨marsulgi. Peale selle lubame j¨arjestatud hulga ele- mentidel ka korduda. N¨aiteks (-1, 1, -1, 1, . . .) on j¨arjestatud hulk, milles -1-le j¨argneb 1, sellele omakorda -1 jne. Naturaalarvude hulk on N = {0, 1, 2, 3, . . .} ja t¨aisarvude hulk on Z = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .}. T¨aisarvude baasil defineerime ratsionaalarvud. Ratsionaalarvuks nimetatakse kahe t¨aisarvu p ja q jagatist p/q, kusjuures q = 0. Ratsionaalarvude hulga t¨ahis on Q. Seega, l¨ uhidalt kirjutades Q = { pq p, q Z, q = 0}. Iga ratsionaalarvu saab esitada kas l~opliku v~oi l~opmatu perioodilise k¨umnendmurruna. L~opmatuid mitteperioodilisi k¨ umnendmurde nimetatakse irratsionaalarvudeks. Irratsionaalarvude hulga t¨ahis on I. Uks ¨ ja sama arv ei saa olla samaaegselt nii
Tavalise hulga ja j¨ arjestatud hulga eristamiseks lepime kokku, et viimase t¨ahistamisel kasutame loogeliste sulgude asemel u ¨marsulgi. Peale selle lubame j¨arjestatud hulga ele- mentidel ka korduda. N¨aiteks (-1, 1, -1, 1, . . .) on j¨arjestatud hulk, milles -1-le j¨ argneb 1, sellele omakorda -1 jne. Naturaalarvude hulk on N = {0, 1, 2, 3, . . .} ja t¨aisarvude hulk on Z = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .}. T¨aisarvude baasil defineerime ratsionaalarvud. Ratsionaalarvuks nimetatakse kahe t¨aisarvu p ja q jagatist p/q, kusjuures q = 0. Ratsionaalarvude hulga t¨ahis on Q. Seega, l¨ uhidalt kirjutades Q = { pq p, q Z, q = 0}. Iga ratsionaalarvu saab esitada kas l~opliku v~oi l~opmatu perioodilise k¨ umnendmurruna. L~opmatuid mitteperioodilisi k¨ umnendmurde nimetatakse irratsionaalarvudeks. ¨ ja sama arv ei saa olla samaaegselt nii
annaabi.ee 
