Kehtestatav, samaselt tõene ja samaselt väär predikaatarvutuse valem. Def 7. Predikaatarvutuse valemit F nim · samaselt tõeseks, kui ta on tõene igas interpretatsioonis oma vabade muutujate kõikidel väärtustel · samaselt vääraks, kui ta on väär igas interpretatsioonis oma vabade muutujate kõikidel väärtustel · kehtestatavaks, kui ta on tõene vähemalt ühes interpretatsioonis vabade muutujate mingitel väärtustel. Järeldumine ja samaväärsus predikaatarvutuses. Predikaatarvutuse põhisamaväärsused. Nende tõestamine interpretatsioonide terminites. Suvalise valemi samaselt tõesuse tõestamise või ümberlükkamise ülesanne. 6 · Ütleme, et valemitest 1 , 2 , ... , järeldub valem G, kui igas interpretatsioonis valmite vabade muutujate kõikidel väärtustel, kus valemid 1 , 2 , ... , on tõesed, on ka valem G tõene · Valemid F ja G nim samaväärseteks, kui nende tõeväärtused on võrdsed igas
Produktsioonide esitamine? (lisatingimusi arvestades välja kirjutada probleemid) nt üks grupp produktsioone vasak kallas -> parem kallas ja teine parem kallas -> vasak kallas Laiutiotsing - algolek on algtipp, variandid järgmised olekud (puu läbi vaatamine, kus tipud läbitakse tasehaaval) Semantilised võrgud Koostada semantiline võrk (väh 5 tippu), mis esitab ametialaseid vm suhteid inimeste vahel (valdkonna võib vabalt valida). Harjutusülesanded predikaatarvutuses ------------------------------------- E - keegi (olemasolukvantor) A - iga (üldisuskvantor) ½ - eitus & - konjuktsioon V - disjunktsioon ------------------------------------- 2 - Vanakraamikaupmees Predikaadid: C(x) - x on vanakraamikaupmees; H(x) - x on aus inimene. Tõlkida eesti keelde valemid (vt esitlus T10 slaid 16): 1) Leidub x nii, et C(x): Leidub keegi, kes on vanakraamikaupmees (Leidub vanakraamikaupmees).
Gödel väitis, et igas formaalses aritmeetikas leidub tõene lause, mis ei ole antud formaalses aritmeetikas tõestatav. Täielikkuse teoreem; http://cs.ttu.ee/kursused/itv0010/various/lrttyld.html : ,,1930. aastal tõestas Gödel, et loogika baaskeel, Fregest lähtuv ja Russelli, Whiteheadi, Hilberti, Tarski, Gentzeni töödes kaasaegse kuju saanud esimest järku predikaatarvutus on täielik: iga tegelikult õige väide, mida saab predikaatarvutuses kirja panna, on predikaatarvutuse formaalsete reeglite abil tõestatav. Siinkohal toetub ``õigsuse'' mõiste Tarski, poolt rajatud teooriale semantikast ja mudelitest." Esmapilgul tundub teoreem täielikkusest olevat vastuolus järgmises lõigus vaadeldava teoreemiga formaalse aritmeetika mittetäielikkusest, kuid see vastuolu on ainult näiline: predikaatarvutuse keeles ei saa otseselt kirja panna matemaatilise
• Lausearvutuse tehteks nimetatakse niisugust lausetes kasutatavat seost, mille tõeväärtus on tema osalausete tõeväärtuste funktsioon (Boole’i funktsioon). Semantika – valemi tõeväärtuse määratlus téma alamvalemite töeväärtuste põhjal. 3 Predikaatarvutus 3.1 Formaliseerimine predikaatarvutuse keeles Predikaat väljendab objekti omadust või mingit seost (relatsiooni) objektide vahel. !!! Esimest järku predikaatarvutuses: - predikát konstandid—puuduvad predikát muutujad st.kui predikát on defineeritud, siis arutluse käigus tema tähendus ei muutu, - üks predikaat ei tohi olla teise predikaadi argumendiks. • Liitlausete formaliseerimine: - Atomaarne lause e. aatom–sisaldab vaid ühte predikaati -Liitlause – moodustatakse aatomitest lausearvutuse tehete abil • Kvantorid Üldistuse ja abstraktsiooni väljendamiseks
¬∀x p = ∃x ¬p Mitte kõik x on p. = Mõni x on ¬p. või Mõni x ei ole p. ¬∃x p = ∀x ¬p Pole x-i, mis on p. = Iga x on ¬p. ∀x p = ¬∃x ¬p Kõik x on p. = Pole x-i, mis on ¬p. või Pole x-i, mis ei ole p. ∃x p = ¬∀x ¬p Mõni x on p. = Pole nii, et kõik x on ¬p. 20. KATEGOORILISTE VÄIDETE ESITAMINE ÜHEKOHALISTE PREDIKAATIDE ABIL. Traditsioonilise loogika kategoorilised väited (vt. p 8 jj) on predikaatarvutuses esitatavad ühekohaliste predikaatidele rakendatud üldisus või olemasolukvantoreid või nende eitusi (vt ka eelmist punkti). Üldjaatavad laused saadakse rakendades predikaadile üldisuskvantorit või olemasolukvantori eitust predikaadi eitusele. ∀x (Sx → Px); ¬∃x (Sx & ¬Px). Üldeitavad laused saadakse rakendades üldisuskvantorit predikaadi eitusele või olemasolukvantori eitust predikaadile. ∀x(Sx→¬Px); ¬∃x (Sx & Px).
¬x p = x ¬p Mitte kõik x on p. = Mõni x on ¬p. või Mõni x ei ole p. ¬x p = x ¬p Pole x-i, mis on p. = Iga x on ¬p. x p = ¬x ¬p Kõik x on p. = Pole x-i, mis on ¬p. või Pole x-i, mis ei ole p. x p = ¬x ¬p Mõni x on p. = Pole nii, et kõik x on ¬p. 20. KATEGOORILISTE VÄIDETE ESITAMINE ÜHEKOHALISTE PREDIKAATIDE ABIL. Traditsioonilise loogika kategoorilised väited (vt. p 8 jj) on predikaatarvutuses esitatavad ühekohaliste predikaatidele rakendatud üldisus või olemasolukvantoreid või nende eitusi (vt ka eelmist punkti). Üldjaatavad laused saadakse rakendades predikaadile üldisuskvantorit või olemasolukvantori eitust predikaadi eitusele. x (Sx Px); ¬x (Sx & ¬Px). Üldeitavad laused saadakse rakendades üldisuskvantorit predikaadi eitusele või olemasolukvantori eitust predikaadile. x(Sx¬Px); ¬x (Sx & Px).
2.5.5 Täielikkus, mittetäielikkus ja Kurt Gödel Nagu Albert Einstein füüsikas, nii on Austria-USA loogik Kurt Gödel (1906-1978) üks neid väheseid, keda võib ülepingutamist kartmata geeniuseks nimetada. 1930. aastal tõestas Gödel, et praegusaegse loogika baaskeel, Fregest lähtuv ja Russelli, Whiteheadi, Hilberti, Tarski, Gentzeni töödes kaasaegse kuju saanud esimest järku predikaatarvutus on täielik: iga tegelikult õige väide, mida saab predikaatarvutuses kirja panna, on predikaatarvutuse formaalsete reeglite abil tõestatav. Siinkohal toetub ``õigsuse'' mõiste Tarski poolt rajatud teooriale semantikast ja mudelitest. Esmapilgul tundub teoreem täielikkusest olevat vastuolus järgmises lõigus vaadeldava teoreemiga formaalse aritmeetika mittetäielikkusest, kuid see vastuolu on ainult näiline: predikaatarvutuse keeles ei saa otseselt kirja panna matemaatilise
need ja ainult need indiviidide järjestatud paarid, mille korral predikaadi väärtuseks on tõeväärtus tõene. Pöördume tagasi meie näitesaarele ja määratleme kahekohalise predikaadi Rxy kui seose „… armastab …” ehk „x armastab y”, ja x, y ∈ {Mari, Anna, Berta, Jüri, Eedu, Karl}. Olgu meil 1 Üldjuhul võib indiviidide hulk (ja seega ka veergude arv tõeväärtustabelis) olla ka lõpmatult suur ning me ei saa kasutada tõeväärtustabeleid predikaatarvutuses nii olulises rollis nagu lausearvutuses. 2 Ülaindeks näitab predikaadi aarsust. Termini baashulk asemel kasutatakse ka termineid põhihulk või indiviidide piirkond või ka universum. Terminitega põhihulk või universum tuleb olla ettevaatlik, need on kasutusel ka muus tähenduses, nt seoses signatuuriga, vt allpool, D8.6.3. 3 Mõnes õpikus lubatakse siinkohal kasutada mitut baashulka, st x∈ X ja y∈ Y, nt kalade ja kalameeste hulk.
need ja ainult need indiviidide järjestatud paarid, mille korral predikaadi väärtuseks on tõeväärtus tõene. Pöördume tagasi meie näitesaarele ja määratleme kahekohalise predikaadi Rxy kui seose ,,... armastab ..." ehk ,,x armastab y", ja x, y {Mari, Anna, Berta, Jüri, Eedu, Karl}. Olgu meil 1 Üldjuhul võib indiviidide hulk (ja seega ka veergude arv tõeväärtustabelis) olla ka lõpmatult suur ning me ei saa kasutada tõeväärtustabeleid predikaatarvutuses nii olulises rollis nagu lausearvutuses. 2 Ülaindeks näitab predikaadi aarsust. Termini baashulk asemel kasutatakse ka termineid põhihulk või indiviidide piirkond või ka universum. Terminitega põhihulk või universum tuleb olla ettevaatlik, need on kasutusel ka muus tähenduses, nt seoses signatuuriga, vt allpool, D8.6.3. 3 Mõnes õpikus lubatakse siinkohal kasutada mitut baashulka, st x X ja y Y, nt kalade ja kalameeste hulk.
annaabi.ee 
