Argumendi peaväärtus – kompleksarvu z argument, mis kuulub poollõiku ¿ . Tähistatakse: arg ( z ) Väärtused: −π < arg ( z) ≤ π Tasandi igale punktile X saab vastavusse seada polaarkoordinaadid X ( ρ, φ) . Polaarpoolus – punkt O . Polaartelg – punktist O väljuv kiir. Tasandi ühekordseks katmiseks polaarkoordinaatidega: 0 ≤ ρ< ∞ ja −π < φ≤ π . Positiivsed nurgad – kellaosutile vastassuunas Negatiivsed nurgad – kellaosuti suunas Polaar- ja ristkoordinaatide vaheline seos: {xy==ρcosφ ρsinφ
Tänapäeval juhib teleskoope arvuti ja see pole enam probleem. Ekvatoriaalne ehk parallaktiline monteering lubab teleskoopi pöörata ümber polaartelje (telg paralleelne Maa teljega) ning käändetelje (telg risti Maa teljega). Võeti kasutusele 19. saj. alguses koos kellamehhanismi leiutamisega; lubab lihtsa pöördega kompenseerida Maa pöörlemist. Teleskoobi kinnitusviisi järgi jagunevad monteeringud: Saksa monteering - teleskoobi polaartelg toetub alussambale ning kannab sellega ristuvat käändetelge, mille ühes otsas on teleskoop, teises aga viimast tasakaalustav raskus. Kahvelmonteering - polaartelg jaguneb kaheks haruks ("kahvliks"), millede vahele kinnitub käändetelg koos teleskoobiga. Raammonteering - teleskoop pöördub raami sees, mille pikitelg on polaarteljeks. Kasutatakse madalatel geograafilistel laiustel, kus esimesed monteeringud pole võimalikud
objektide täpsed asukohad ja ka raskusjõu väärtused ja selle muutused ajas. Teiste erialadega on seotud: füüsika, matemaatika, geograafia, geofüüsika, astronoomia, kartograafia jne. 2. Geoid- keha, mille pinnaks on merede ja ookeanide rahulikus olekus pind, mida on mõtteliselt laiendatud mandrite alla ning mille raskuskiirenduse väärtused on kõikides punktides ühesugused. Ekvaatoriaal-pooltelg 6 378 137m Polaartelg 6 356 752m Ekvatoriaal P 40 075 km Keskmine R 6 371 km 3. Laiuskoordinaat (j) on nurk ekvaatori ja antud punkti läbiva paralleeli vahel. Ekvaatorist põhja poole jäävad laiused on põhjalaiused (muutuvad ekvaatorilt 0° kuni põhjapooluseni 90°N) ja lõuna poole jäävad on lõunalaiused (0°...90° S). Pikkuskoordinaat (l) on kokkuleppelise nullmeridiaani ja antud punkti läbiva meridiaanitasandi vaheline nurk. Nullmeridiaanist ida poole jäävad pikkused on idapikkused (0°..
A1p1+B2p2+C3|/(A2+B2), saame 1) d(M, l1)=|m1+a/e|/(12+02)=| m1+a/e | =|1/e *em1+1/e *a| = 1/e *|em1 +a| 2) d(M, l2)= |m1-a/e|/ (12+02)= | m1+a/e | = |1/e *em1-1/e *a| = 1/e *|em1 -a|. Näeme, et r1(M)/d(M,l1)= |em1 +a| / (1/e* |em1 +a|) = e = |em1 -a| / (1/e *|em1 -a|)= r2(M)/d(M,l2). 4. (t. 4.2)Fikseeritud pooluse ja polaartelje suhtes on iga poolusest erineva punkti polaarkoordinaadid ühiselt määratud.Tõestus :Olgu fikseeritud poolus O ja polaartelg l. Olgu P mingi poolusest erinev punkt tasandil. Oletame, et meil on võimalik valida 2 paari polaarkoordinaateP'le: P1(r1,1) ja P2(r2,2). Toome sisse ristreeperi {0,é1, é2}, kus é1 on on poolusest O lähtuv ühikvektor polaarteljel l ja é2 on vektoriga é1 ristuv ühikvektor mille korral {é1, é2} on parema käe baas. Siis kehtivad seosed r1=r2=(p12+p22), r2=(p12+p22), sin1= sin2 = p2/( p12+p22), cos1= cos2 = p2/( p12+p22) kus (p1, p2) on punkti P koordinaadid reeperis {0,é1, é2}
mingi funktsioon γ=γ(x,y), siis tasandilise kujundi D masskeskme (xc,yc) koordinaadid saab arvutada: xc=[ʃʃDγ(x,y)xdxdy]/[ʃʃDγ(x,y)dxdy] ning yc=[ʃʃDγ(x,y)ydxdy]/[ʃʃDγ(x,y)dxdy] 7. Kahekordne integraal polaarkoordinaatides, Poissoni integraal, näideπ Kui piirkond D on ring või selle osa, on kahekordset integraali lihtsam arvutada polaarides. Polaaride def: valime punkti O. See on poolus. Sealt väljub kiir- p (polaartelg). Punkti M asukoht määratakse polaarkaugusega ρ ja polaarnurgaga φ. Nurga φ mõõtmisel loetakse positiivseks vastupäeva suunda. Polaarkoordinaadistik M(ρ,φ). x=ρcosφ ; y=ρsinφ ; ρ=sqrt(x2+y2) ; tanφ=y/x. Poisson integraali abil esitatakse Gaussi kõver. 8. Kolmekordne integraal ja selle arvutamine kolmikintegraali abil, näide Olgu xyz-ruumis R3 antud mingi kinnise pinnaga piiratud piirkond V. Olgu piirkonnas V defineeritud pidev fn. u=f(x,y,z)
· Alguspunktid ühtivad · Ühikud on võrdsed Punkti ristkoordinaadid sirgel ja tasandil: · Sirgel: A (x = |OA|, kui A asub pos osal; x = -|OA|, kui A asub neg. osal.) · Tasandil (punkti kordinaatide saamiseks võtame ristprojektsioonid vastavatele telgedele): M Mx, My; Mx(x), My(y) M(x;y) 11. Polaarkoordinaadistik tasandil. Punkti polaar- ja ristkoordinaatide vahelised seosed. Polaarkoordinaadistik tasandil: · Suunaga arvtelg e. polaartelg. · Alguspunkt · Ühiku pikkus · Polaarraadius r = |OM| · Polaarnurk , nurk OM ja polaartelje pos. suuna vahel. M(r;). Punkti polaarkoordinaatide ja ristkoordinaatide vahelised seosed: · x = rcos; y = rsin. · r = (x2+y2)1/2; tan = y/x. 12. Ristkoordinaadistik ruumis. Punkti ristkoordinaadid ruumis. Punkti silinderkoordinaadid. Seosed punkti rist- ja silinderkoordinaatide vahel.
telgedele) M(x;y;z) Mx(x), My(y), Mz(z). Punkti sfäärilised koordinaadid M(;;). - punkti kaugus alguspunktist; - nurk OMxy ja x-telje pos. suuna vahel. - nurk OMxy ja OM vahel. Seosed punkti rist- ja sfäärkoordinaatide vahel:1) x 2) y 3) z = sin* 12. Polaarkoordinaadistik tasandil. Punkti polaar- ja ristkoordinaatide vahelised seosed. Polaarkoordinaadistik tasandil: 1) Suunaga arvtelg e. polaartelg. 2) Alguspunkt 3) Ühiku pikkus 4) Polaarraadius r = |OM| 5) Polaarnurk , nurk OM ja polaartelje pos. suuna vahel. M(r;). Punkti polaarkoordinaatide ja ristkoordinaatide vahelised seosed: 1) x = rcos; y = rsin. 2) r = (x2+y2)1/2; tan = y/x. 13. Geomeetrilise vektori mõiste, tähistused. Vektorite võrdsus. Kollineaarsed vektorid. Vektor e. suunatud lôik lôik, millel on määratud suund (siht, suund ja suurus). Tähistused a = (a1;a2;a3) vôi AB = (a1;a2;a3).
11. Polaarkoordinaadistik tasandil. Punkti polaar- ja ristkoordinaatide vahelised seosed. polaarkoordinaat kahemõõtmeline koordinaatide süsteem, kus iga tasandi punkt on määratud kaugusega fikseeritud punktist (punkti ja pooluse vaheline pikkus polaarkaugus r) ning nurgaga fikseeritud suunast (polaarnurk ). üleminekuvalemid polaarkoordinaadistiku ja ristkoordinaadistiku vahel: Polaarkoordinaadistik tasandil: Suunaga arvtelg e. polaartelg. Alguspunkt Ühiku pikkus Polaarraadius r = |OM| Polaarnurk , nurk OM ja polaartelje pos. suuna vahel. M(r;). 12. Ristkoordinaadistik ruumis. Punkti ristkoordinaadid ruumis. Punkti silinderkoordinaadid. Seosed punkti rist- ja silinderkoordinaatide vahel. Ristkoordinaadistiku ruumis moodustavad kolm paarikaupa ristuvat koordinaattelge, mille alguspunktid ühtivad. Telgede eristamiseks nimetatakse ühte neist
Selleks tuleb valida sobiv ristkoordinaatide süsteem. Eesti riikliku koordinaatide süsteemi x-teljeks on 24o meridiaan või sellega paralleelne suund ja y- teljeks ekvaatori kujutis või sellega paralleelne suund. Tasapinna ristkoordinaadid jagavad tasapinna 4 veerandiks. 5. Polaarkoordinaadid. Polaarkoordinaate kasut. samuti tasapinnal. Koosneb kahest elemendist: s polaarraadius, polaarnurk. Alguspunktiks polaartelg. Selle saab määrata kas riiklikkus koordinaatide süsteemis või suvaliselt. 6. Eesti baaskaardi TM projektsioon. Eesti baaskaart on topograafiline kaart mõõtkavas 1:50 000, mis valmis aastatel 1994- 96 Eesti-Rootsi ühisprojekti raames. Kogu riiki kattev kaart koosneb 112 kaardilehest mõõtmetega 50x50 cm ehk 25x25 km maapinnal. Baltimaade baaskaart on TM projektsioonis: abipind silinder, mis lõikub ellipsoidiga
Selleks tuleb valida sobiv ristkoordinaatide süsteem. Eesti riikliku koordinaatide süsteemi x-teljeks on 24o meridiaan või sellega paralleelne suund ja y- teljeks ekvaatori kujutis või sellega paralleelne suund. Tasapinna ristkoordinaadid jagavad tasapinna 4 veerandiks. 5. Polaarkoordinaadid. Polaarkoordinaate kasut. samuti tasapinnal. Koosneb kahest elemendist: s polaarraadius, polaarnurk. Alguspunktiks polaartelg. Selle saab määrata kas riiklikkus koordinaatide süsteemis või suvaliselt. 6. Eesti baaskaardi TM projektsioon. Eesti baaskaart on topograafiline kaart mõõtkavas 1:50 000, mis valmis aastatel 1994- 96 Eesti-Rootsi ühisprojekti raames. Kogu riiki kattev kaart koosneb 112 kaardilehest mõõtmetega 50x50 cm ehk 25x25 km maapinnal. Baltimaade baaskaart on TM projektsioonis: · abipind silinder, mis lõikub ellipsoidiga · üks tsoon telgmeridiaaniga 24o
Geodeesia tegevusvaldkonna tuntumateks elukutseteks on maamõõtja, topograaf ja ehitusgeodeet. Geodeesia on täpne rakendusteadus, mis on tihedas seoses astronoomia, füüsika, geofüüsika, matemaatika, kartograafia, geomorfoloogia, geograafia ja arvutustehnikaga. Rakendusteadusena on geodeesia tähtis ehitustehnikas, mäeasjanduses, põllumajanduses, metsanduses, sõjanduses ja mujal. 2. Maa kuju ja selle ligikaudsed mõõtmed. Ekvatoriaal-pooltelg 6 378 137 m Väike e polaartelg 6 356 752.314 m Ekvatoriaalümbermõõt 40 075 km Maa keskmine raadius 6 371 km Kuna Maa suurem osa pindmikust on kaetud maailmamerega, siis kõige täpsemini vastab Maa tõelisele kujule geoid. Geoid on kujutletav keha, mille pind on kõikjal risti loodjoontega ning ühtib merede ja ookeanide häirimata veepinnaga. Maa massi ebaühtlase paiknemise tõttu Maa sisemuses koonduvad loodjoonte suunad ebaregulaarselt ja seepärast on geoidil suhteliselt
Geodeesia tegevusvaldkonna tuntumateks elukutseteks on maamõõtja, topograaf ja ehitusgeodeet. Geodeesia on täpne rakendusteadus, mis on tihedas seoses astronoomia, füüsika, geofüüsika, matemaatika, kartograafia, geomorfoloogia, geograafia ja arvutustehnikaga. Rakendusteadusena on geodeesia tähtis ehitustehnikas, mäeasjanduses, põllumajanduses, metsanduses, sõjanduses ja mujal. 2. Maa kuju ja selle ligikaudsed mõõtmed. Ekvatoriaal-pooltelg 6 378 137 m Väike e polaartelg 6 356 752.314 m Ekvatoriaalümbermõõt 40 075 km Maa keskmine raadius 6 371 km Geoid on kujutletav keha, mille pind on kõikjal risti loodjoontega ning ühtib merede ja ookeanide häirimata veepinnaga. Maa massi ebaühtlase paiknemise tõttu Maa sisemuses koonduvad loodjoonte suunad ebaregulaarselt ja seepärast on geoidil suhteliselt keerukas kuju, mistõttu geodeetiliste arvutuste puhul asendatakse geoid selle matemaatilise mudeliga – ellipsoidiga. 3. Geograafilised koordinaadid
koordinaatides Peale Cartesiuse ristkoordinaadistiku on kasutusel veel teisi tausts¨ usteeme, mille suhtes punkti asukoht tasandil on u ¨ ¨heselt m¨a¨aratud. Uheks selliseks tausts¨usteemiks on polaarkoordinaadistik, mis koosneb u ¨hest fikseeritud punk- tist tasandil, nn poolusest ja sellest punktist l¨ahtuvast teljest, nn polaarteljest. polaartelg poolus Joonis 5.9. Polaarkoordinaadistik Polaarkoordinaadistikus on punkti P asukoht u ¨heselt m¨a¨aratud polaar- nurgaga, so nurgaga , mis j¨aa¨b punkti P ja poolust O u ¨hendava sirge ja polaartelje vahele, ning polaarkauguse ehk polaarraadiusega , so punkti P - kaugusega poolusest O ehk vektori OP pikkusega (vt joonis 5.10). -
annaabi.ee 
