Võtame tasapinnal punkti O, mida nimetatakse pooluseks ja sellest punktist väljuva kiire, mida nimetatakse polaarteljeks. Punkti M asukoha tasapinnal määravad kaks arvu: polaarkaugus (polaarraadius) ρ , mis on punkti M kaugus poolusest, ja polaarnurk ϕ , mis on polaartelje ja lõigu OM vahel. Vastu kellaosuti liikumise suunda mõõdetud nurk loetakse positiivseks ja kellaosuti liikumise suunas mõõdetud nurk negatiivseks. Arve ρ ja ϕ nimetatakse punkti M polaarkoordinaatideks. 6. Muutuva suuruse piirväärtus: Def. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga etteantud kui tahes väikese positiivse arvu ε puhul saab näidata sellist muutuva suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused rahuldavad võrratust x-a < ε Geomeetriliselt: arv a on muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui igas etteantud kuitahes väikeses punkti a ümbruses raadiusega ε leidub selline x väärtus, et kõik punktid, mis
Funktsionaaldeterminant ehk jakobiaan ja ta on järgmine: u v . Üleminek y y u v ristkoordinaatidelt polaarkoordinaatidele on üks enamlevinud juhtum muutujate vahetusest kahekordses integraalis. Sel juhul u = ja v = : x = cos , y = sin . Leiame ristkoordinaatide x ja y polaarkoordinaatideks ja x x teisendamise jakobiaani: v = - sin cos = - sin 2 - cos 2 = - Järelikult I= u y y cos sin u v 2 ( ) 2 2 ( )
et hulgal on defineeritud n-muutuja funktisoon ja tähistatakse u=f(x1,...,xn). Kui funkts u=f(x1,...,xn) on antud võrrandiga F(x1,...xn,u)=0, kus F on mingi n+1 muutuja funkts, siis öeldakse, et funkts f on antud ilmutamata kujul. Pinda punktruumis Rn , võrrandiga f(x1,...,xn)=C, kus CR, on etteantud konstant, nim funkts- i f nivoopinnaks. Ruumi R2 punkti P koordinaate ja , mida ristkoordinaatidega x ja y seovad valemid x=cos(); y = sin() nim polaarkoordinaatideks Ruumi R3 punkti P koordinaate , ja z, mida ristkoordinaatidega x, y ja z seovad valemid x=cos(); y = sin(); z=z, nim silindrilisteks koordinaatideks. Ruumi R3 punkti P koordinaate , ja , mida ristkoordinaatidega x, y ja z seovad valemid x=sin()cos(); y = sin()sin(); z=cos(), nim sfäärilisteks koordinaatideks Arvu c nim funkts-i u=f(x1,...,xn) piirväärtuseks punktis A(a1,...,an), kui iga > 0 korral leidub selline > 0, et iga PU (A), kus PA, kehtib võrratus |f(P)-c|<, kasutatakse ka lim
5. Polaarkaugus ja polaarnurk, polaarkoordinaadid. Seosed polaar- ja ristkoordinaatide vahel, joonis. Punkti M asukoha tasapinnal määravad kaks arvu: polaarkaugus (polaarraadius) , mis on punkti M kaugus poolusest, ja polaarnurk , mis on polaartelje ja lõigu OM vahel. Vastu kellaosuti liikumise suunda mõõdetud nurk loetakse positiivseks ja kellaosuti liikumise suunas mõõdetud nurk negatiivseks. Arve ja nimetatakse punkti M polaarkoordinaatideks. Polaarkaugus on alati mittenegatiivne: 0. Polaarnurga üheseks määramiseks valitakse see poollõigult 0 < 2 , siis vastab igale punktile tasapinnal peale pooluse teatud kindel arvude ja paar. Pooluse puhul = 0 ja on suvaline. Seose saamiseks punkti polaarkoordinaatide ja ristkoordinaatide vahel võtame pooluseks ristkoordinaatide alguspunkti ning polaarteljeks x-telje positiivse suuna. 6. Muutuva suuruse piirväärtus, selle geomeetriline tähendus. Definitsioon muutuja x
2) Olgu nim. pöördasendust määravatel funktsioonidel x(u,v) ja y(u,v) olemas osatuletised xu',xv',yu',yv' terves piirkonnas D siis kehtib valem (x,y)dxdy= [x(u,v), y(u,v)] || J(u,v)dudv D D 9. Polaarkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse. Olgu A=(a;b) fikseeritud punkt xy-tasandil. Punkti P=(x;y) polaarkoordinaatideks punkti A suhtes nim arvupaari ja , kus on P ja A vaheline kaugus ja on nurk, mis tekib liikumisel x-telje suunaliselt vektorilt vektorile AP vastupäeva. polaarkaugus ja -polaarnurk. Ristkoordinaadid avalduvad polaarkoordinaatide kaudu järgmiste seostega: x=a + cos , y=b + sin Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse: Vaatleme ristkoordinaatides x ja y
4.): J See valem (21.4.) võimaldab kahekordse integraali arvutamist üle piirkonna D taandada integraali arvutamise üle piirkonna D', mis võib osutuda lihtsamaks ülesandeks. Kahekordne integraal polaarkoordinaatides. Üleminek ristkoordinaatidelt polaarkoordinaatidele on erijuhtum muutujate vahetusest kahekordses integraalis. Sel juhul u=r ja v=: Arvutame ristkoordinaatide x-i ja y-i polaarkoordinaatideks r ja teisendamise jakobiaani: J Järelikult . Üleminekut polaarkoordinaatidele on mõistlik kasutada juhtudel, kus funktsioon f(x,y) on kujul f(x 2+y2) või piirkond D on ring või selle teatud osa. 5. Kolmekordne integraal: põhjalik selgitus (vastava piirkonna jaotus, integraalsumma jne). Olgu ruumis antud mingi piirkond V, mis on piiratud kinnise pinnaga S. Olgu piirkonnas V ja selle pinnal defineeritud mingi pidev
Leidub punkt A hulgas B nii, et kehtib võrdus f ( x, y )dxdy = f ( x(u, v), y(u, v)) J (u, v) dudv D D' xu xv , kus J (u , v ) = on funktsionaaldeterminant yu yv ehk jakobiaan 9. Polaarkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse Olgu punkt A(a,b) fikseeritud punkt tasandil. Punkti P(x,y) polaarkoordinaatideks punkti A suhtes nimetatakse arvupaari ja , kus =|PA|=(x-a)2+(y-b)2 ja on nurk, mis tekib liikumisel x-telje suunaliselt vektorilt vektorile AP vastupäeva. Kokkuleppeliselt ]-,] x=cos+a x'=cos x'=-sin y=sin+b y'=sin y'=cos cos - sin J ( ,) = = cos 2 + sin 2 = sin cos Seega f ( x, y )dxdy = f ( cos + a, sin + b) dd
- g(x)-s on x asendatud f(x)-ga 21. Esitage 2 näidet funktsionaalse sõltuvuse esituse kohta parameetrilisel kujul! Funktsionaalne sõltuvus on antud parameetrilisel kujul võrdustega , , kus Koostada selle f-ni graafik 22. Esitage 2 näidet funktsionaalse sõltuvuse esituse kohta polaarkoordinaatides! , . Suurusi p ja võib vaadelda punkti koordinaatidena, mida nim. polaarkoordinaatideks. OSA 2 1. Mis on ilmutamata kujul antud funktsioon? Esitage 2 näidet! Öeldakse, et funktsionaalne sõltuvus on esitatud võrrandiga ilmutamata kujul, kui muutuja x iga väärtuse korral hulgast X on . Näited: , 2. On antud võrrand . Ilmutada selle võrrandiga määratud funktsionaalne sõltuvus y = f(x)! On kaks funktsionaalset sõltuvust: ja 3. Esitage 2 paarisfunktsiooni näidet ja kujutage nende graafikud! Paarisf-n:
yu yv on funktsionaaldeterminant ehk jakobiaan Polaarkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse Olgu punkt A(a,b) fikseeritud punkt tasandil. Punkti P(x,y) polaarkoordinaatideks punkti A suhtes nimetatakse arvupaari ja , kus =|PA|=(x-a)2+(y-b)2 ja on nurk, mis tekib liikumisel x-telje suunaliselt vektorilt vektorile AP vastupäeva. Kokkuleppeliselt ]-,] x=cos+a x'=cos x'=-sin y=sin+b y'=sin y'=cos cos - sin J ( ,) = = cos 2 + sin 2 = Seega sin cos f ( x, y )dxdy = f ( cos + a, sin + b) dd D D' 20
Valime tasapinnal mingi punkti O, mida nimetatakse pooluseks ja sellest punktist väljuva kiire, mida nimetame polaarteljeks p. Punkti M asukohta tasapinnal saab määrata kahe arvuga: polaarkaugusega , mis väljendab punkti M kaugust poolusest O ja polaarnurgaga , mis näitab polaartelje ja lõigu OM vahelist nurka ( p, OM ). Nurga mõõtmisel loetakse positiivseks suunaks kellaosuti liikumisele vastupidist suunda. Arve ja nimetatkse punkti M polaarkoordinaatideks. Seega polaarkoordinaadistikus M , . Tuletame meelde seoseid polaar- ja ristkoordinaatide vahel. Paneme riskoordinaadistiku alguse poolusesse ja ühtigu x-tleje positiivne suund polaarteljega Siis x cos x2 y2 y
annaabi.ee 
