Ellipsoidi ja geoidi pind ei erine kusagil üle 100 meetri ja suuremas osas ületab harva 20 meetrit. Eestis on geoidi pind kõrgemal rahvusvahelise ellipsoidi GRS-80 pinnast keskmiselt 19 meetrit. KOORDINAATIDE SÜSTEEMID Koordinaatide abil määratakse punkti asukohta tasapinnal või ruumis. Tasapinnal on koordinaate kaks - x ja y, ruumis kolm - x, y, z, kus z on punkti kõrgus, mida tähistatakse ka H (h). Koordinaate võib klassifitseerida mitmeti. Eristatakse geograafilisi-, rist- ja polaarkoordinaate. Geograafilised koordinaadid Maakera põhja- ja lõunapoolust ühendav joon on maakera pöörlemistelg, sellega risti olev suuring on ekvaator, mis jagab maakera põhja- ja lõunapoolkeraks. Pooluseid ja maakera mingit punkti läbiv suurring on selle punkti meridiaan. Meridiaani suhtes määratakse antud punkti ilmakaared. Nullmeridiaaniks (ka algmeridiaan) on Greenwichi meridiaan. Ekvaatori tasandiga paralleelne tasand, mis läbib punkti, annab lõikumisel maakeraga selle punkti paralleeli.
POLAARKOORDINAADID, KOMPLEKSARVU TRIGONOMEETRILINE KUJU Tasandi punktide kirjeldamiseks võib kasutada lisaks komplekstasandile ka polaarkoordinaate. Selleks fikseerida tasandile punktist O väljuv kiir. Tasandi punkti X kirjeldamiseks saab samuti kasutada kahe reaalarvu: ρ – punktide O ja X vaheline kaugus – polaarraadius – moodul ρ=| z|=√ z ´z = √ x + y
sõltub muutujast x. Olgu y=f(u) ja u = ϕ (x ). Siit saame, et y=f(ϕ (x )) Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mida saab anda üheainsa valemiga y= f( x), kus paremal olev avaldis on koostatud elementaarsetest põhifunktsioonidest ja konstantidest lõpliku arvu liitmise, lahutamise, korrutamise, jagamise ja liitfunktsiooni moodustamise operatsioonide teel. Polaarkoordinaadistik: Punkti asukoha määramiseks tasapinnal saab kasutada polaarkoordinaate. Võtame tasapinnal punkti O, mida nimetatakse pooluseks ja sellest punktist väljuva kiire, mida nimetatakse polaarteljeks. Punkti M asukoha tasapinnal määravad kaks arvu: polaarkaugus (polaarraadius) ρ , mis on punkti M kaugus poolusest, ja polaarnurk ϕ , mis on polaartelje ja lõigu OM vahel. Vastu kellaosuti liikumise suunda mõõdetud nurk loetakse positiivseks ja kellaosuti liikumise suunas mõõdetud nurk negatiivseks. Arve ρ ja ϕ nimetatakse punkti M polaarkoordinaatideks. 6
ekvaator. 6. Nimeta kaasaja tähtsamaid ellipsoidid (2). Lk 18 GRS-80 ja WGS-84 Ellipsoidi GRS-80 parameetreid kasutatakse peaaegu ülemaailmselt kõigil põhilistel geodeetilistel töödel, ruumiline ristkoordinaatide süsteem WGS-84 aga satelliitgeodeesia süsteemi GPS taustsüsteemiks ja selle ellipsoid on kasutusel üleminekuks GPS määratud ruumilistel ristkoorinaatidelt geograafilistele (geodeetilistele) koordinaatidele. 7. Kirjelda sfäärilisi polaarkoordinaate. Tee selgitav skeem. Lk.16 Peale geograafiliste koordinaatide, mille puhul on koordinaatidjooneks meridiaanide ja paralleelide võrk, kasutatakse kartograafias vertikaalide ja almukantaraatide võrguga seotud sfäärilisi polaarkoordinaate, kusjuures projektsiooni poolus ei ühti geograafilise poolusega ja Maa loetakse sfääriks. Lk16 joonis! 8. Kirjelda projektsiooni pikkuste mõõtkava mõistet
geograafilisteks koordinaatideks. 4. Ristkoordinaadid. Maastikupunkti asukoha plaanil või kaardil saab määrata ristkoordinaatidega x ja y. Selleks tuleb valida sobiv ristkoordinaatide süsteem. Eesti riikliku koordinaatide süsteemi x-teljeks on 24o meridiaan või sellega paralleelne suund ja y- teljeks ekvaatori kujutis või sellega paralleelne suund. Tasapinna ristkoordinaadid jagavad tasapinna 4 veerandiks. 5. Polaarkoordinaadid. Polaarkoordinaate kasut. samuti tasapinnal. Koosneb kahest elemendist: s polaarraadius, polaarnurk. Alguspunktiks polaartelg. Selle saab määrata kas riiklikkus koordinaatide süsteemis või suvaliselt. 6. Eesti baaskaardi TM projektsioon. Eesti baaskaart on topograafiline kaart mõõtkavas 1:50 000, mis valmis aastatel 1994- 96 Eesti-Rootsi ühisprojekti raames. Kogu riiki kattev kaart koosneb 112 kaardilehest mõõtmetega 50x50 cm ehk 25x25 km maapinnal. Baltimaade baaskaart on TM
geograafilisteks koordinaatideks. 4. Ristkoordinaadid. Maastikupunkti asukoha plaanil või kaardil saab määrata ristkoordinaatidega x ja y. Selleks tuleb valida sobiv ristkoordinaatide süsteem. Eesti riikliku koordinaatide süsteemi x-teljeks on 24o meridiaan või sellega paralleelne suund ja y- teljeks ekvaatori kujutis või sellega paralleelne suund. Tasapinna ristkoordinaadid jagavad tasapinna 4 veerandiks. 5. Polaarkoordinaadid. Polaarkoordinaate kasut. samuti tasapinnal. Koosneb kahest elemendist: s polaarraadius, polaarnurk. Alguspunktiks polaartelg. Selle saab määrata kas riiklikkus koordinaatide süsteemis või suvaliselt. 6. Eesti baaskaardi TM projektsioon. Eesti baaskaart on topograafiline kaart mõõtkavas 1:50 000, mis valmis aastatel 1994- 96 Eesti-Rootsi ühisprojekti raames. Kogu riiki kattev kaart koosneb 112 kaardilehest mõõtmetega 50x50 cm ehk 25x25 km maapinnal. Baltimaade baaskaart on TM
0 Näide 29. Arvutada Poissoni integraal 2 e x dx. Arvutame esmalt kahekordse integraali x2 y2 IR e dxdy, D kus integreerimispiirkonnaks on ring, mille rajajoone võrrand on x2 y2 R2 Kuna integreerimispiirkonnaks on ring, siis on sobiv kasutada polaarkoordinaate x2 y2 2 R 2 cos 2 sin 2 IR e dxdy e d d 0 0 D 2 R 2 2 1 R 2
kujutise tasapinnalisele ristkoordinaadistikule saab moodustada võrranditega: Kui r on kaugus poolusest ja on vastupäeva nurk polaarteljest, siis: Punkt polaarkoordinaadistikus on defineeritud polaarteljel asetseva pooluse 0 ja punkti vahelise pikkuse r ja polaartelje vahelise nurga abil. Polaarkoordinaadid esitatakse nurgaga koordinaattelje suhtes ja kaugusega telje alguspunktist. Nurki mõõdetakse kraadides (goonides), kaugusi meetrites. Et saada otsitava punkti polaarkoordinaate, on vaja eelnevalt teada vähemalt kahe lähtepunkti koordinaate. 7. Kumeral pinnal saadud mõõtmistulemuste väljendamine tasapinnal. Kartograafiline projektsioon on maaellipsoidi pinnatasandil matemaatiliselt väljendatud kujutamise viis. Et Maa füüsikaline pind on ebatasane ega lange ühte maaellipsoidi pinnaga, siis topograafilise kaardi saamiseks on vajalik kõigepealt projekteerida geodeetilise põhivõrgu punktid maaellipsoidi pinnale
93. Atlaste tootmise ajalugu 94. Saksa kartograafia 15. saj. lõpul, 16. saj alguses 95. Topograafilise kaardistamise ajalugu Sai alguse u 5. aastatuhandel eKr. Mastikujoonised ja geograafilised pildid on savitahvlitel säilinud. On leitud seinajooniseid Türgist, Catal Hyüki linna plaanilt. 8.- 13. sajandi esimesed keskaegsed kaardid olid rataskaardid. Rataskaardid olid ringikujulised ja keskpunktiks oli enamjaolt Jeruusalemm. Koostamisel kasutati polaarkoordinaate. Esimene trükitud kaart nägi ilmavalgust 1472. aastal. Liivimaa kohanimed olid keskajal märgitud kaartidele muukeelsetena. Teadaolevalt esimene käsikirjaline Liivimaa kaart koostati 1529.a. 1539. aastal valmis rootslasel Olaus Magnusel Põhja- Euroopa kaart Carta Marina. Esimene Vana- Liivimaa trükikaart ilmus 1555.a. 1573.a. ilmus Orteliuse atlases vanim tänaseni säilinud Vana- Liivimaa kaart. 18.saj
fikseeritud suunast. Polaarkoordinaatide kujutise tasapinnalisele ristkoordinaadistikule saab moodustada võrranditega: x=r*cos(θ); y=r*sin(θ); Punkt polaarkoordinaadistikus on defineeritud polaarteljel asetseva pooluse 0 ja punkti vahelise pikkuse r ja polaartelje vahelise nurga θ abil. Polaarkoordinaadid esitatakse nurgaga koordinaattelje suhtes ja kaugusega telje alguspunktist. Nurki mõõdetakse kraadides (goonides), kaugusi meetrites. Et saada otsitava punkti polaarkoordinaate, on vaja eelnevalt teada vähemalt kahe lähtepunkti koordinaate. 7. Kumeral pinnal saadud mõõtmistulemuste väljendamine tasapinnal. Kartograafiline projektsioon on maaellipsoidi pinnatasandil matemaatiliselt väljendatud kujutamise viis. Et Maa füüsikaline pind on ebatasane ega lange ühte maaellipsoidi pinnaga, siis topograafilise kaardi saamiseks on vajalik kõigepealt projekteerida geodeetilise põhivõrgu punktid maaellipsoidi pinnale
Selles teljestikus määratakse keha asukoht kolme kauguse kaudu: alustades liikumist koordinaatide lõikepunktist, esiteks liikudes piki x-telge, siis ristisuunas piki y-telge ja lõpuks ristisuunas piki z-telge. Kaugused x, y ja z kokkuleppelisest nullpunktist ongi keha ristkoordinaadid. Kasutatakse nt USAs linnadeplaneerimisel.Tsentraalsümmeetriliste (kerakujuliste nagu aatomid) liikumiste kirjeldamiseks on nn polaarkoordinaadid. Polaarkoordinaate on samuti kolm, kuid ainult üks neist (raadius r) omab pikkuse (kauguse) dimensiooni, kaks ülejäänut on nurgad, mis määravad selle liikumise suuna, mida mööda minnes määratud punkti jõutakse. Esimene on nurk (teeta), mis määrab erinevuse vertikaalsihist ja teine on nurk ϕ, mis määrab erinevuse kokkuleppelisest horisontaalsihist x. Kasutatakse nt elektroni orbitaalide kvantmehaaniliseks kirjeldamiseks vesiniku aatomis ja geograafias. 61
-3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 Punkti asukoha m¨ a¨ aramiseks tasandil on lisaks ristkoordinaatidele teisi v~oimalusi. Vaatleme j¨ argnevalt polaarkoordinaate. Polaarkoordinaadistik on m¨a¨aratud punktiga O, mida nimetatakse pooluseks, sellest v¨aljuva kiirega, mida nimetatakse polaarteljeks, 20 ja pikkus¨ uhikuga. J¨argnevalt on polaarkoordinaadistiku pooluseks valitud ristkoordi- naadistiku alguspunkt ja polaarteljeks x-telg (x, y) r y
annaabi.ee 
