x + y dt x +y Joonintegraal üle kontuuri ja tema seos kahekordse integraaliga A B Kui piirkond jääb vasakule, siis on see joone läbimise suund positiivne. Kui piirkond jääb paremale, negatiivne. Xdx + Ydy = Xdx + Ydy L IL int .üle.kontuuri Green'i valem: seos 2x integraali ja kinnise piirkonna integraali vahel (Yx - X y )dxdy = Xdx + Ydy D L pos. suunas! Esimest liiki pindintegraali mõiste, omadusi, tema arvutamine ja rakendusi Mõiste: Orienteeritav pind ja sellel määratud funktsioon w=f(P). Kolme muutuja funk. Omadusi: Lineaarsus Aditiivsus = 1 2 Võib jaotada pinna osadeks. Ei sõltu pinna poolest, mida läbitakse (±) . Arvutamine: kahekordse integraali abil Kui pind on antud ilmutatud võrrandiga: z=z(x,y): dS 1 + Z 2 x( x, y ) + Z 2y ( x, y ) dxdy Int üle pinna funktsioonist: f ( x, y, z )dS = f ( x, y, z ( x, y))
19. Kolmekordse integraali rakendusi. 20. Joonintergaalid (tasandiline ja ruumiline joonintegraal, geomeetriline tähendus). Esimest ja teist liiki joonintegraalide omadused ning erinevused. Kuidas arvutada joonintegraale? 21. Green’i valem (mis seose annab Green’i valem?). 22. Joonintegraali rakendusi. 23. Pindintegraalid (Ostrogradski ja Stokes’i valem – mis seosed need valemid annavad?). Kuidas arvutada esimest liiki pindintegraali? 24. Rajade määramine integraalidel. 25. Arvread (definitsioon, lisaks definitsioonid: rea liige, rea üldliige, rea osasumma, rea hajumine ja koondumine, koonduvate ridade omadused). 26. Rea koonduvuseks tarvilik tingimus. 27. Geomeetriline ja harmooniline rida. 28. Positiivsete arvridade koonduvustunnused (Cauchy, D’Alembert, võrdlustunnus, integraaltunnus). 29. Vahelduvate märkidega rea koonduvustunnus (Leibnizi tunnus). 30
Vähendatud programm 1. Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kahekordse integraali definitsioonid. Kahekordse integraali geomeetriline sisu. 2. Kahekordse integraali omadused (põhjendusi ei küsi). 3. y- ja x-telje suhtes regulaarsed piirkonnad. Kahekordse integraali esitus kaksikintegraalina y- ja x-telje suhtes regulaarsete piirkondade korral. Millal nimetatakse piirkonda regulaarseks? 4. Muutujate vahetus kahekordse integraali all. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse (esitada vastav valem tuletamata). 5. Kolmemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kolmekordse integraali definitsioonid. 6. Kolmekordse integraali omadused (põhjendusi ei küsi). 7. Kolmekordse integraali esitamine kolmikintegraalina. 8. Muutujate vahetus kolmekordse integraali all. 9. Silinderkoordinaadid ja nende seosed ristkoordinaatidega. Kolmekordse integraali teisendamine silind...
kahekordset integraali. (sama yz- ja xz-tasandi korral). Kui pind Ω on sile ja funktsioon f on pidev sellel pinnal, siis eksisteerib sellel funktsioonil I liiki pindintegraal üle pinna Ω. OMADUSED: Omadused on kaekordse integraaliga samad - aditiivne, lineaarne ja monotoonne. ARVUTAMINE: Kui pind Ω on ilmutatud võrrandiga z=z(x,y), kus (x,y)ЄD, siis pindintegraal avaldub kahekordse integraalina ʃʃΩfdS=ʃʃDf[x,y,z(x,y)]sqrt(1+zx2+zy2)dxdy 16. I liiki pindintegraali rakendused: ruumilise pinnatüki pindala, mass, masskese ja inertsmomendid, näiteid 1)Pinnatüki pindala. Sileda pinna Ω pindala on arvutatav valemiga SΩ=ʃʃΩdS 2)Pinna mass. Olgu pinna Ω pindtihedus määratud funktsiooniga γ= γ(x,y,z). Pinna mass on sellisel juhul mΩ arvutatav mΩ=ʃʃΩγ(x,y,z)dS 3)Masskeskme koordinaadid. Materjaalse pinna pindtihedusega γ(x,y,z) masskeskme C(xc,yc,zc) koordinaadid saab arvutada valemitest:
integraalilt üle minna I liiki joonintegraaliks. 24.Joonintegraali rakendusi Kaare AB pikkuse arvutamine Tasandilise joone massi määramine Tasandilise kujundi D pindala arvutamine Jõuvälja poolt tehti töö kaarel arvutamine Vedeliku stabiilne tasandiline liikumine Elektrivoolu ja magneti vaheline toime 25.Pindintegraalid(Ostrogradski ja Stokes’i valem- mis seosed need valemid annavad?) Kuidas arvutada esimest liiki pindintegraali Ostrogadski valemiga saab üle minna Kolmekordselt integraalilt pindintegraalile Stokes’i valemiga saab üle minna pindintegraalilt joonintegraalile Esimest liiki pindintegraali saab arvutada valemiga ❑ ∬ f (x , y , g ( x , y ) )√ z 2x + z 2y + 1dA D 26.Arvread(definitsioonid, lisatakse definitsioonid: rea liige, rea üldliige, rea osasumma, rea hajumine ja koondumine, koonduvate ridade omadused)
i 1 Kui pind asub xy-tasandil ja f R 3 , siis I liiki pindintegraal kujutab endast kahekordset integraali. Sama on ka siis, kui pind asub yz- või xz-tasandil. I liiki pindinegraali olemasolu järgneb järgmisest lausest Teoreem 12. Kui pind on sile ja funktsioon f on pidev sellel pinnal, siis eksisteerib sellel funktsioonil I liiki pindinegraal üle pinna . 3.1.1 Esimest liiki pindintegraali omadused I liiki pindintegraalil on samad omadusd kui kahekordsel integraalil, s.t. I liiki pindintegraal on aditiive, lineaarne, monotoonne. 3.1.2 Esimest liiki pindintegraali arvutamine 3.1.2.1 Kui pind on antud ilmutatud võrrandiga z z x, y , kus x, y D, siis pindintegraal avaldub kahekordse integraalina fdS f x, y, z x, y 1 z 2x z 2y dxdy 21
(kahemõõtmelisel juhul tuletada vastav valem ja kolmemõõtmelisel juhul esitada vastav valem ilma tuletamata). 42. Tuletada Greeni valem. 43. Tõestada, et potentsiaalse jõuvälja integraal mööda kinnist kontuuri tasandil võrdub nulliga. Joonintegraali sõltumatus integreerimisteest (tuletada vastav valem kahemõõtmelisel juhul ja esitada vastav valem ilma tuletamata kolmemõõtmelisel juhul ). Konservatiivse jõuvälja mõiste. 44. Esimest liiki pindintegraali definitsioon. Pinna pindala ja pinna massi arvutamine (tuletada vastavad valemid). 45. Arvrida, arvrea osasumma ja arvrea summa. Geomeetriline rida ja selle koonduvus. Sõnastada ja tõestada arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. 46. Arvridade koonduvustunnused: majoranttunnus, d'Alemberti tunnus, integraaltunnus ja Leibnitzi tunnus. 47. Funktsionaalrea mõiste. Funktsionaalrea koonduvuspiirkond. Funktsionaalrea majont. Majoranttunnus funktsionaalrea koonduvuse hindamisel. 48
0 1 i n i =1 siis piirväärtust I nimetatakse funktsiooni f esimest liiki pindintegraaliks (pindintegraaliks pindala järgi) üle pinna . Tähistus: fdS , f (P )dS , f (x, y, z )dS Aditiivsuse, lineaarsuse ja monotoonsuse omadused ning keskväärtusteoreem on esimest liiki pindintegraali puhul analoogsed kahe- ja kolmekordse integraali vastavate omadustega. Teoreem 10. Kui funktsioon f on pidev siledal pinnal : z = z ( x, y ) (x, y ) D = pr xy , siis f (x, y, z )dS = f (x, y, z (x, y )) D 1 + z x2 (x, y ) + z y2 ( x, y )dxdy NB! Teoreemi eeldus tagab antud pindintegraali olemasolu. Analoogselt:
..dn. Muudame pinna S tükeldust järjest peenemaks nee, et n 0 . On integraalsumma n piirväärtust taolises piirprotsessis nim funktsiooni esimest liiki pindintegraaliks üle pinna S ja tähistatakse (P)ds n Seega definitsiooni kohaselt (P)ds = lim n = lim (Pi) Si s n 0 n 0 i=1 30. Esimest liiki pindintegraali rakendusi. 1. Esimest liiki joonintegraali kasutades saab arvutada joone L pikkuse. Tõepoolest, kuna Li on osakaare Mi-1Mi pikkus, siis kaarte pikkuste summa n ln = / Li võrdub joone L pikkusega. i= 1 2. Kui L on materiaalne joon pideva joontihedusega (P), siis selle joone mass avaldub esimest liiki joonintegraaliga: m = (P)dL L 31
pinnaelemendi normaal-ühikvektor.. 3) Liidame saadud tulemused kokku. Seda arvestades avaldub pinda läbiv elektrivälja tugevuse voog valemiga n n E ( S ) Ei ni dSi Ei dSi . (10.14) i 1 i 1 Sisuliselt tähendab see pindintegraali E ( S ) E dS (10.15) S arvutamist. Erijuhul, kui elektriväli on homogeenne ja pind tasane, võib summa (10.14) või integraali (10.15) asemel kasutada korrutist E (S ) E nS ES cos
annaabi.ee 
