järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. Olgu x järjestatud muutuv suurus. Muutuv suurus x läheneb arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse (a − ε, a + ε), st rahuldavad võrratust |x − a| < ε 4. Defineerida muutuva suuruse vasak- ja parempoolsed piirprotsessid x → a+ ja x → a- (lk 3) Muutuv suurus x läheneb vasakult arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku (a − ε, a]. Sellisel juhul kirjutatakse x → a − Muutuv suurus x läheneb paremalt arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse
suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse (a - , a + ), st rahuldavad võrratust |x - a| < . Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse x a või lim x = a . Piirväärtuse üldises definitsioonis ei ole fikseeritud kuidas (vasakult, paremalt või mõlemalt poolt) muutuja x lähenemine arvule a toimub. Seega on piirprotsessi x a erijuhtudeks sellised piirprotsessid, kus x läheneb arvule a ainult vasakult või paremalt. Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid. Ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid saame üldisest piirväärtuse definitsioonist, kui me seal esineva ümbruse (a-, a+) kitsendame kas vasakpoolseks või parempoolseks ümbruseks (a-, a] või [a, a+). Muutuv suurus x läheneb vasakult arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu
suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse (a − ε, a + ε), st rahuldavad võrratust |x − a| < ε. Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse x → a või lim x = a . Piirväärtuse üldises definitsioonis ei ole fikseeritud kuidas (vasakult, paremalt või mõlemalt poolt) muutuja x lähenemine arvule a toimub. Seega on piirprotsessi x → a erijuhtudeks sellised piirprotsessid, kus x läheneb arvule a ainult vasakult või paremalt. Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid. Ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid saame üldisest piirväärtuse definitsioonist, kui me seal esineva ümbruse (a−ε, a+ε) kitsendame kas vasakpoolseks või parempoolseks ümbruseks (a−ε, a] või [a, a+ε). Muutuv suurus x läheneb vasakult arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest
Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . 22 2 Piirv¨a¨ artus ja pidevus 27 2.1 Muutuva suuruse piirprotsessid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Jada piirv¨a¨artus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 L~opmatult kahanevad, l~opmatult kasvavad ja t~okestatud suurused. 30 2.4 Funktsiooni piirv¨a¨ artus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5 Funktsiooni u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused. . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.6 Funktsiooni piirv¨a¨ artuste omadused. . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2
Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . 22 2 Piirv¨a¨ artus ja pidevus 27 2.1 Muutuva suuruse piirprotsessid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Jada piirv¨a¨artus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 L~opmatult kahanevad, l~opmatult kasvavad ja t~okestatud suurused. 30 2.4 Funktsiooni piirv¨a¨artus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5 Funktsiooni u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused. . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.6 Funktsiooni piirv¨a¨artuste omadused. . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2
arvu > 0 korral leidub niisugune arv > 0 , et kehtib võrratus f (x ) - A < , alati kui 0 < x - a < , ja kirjutatakse lim f ( x ) = A ehk f (a + ) = A . xa + 4. Funktsiooni (lõplik) (ühepoolne) piirväärtus lõpmatuspunktis Ühepoolseteks piirvärtusteks loetakse ka piirväärtused nn. lõpmata kaugetes punktides ja - , s.o. piirprotsessid x ja x - . Punkti ümbruseks nimetatakse iga vahemikku ( N , ) ja punkti - ümbruseks iga vahemikku (- ,- N ) , kus N > 0 on mis tahes arv. Need on nende punktide ühepoolsed ümbrused. Tähistus x tähendab lähenemist punktile vasakult nii, et x saab suuremaks igast arvust N , s.t. siseneb punkti igasse ümbrusse. Analoogiliselt tähendab x - lähenemist punktile - paremalt nii, et x saab väiksemaks igast arvust - N , s.t. siseneb punkti - igasse ümbrusse. Samal viisil
. piirväärtus ja pidevus Seda demonstreerib ka kenasti funktsiooni graafik: Nii tundub, et funktsiooni loomulik väärtus kohal üks peaks olema täpselt kaks. Piirväärtus annabki funktsioonide korral sellisele loomulikule augutäitmisele täpse tähenduse. Kokkuvõttes võib öelda, et piirprotsessid aitavad meil aru saada ja kindlaks määrata, mis juhtub seal, kuhu meil pole lubatud vaadata või kuhu me ei ulatu vaatama. 309 Jada piirväärtus piirväärtus ja pidevus Tuletame meelde, et märgiga tähistavad matemaatikud lõpmatust – midagi, mis
annaabi.ee 
