difer.def: võrdeline
e X, kasv. Ja kah.funk.rakendamine
argumendi muuduga ja nullist
argumentidele x1 ja x2, hulk
D.astmef.märpiirk. sõltuvus a- erineva tul.korral on funk.muut
st.a)a=p/q (kui q paaritu, a>0, siis ja dif. Ekvival.suurused
X=R, kui a
ei, ja, või jne) Näited: , , , , 17. Mis on pöördoperaator, pöördfunktsioon? Esitage 2 näidet! Operaatorit , mis seab muutuja y väärtusele hulgas Y vastavusse muutuja x ühe kindla väärtuse hulgas X nimetatakse pöördoperaatoriks. Funktsiooni, mida tekitab pöördoperaator nimetatakse pöördfunktsiooniks. Näited: v.t. järgmises punktis olevat näidet 18. Leida funktsiooni pöördfunktsioon! Otsitav pöördf-n on selle võrduse paremal pool. Tähistan selle järgnevalt. Siin on argumendiks y, tavaliselt tähistatakse leitud pöördf-ni argument taas sümboliga x. Nii saan: 19. Millal funktsiooni ja selle pöördfintktsiooni graafikud langevad kokku ja millal need on sümmeetrilised koordinaateljestiku I veerandi nurgapoolitaja suhtes? Esitage 2 näidet Funktsiooni ja pöördfunktsiooni graafikud langevad kokku kui paigutada funktsiooni argumendi x
+ paaritu f-n määramisp-nd on sümmetriline koordinaatide nullpunkti suhtes, kui kehtib võrdus f(- x)=-f(x) + f-ni y=f(x) nimetatakse perioodiliseks piirkonnas X ja arvu T0 tema perioodiks, kui xX korral ka xTX ning kehtib võrdus f(x+T)=f(x) + f-nide y=f(x) ja u=g(x) liitfunktsiooniks nimetatakse f-ni y=f(g(x)). Komponendid f-nid f ja g. 6. + Üksühele f-ni y=f(x), xX pöördf-niks nimetatakse f-ni x=f^-1(y), mis igale arvule yY=f(x) seab vastavusse arvu xX, kusjuures y=f(x) + kui iga korral hulgast Y leidub üks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks, siis öeldakse, et f- n f on üksühene. 7. + + f-ne, mis saadakse põhilistest elementaarf-nidest lõpliku arvu aritmetiliste tehete ja liitg-ni moodustamise teel, nimetatakse elementaarf-nideks + pole elementaarne f-n 8. + + + 9. + + + +
Graafiku y=f(x)+b saame siis, kui f-ni 72. Üleminek logaritmi ühel aluselt teisele y=f(x) nihutada mööda y-telge log b x log a x = y = f ( x) log b a F-ni y=|f(x)| graafiku saame siis, kui 73. Logaritmfunktsioonigraafik fraafiku y=f(x) osad, mis paiknevad x- Eksponentf-ni y=ax pöördf-ni y=logax teljest allpool, peegeldame x-teöje suhtes F-nid y=ax ja y=logax on teineteise 64. Liitfunktsioon pöördf-nid 65. Pöördfunktsioon I. Nende graafikud on sümm.sirge y=x Pöördf-nide graafikud on sümmeetrilised suhtes sirge y=x suhtes II. F-ni y=ax määr.pk (X)on f-ni y=logax 66
Q=f (p) või QD=f (p) ja nimetatakse nõudlusfunktsiooniks. Pakutav kogus Q (või QS) on toote ühikuhinna p funktsioon, mida väljendatakse kujul Q=f (p) või QS=f (p) ja nimetatakse pakkumisfunktsiooniks. Sageli kasutatakse nõudlusfunktsiooni ja pakkumisfunktsiooni pöördfunktsioone: p = f -1 (QD ) p = g -1 (QS ) Seega, kui Q=f (p) teostab teisenduse p Q, siis selle pöördf. Teostab teisenduse Q p. Hinda p*, mille puhul nõudlus võrdsustub pakkumisega nimetatakse tasakaaluhinnaks. Vastavat kaubakogust Q* nimetatakse tasakaalukoguseks. Pöördfunktsioon Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooni saame, kui seame selle funktsiooni muutumispiirkonna f(X) igale elemendile y vastavusse need funktsiooni y=f(x) määramispiirkonna elemendid x, mille korral f(x)=y. Kirjutame x = f -1 ( y )
-n. Osaliselt rekursiivsete funktsioonide hulk langeb kokku Turingi mõttes arvutatavate funktsioonide hulgaga see tähendab, et ainult osaliselt rekursiivsed f.-nid on raalil arvutatavad. Ainult neile on võimalik koostada programm. 27. Cantori funktsioonid. Arvutatava funktsiooni ühekohalised esindajad. Korteez on elementide lõplik järjend. Kohati on vaja täielikku vastavust korteezhide ja naturaalarvude hulga vahel (täielikku järjestust). Cantori f.-n (sellele eksisteerib ka pöördf.-n): c(x,y) = 0.5(x+y)(x+y+1) + x pöördf.-n c1 = l(n) annab esimese argumendi c2 = r(n) annab teise argumendi Kolmekohaliste korteerzhide jaoks c3(x,y,x) = c(x,c(y,z)) I-kohaliste jaoks analoogne rekursiivne lahendus. Cantori f.n ja selle pöördf.-n on lihtrekursiivsed. Registermasina käsud saab Cantori numbrite järgi kodeerida.. Seega saab programmi koodiks naturaalarv, millest saab leida prorammi pikkuse, iga käsu eraldi, jne. F
Lõigul [a;b] pideva ja rangelt monotoonse f-ni f ( x) pöördf-n on pidev lõigul otspunktidega f (a) ja f ( x) g(x)
Siis tema pöördfunktsiooni f−1 määramispiirkond on Y ja muutumispiirkond on X ja f −1 on defineeritud kui f(x) = y f-1(y) = x Eesmärk: Argumendi ja väärtuste rolli vahetus funktsioonis (vahetame x ja y väärtused) Pöördfunktsiooni graafik on sümmeetriline joone y=x suhtes. Pöördfunktsiooni leidmine: a) Kirjuta funktsioon kujul y = f(x) b) Avalda x c) Vaheta x ja y ning saadki tulemusesk pöördf-ni y = f-1(x) Näide 1. Olgu hulk X Eesti Vabariigi kodanike hulk ja hulk Y nende isikukoodide hulk. Sel juhul on hulgal X määratud funktsioon, kuna igale EV kodanikule vastab üks kindla eeskirja järgi määratud isikukood. On olemas ka pöördvastavus: igale isikukoodile vastab üks isik. See tähendab, et ka hulgal Y on määratud funktsioon. Näide 2. Olgu hulk X mingi kooli õpilaste hulk ja hulk Y õpilaste vanuste (aastates) hulk. Hulgal X on määratud funktsioon,
d) joonestage ühes ja samas teljestikus funktsioonide f(x) = ja g(x) = 3x -3 graafikud ning leidke piirkond, kus samaaegselt f(x) > 0 ja g(x)<0 . e) Leidke antud funktsiooni pöördfunktsioon, mõlema funktsiooni määramispiirkond ning joonestage mõlema funktsiooni graafik 1) y = x2 , kui x 0 2) y = lnx , kui x < 0 3) y = 2x+1 Vastus: 1) F - ni y = x2 määramispiirkond X = ( - ; 0 ] muutumispiirkond. Y = [ 0 ; ) pöördf-n y = - x X = [0 ; ) Y = (- ; 0] 1 f) Joonestage funktsioonide y = 2x ja y = x graafikud piirkonnas x > 0 ja määrake graafikute lõikepunkti koordinaadid täpsusega 10-1 Vastus: ( 0,6 ; 1,6) -4- - 1 2
1) y = x2 , kui x 0 2) y = lnx , kui x < 0 3) y = 2x+1 Vastus: 1) F - ni y = x2 määramispiirkond X = ( - ; 0 ] muutumispiirkond Y = [ 0 ; ) x pöördf-n y = - X = [0 ; ) Y = (- ; 0] 1 x2 f) Joonestage funktsioonide y = lnx ja y = graafikud samasse teljestikku ning leidke mõlema graafiku esimese veerandi nende punktide, mille ordinaat on 1, vaheline kaugus. Vastus: Kaugus on e-1 . 1. y log 2 x 2
Universaalne funktsioon: k+1-kohalist funktsiooni U nimetatakse funktsioonide klassi alamklassi (klassi F k argumendiga klassid) Fk universaalseks funktsiooniks, kui: • iga väärtusega a ja muutujatega x1,..,xk funktsioon U(a,x1,..xk) kuulub klassi Fk • iga Fk klassi funktsiooni korral eksisteerib naturaalarv b, nii et iga argumentvektori korral kehtib võrdus f(x1,..,xk) = U(b,x1,..,xk) Kui funktsioonide klassis on ka Cantori funktsioonid ja selle pöördf.-nid, saab universaalse funktsiooni asendada selle ühekohalise esindajaga (klassi F1 universaalse funktsiooniga). 25 Rice'i teoreem. DEF: Hulka (keelt), millel leidub karakteristlik Turingi masin, nimetatakse lahenduvaks ehk rekursiivseks. DEF: Arvutatavate f-de hulk, mis ei võrdu osaliste rekursiivsete funktsioonide hulgaga, on mittetriviaalne. Funktsionaalne omadus: kuidas on sisend seotud väljundiga? Mõnel masinal on see omadus, mõnel mitte.
funktsioon, nim liitfunkt-niks sõltumatu muutuja suhtes y=f(u) u=u(x), Märkus: sisalduvus võib olla mitmekordne 5. Põhilised elementaarfunkts. 1)astmefunkts y=xa; a IR (nii murrulised, kui negatiivsed) 2)eksponentf-n y=ax, a 1, astmef-ni puhul on muutuja konstantses astmes , eksponentf-ni puhul on muutuja muutuvas astmes 3)logaritmf-n y=log ax, a>0, a 1 4)trig. F- nid y=sinx; cosx;tanx;cotx 5)arkus f-nid y=arcsinx;... NB 2ja 3 ning 4 ja 5 on pöördf-nid. Elementaarf-n saadakse põhilistest elementaarf-nidest aritmeetiliste tehete +liitf-nide moodustamise abil *täisrats f-nidpolünoomid *murdrats f-nidpolünoomide jagatis *irrats f-nidmurrulised astendajad 6.Tõkestamatult kahanev ja kasvav suurus Kahanev: Suurus x: x1,x2,x3..xn=f(n),...tekib vaadeldava suuruse (x) väärtuste jada: xn=1/n=>(tabel) *def.1 Suurus xn on tõkestatud sel korral, kui vastavalt igale pos arvule M leidub niisugune indeks N (naturaalarvude hulgast), mille
annaabi.ee 
