Siis, vastavalt lokaalse maksimumi definitsioonile, leidub punkti x1 u¨mbrus nii, et iga x korral sellest u¨mbrusest kehtib v~orratus f(x) - f(x1) 0 Selles u¨mbruses asuva arvu x me saame v~otta punktist x1 nii vasakult kui ka paremalt. Asugu x punktist x1 vasakul. Siis x - x1 < 0. Jagame v~orratuse negatiivse arvuga x - x1. Kuna negatiivse arvuga jagamisel v~orratuse m¨ark muutub vastupidiseks, saame f(x) - f(x1)/ x - x1 0. See v~orratus j¨a¨ab kehtima ka siis, kui me v~otame temast piirv¨a¨artuse protsessis x x1. Seega tuletise definitsiooni p~ohjal F'(x1) = lim f(x) - f(x1)/ x - x1 0. xx1 J¨argnevalt olgu x punktist x1 paremal. Siis x - x1 > 0. Jagades v~orratuse positiivse arvuga x - x1 saame f(x) - f(x1)/ x - x1 0. V~otame piirv¨a¨artuse: F'(x1) = lim f(x) - f(x1)/ x - x1 0. xx1 V~orratused n¨aitavad, et f'(x1) 0 ja f'(x1) 0. See on v~oimalik vaid siis, kui f'(x1) = 0.
16 Parameetrilisel kujul antud funktsioon. Vaatleme funktsiooni y = f (x). Toome lisaks muutujatele x ja y sisse ka kolmanda muutuja t (nn parameetri). Olgu muutuja x parameetri t funktsioon, st x = (t). Siis saab ka muutuja y avaldada parameetri t kaudu. T~oepoolest: kasutades muutuja x valemit arvutame y = f (x) = f [(t)] = (f )(t). Seega, t¨ahistades = f saame v~orrandi y = (t). V~otame need kaks v~orrandit kokku u ¨hte s¨usteemi. Kui parameetri t muutu- mispiirkond on l~oik [T1 , T2 ], n¨aeb see s¨ usteem v¨alja j¨argmine: { x = (t) (1.8) y = (t) , t [T1 , T2 ] . V~orrandeid (1.8) nimetatakse funktsiooni y = f (x) parameetrilisteks v~orrandi- teks
16 Parameetrilisel kujul antud funktsioon. Vaatleme funktsiooni y = f (x). Toome lisaks muutujatele x ja y sisse ka kolmanda muutuja t (nn parameetri). Olgu muutuja x parameetri t funktsioon, st x = (t). Siis saab ka muutuja y avaldada parameetri t kaudu. T~oepoolest: kasutades muutuja x valemit arvutame y = f (x) = f [(t)] = (f )(t). Seega, t¨ahistades = f saame v~orrandi y = (t). V~otame need kaks v~orrandit kokku u ¨hte s¨usteemi. Kui parameetri t muutu- mispiirkond on l~oik [T1 , T2 ], n¨aeb see s¨ usteem v¨alja j¨argmine: x = (t) (1.8) y = (t) , t [T1 , T2 ] . V~orrandeid (1.8) nimetatakse funktsiooni y = f (x) parameetrilisteks v~orrandi- teks. V~orranditega (1.8) antud joon on u
Kroneckeri1 s¨ umboli ij defineerime valemiga 1, kui i = j ij = 0, kui i = j 2.2 Arendusteoreemid Teoreem 1. Olgu A ruutmaatriks ning Aij elemendi aij alamde- terminant. Siis ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + · · · + ain Ajn ij det A = a1i A1j + a2i A2j + · · · + ani Anj 2.3 Arendusvalemid V~otame arendusteoreemides j = i. Saame nn arendusvalemid ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + · · · + ain Ain det A = a1i A1i + a2i A2i + · · · + ani Ani Esimene valem on determinandi arendus i-nda rea j¨argi ning tei- ne valem on determinandi arendus i-nda veeru j¨argi. Esimesest arendusvalemist saame i = 1 korral determinandi definitsiooni. Arendusvalemeid v~oib kasutada determinandi arvutamiseks.
Selle protseduuri k¨aigus toimub s + 1 k~orvuti oleva arvupaari vahetust. N¨uu ¨d toome arvu k arvu i esialgsele kohale, vahetades s korda k~orvuti olevaid arve. Seega saime permutatsioonist (2.2) permutatsiooni (2.3), va- hetades kokkuv~ottes (s + 1) + s = 2s + 1 korda k~orvuti olevaid arvupaare. Iga selline arvupaari vahetus, nagu teame, muutis permutatsiooni paarsust. Kuna 2s + 1 on paaritu arv, siis permutatsioonid (2.2) ja (2.3) on erineva paarsusega. V~otame n¨ uu ¨d kaks permutatsiooni 12 . . . n, 1 2 . . . n . Neist esimene on nn. loomulik permutatsioon. Tema inversioonide arv on null, seega ta on paarispermutatsioon. Teeme kummaski permutatsioonis u ¨hesuguseid arvupaaride vahetusi eesm¨argiga saada teisest permutatsioo- ¨ nist loomulik permutatsioon, mis muutub paarispermutatsiooniks. Oeldut saame iseloomustada j¨argmiselt:
Selle protseduuri k¨aigus toimub s + 1 k˜orvuti oleva arvupaari vahetust. N¨uu ¨d toome arvu αk arvu αi esialgsele kohale, vahetades s korda k˜orvuti olevaid arve. Seega saime permutatsioonist (2.2) permutatsiooni (2.3), va- hetades kokkuv˜ottes (s + 1) + s = 2s + 1 korda k˜orvuti olevaid arvupaare. Iga selline arvupaari vahetus, nagu teame, muutis permutatsiooni paarsust. Kuna 2s + 1 on paaritu arv, siis permutatsioonid (2.2) ja (2.3) on erineva paarsusega. ♠ V˜otame n¨ uu ¨d kaks permutatsiooni 12 . . . n, α1 α2 . . . αn . Neist esimene on nn. loomulik permutatsioon. Tema inversioonide arv on null, seega ta on paarispermutatsioon. Teeme kummaski permutatsioonis u ¨hesuguseid arvupaaride vahetusi eesm¨argiga saada teisest permutatsioo- ¨ nist loomulik permutatsioon, mis muutub paarispermutatsiooniks. Oeldut
2 3.3 Lagrange'i teoreem Teoreem (Lagrange'i teoreem). Kui funktsioon f (x) on pidev l~oigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b), siis leidub v¨ahemalt u ¨ks punkt (a; b), et f (b) - f (a) = f (). (3.4) b-a T~oestuseks piisab, kui v~otame Cauchy teoreemis g(x) = x, sest siis g(b) = b, g(a) = a ja g (x) = 1. 3.4 L'Hospitali reegel L'Hospitali reegel h~olbustab jagatise piirv¨aa¨rtuse f (x) lim xa g(x) arvutamist, kui tegemist on 00 - v~oi - t¨ uu¨pi m¨a¨aramatusega. 0
. . = b1n = r, r1 = 2r, S ⊂ A ⊂ K1 . 7.4 Heine-Boreli teoreem 81 Kuup K1 sisaldab l˜opmata palju hulga S punkte. Oletame, et juba on konstrueeritud kuup Km ja n¨aitame, kuidas konst- rueeritakse Km+1 . Jaotame kuubi Km iga serva [ami ; bmi ] ka- heks v˜ordse pikkusega osaks 1 1 [ami ; ami + rm ], [ami + rm ; bmi ] 2 2 ja v˜otame tekkinud osade k˜oikv˜oimalikud otsekorrutised u ¨le i = 1, 2, . . . , n. Saame 2n uut kuupi, mille servade pikkused on poole v¨aiksemad kui kuubi Km serva pikkus. Saadud kuu- pide u¨hend on Km . Seet˜ottu v¨ahemalt u ¨ks nendest 2n kuu- bist sisaldab l˜opmata palju hulga S punkte. Kuubiks Km+1 valimegi u ¨he sellistest kuupidest. Kuupide K1 , K2 , . . . konstruktsiooni kohaselt kehtib v˜ordus (7.15) ja a1i ≤ a2i ≤ . . . ≤ ami ≤ . . . ≤ bki ,
annaabi.ee 
