Def: (x1, x2, ..., xn)E muutuja y siis y=(x1, x2, ..., xn). Def: Kahe muutuja f-ni määramispiirk nim niisugust x, y väärtuste paaride hulka millele eeskirjade kohaselt on võimalik vastavusse seada muutuja z väärtust. Kahe muutuja f-ni tasandilõiked ja nivoojooned Olgu kahe muutuja f-n z=(x; y) (joon) yz-tasand x=0; xz-tasand y=0; xy-tasand z=0 graafik on pind ruumis: (1) x=a {z=(x; y); x=a (2) y=b {z=(x; y); y=b (3) z=c {z=(x; y); z=c Need kolm on pinna z=(x; y) nivoojooned F-ni osamuut ja täismuut z=(x; y) fikseeritud punktis P(x; y) (joon) (x; y)(x+x; y) Def: Vahet (x+x; y)- (x; y) nim 2 muutuja f-ni osamuuduks x-i järgi ja tähistatakse xz (joonisel QQ). Kui on antud (x; y)(x; y+y) Def: f-ni osamuut y-i järgi on def punktis yz=(x; y+y)-(x; y) (joon. RR). Kui on antud (x; y)(x+x; y+y) Def: f-ni täismuuduks nim vahet z=(x+x; y+y)-(x; y) (TT) Kahe muutuja f-ni piirväärtus ja pidevus
funktsioon z = f (x1, x2, ..., xn ) 39. lahtine piirkond- ainult seesmistest punktidest koosnev piirkond. Sisemised punktid on määramispiirkonna need punktid, mis ei asetse rajajoonel. 40. kinnine piirkond- piirkond kuhu kuulvad seesmised punktid ja ka kõik rajapunktid. 41. tõkestatud piirkond- kui leidub selline konstant C, et piirkonna mistahes punkti P kaugus koordinaatide alguspunktist on väiksem kui C, nimetatakse piirkonda tõkestatuks. 42. kahe muutuja funktsiooni osamuut- kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) osamuut x järgi : x z = f ( x + x, y ) f ( x, y) osamuut y järgi : y z = f ( x, y + y ) f ( x, y) 43. kahe muutuja funktsiooni täismuut- kahe muutuja funktsiooni z = f( x, y ) täismuut : z = f ( x + x, y + y ) f (x, y) 44. kahe muutuja funktsiooni piirväärtus- arvu A nimetatakse funktsiooni f (x, y ) piirväärtuseks punkti P lähenemisel punktile P0 , kui iga arvu > 0 korral leidub arv
D määramispiirkond Z = { z|z = f(x;y); (x;y) E D} - muutumispiirkond Funktsiooni graafik kolmedimentsiooniline. Teooriaküsimused nr. 8 1. Defineerida kahe muutuja funktsiooni osatuletised. Funktsiooni z=f(x;y;u,...) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu xz ja argumendi x muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) osamuut x järgi: osamuut: xz = f(x + x, y) - f(x;y) Kahe muutuja funktsiooni x=f(x,y) osamuut y järgi: yz=f(x;y+y) - f(x,y) Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) täismuut: z= f(x+x; y+y) - f(x;y) 2. Mis on mitme muutuja funktsiooni gradient? Gradientvektor on vektor funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis, mille koordinaatideks on vastava osatuletise väärtused selles punktis. gradz(P0) = (z´X(P0); z´Y(P0)) Gradientvektori pikkus näitab muutumise maksimaalset kiirust. 3
1. kui 0<=f(x)<=(x) ja (x)dx koondub, siis koondub ka f(x)dx. 2. kui 0<=f(x)<=(x) ja f(x)dx hajub, siis hajub ka (x)dx 8. Määratud integraali ligikaudne arvutamine. Ristkülikvalem. Trapetsvalem. 9. Pindala arvutamine ristkoordinaatides. 10. Polaarkoordinaadistik. Kõversektori pindala polaarkoordinaatides. 11. Kõverjoone kaare pikkus. 12. Mitme muutuja funktsiooni mõiste. 13. Kahe muutuja funktsiooni tasandilõiked ja nivoojooned. 14. Funktsiooni osamuut ja täismuut. 15. Kahe muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus. 16. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised. 17. Täismuut ja täisdiferentsiaal. 18. Ilmutamata funktsiooni tuletis. 19. Liitfunktsiooni tuletis. 20. Mistahes järku osatuletised. 21. Tuletis antud suunas. 22. Gradient. 23. Kahe muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid. 24. Kahe muutuja funktsiooni suurim ja vähim väärtus antud piirkonnas. 25. Mitme muutuja funktsiooni tinglikud ekstreemumid. 26
D -määramispiirkond Z = { z|z = f(x;y); (x;y) e D} - muutumispiirkond Funktsiooni graafik kolmedimentsiooniline. TEOORIAKÜSIMUSED nr 8 1. Defineerida kahe muutuja funktsiooni osatuletised. Funktsiooni z=f(x;y;u,...) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu xz ja argumendi x muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile: = = Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) osamuut x järgi: osamuut: xz = f(x + x, y) - f(x;y) Kahe muutuja funktsiooni x=f(x,y) osamuut y järgi: yz=f(x;y+y) - f(x,y) Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) täismuut: z= f(x+x; y+y) - f(x;y) 2. Mis on mitme muutuja funktsiooni gradient? Gradientvektor on vektor funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis, mille koordinaatideks on vastava osatuletise väärtused selles punktis. gradz(P0) = (z´X(P0); z´Y(P0)) Gradientvektori pikkus näitab muutumise maksimaalset kiirust. 3
muutuja funktsioon z = f (x1, x2, ..., xn ) 39. lahtine piirkond - ainult seesmistest punktidest koosnev piirkond. Sisemised punktid on määramispiirkonna need punktid, mis ei asetse rajajoonel. 40. kinnine piirkond - piirkond kuhu kuulvad seesmised punktid ja ka kõik rajapunktid. 41. tõkestatud piirkond - kui leidub selline konstant C, et piirkonna mistahes punkti P kaugus koordinaatide alguspunktist on väiksem kui C, nimetatakse piirkonda tõkestatuks. 42. kahe muutuja funktsiooni osamuut - kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) osamuut x järgi : x z = f ( x + x, y ) f ( x, y) osamuut y järgi : y z = f ( x, y + y ) f ( x, y) 43. kahe muutuja funktsiooni täismuut - kahe muutuja funktsiooni z = f( x, y ) täismuut : z = f ( x + x, y + y ) f (x, y) 44. kahe muutuja funktsiooni piirväärtus - arvu A nimetatakse funktsiooni f (x, y ) piirväärtuseks punkti P lähenemisel punktile P0 , kui iga arvu > 0 korral leidub arv
jooni Analoogiliselt defineeritakse pinna z=f(x,y) tasandilõiked tasanditega x=a ning y=b. Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) määramispiirkonna need punktid, kus funktsioonil on konstantne väärtus c, moodustavad joone, mida nim. nivoojooneks, selle võrrand on f(x,y)=c. Teades nivoojooni, on lihtsam uurida pinna z=f(x,y) iseloomu. 4. Kahe muutuja funktsiooni osamuut ja täismuut. (Definitsioonid + korralik selgitus joonise 1 põhjal). Vaatleme pinna z=f(x,y) ja xy-tasapinnaga paralleelse tasapinna y=const lõikejoont PS. Et y väärtus sellel tasapinnal on konstantne, siis muutub z joonel PS ainult sõltuvalt x muutumisest. Andes sõltumatule muutujale x muudu x, saab z muudu, mida nim. z osamuuduks x järgi ja
Vaatleme kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) muutu. Kui me leiame funktsiooni muudu andes mõlemale argumendile vastava muudu, siis saame funktsiooni täismuudu. z = f ( x + x, y + y ) - f ( x, y ) Kui aga ainult x-muutuja saab muudu, y aga jääb konstantseks, siis saame funktsiooni osamuudu x järgi. x z = f ( x + x, y ) - f ( x, y ) Analoogselt jättes x konstantseks saame osamuudu y järgi. y z = f ( x, y + y ) - f ( x, y ) n-muutuja funktsiooni u = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) osamuut xi järgi saadakse andes sellele muutujale muudu xi ja jättes ülejäänud muutujad konstantseks. u = f ( x1 ,..., xi -1 , xi + xi , xi +1 ,..., x n ) - f ( x1 ,..., xi -1 , xi , xi +1 ,..., x n ) Def. 3.1. Funktsiooni z = f ( x, y ) osatuletist x järgi nimetatakse funktsiooni tuletist tingimusel, et y = const . z z f ( x + x , y ) - f ( x, y ) (3.1) = z x = lim x = lim x x 0 x x 0 x Selle funktsiooni osatuletiseks y järgi on tuletis
Nendeks pindadeks on sf¨a¨arid keskpunktiga koordinaatide alguses, raadiusega c. 6 z 2 1 1 2 y x -1 -2 Joonis 6.7. Koonus 6.3 Funktsiooni osamuut ja t¨ aismuut Fikseerime kahe muutuja funktsiooni z = f (x, y) m¨aa¨ramispiirkonnas D u ¨he punkti M (x, y). J¨attes muutuja y konstantseks, muudame s~oltumatut muutujat x suuruse x v~orra. Funktsiooni osamuuduks x j¨argi nimetatakse vahet x z = f (x + x, y) - f (x, y) (6.1)
annaabi.ee 
