f(x) ≤ g(x) iga 0 < |x − a| < δ korral, siis kehtib võrratus b ≤ c. 4)Kui funktsioonidel f(x) ja g(x) on punktis a sama piirväärtus b ning leidub punkti a δ-ümbrus, et iga 0 < |x − a| < δ korral kehtib võrratuste ahel f(x) ≤ h(x) ≤ g(x), siis funktsiooni h(x) piirväärtus punktis a on samuti b. 5)lim (1 + 1/x)x = e; lim (1+1/x)x = e; lim (1+x)1/x = e x→+∞ x→ - ∞ x→ 0 4.Jada tõkestatus. Monotoonsed jadad. Osajadad. Bolzano – Weierstrass teoreem. Jada tõkestatus - Jada{xn} nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline arv M > 0, et iga n ∈ N korral xn ∈ UM (0), st ∀n ∈ N(| xn | ≤ M). Osajadad - Iga jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmatu hulga jada elementide väljajätmisel nim. selle jada osajadaks. Bolzano – Weierstrass teoreem - Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. Monotoonne jada - jada, mis on kogu ulatuses mittekasvav võimittekahanev. 5
- < Xn < Zn < Yn < a + Zn U(a), mis vastavalt piirväärtuse def. annab
7*(Jada tõkestatus. Koonduva jada tõkestatuse tõestus) Jada {Xn} nimetatakse tõkestatuks, kui
leidub selline arv M>0, et iga n N korral Xn Um(0).
*Lause: Iga koonduv jada on tõkestatud.
*Tõestus:
a). Tõestame, et iga koonduv jada on Cauchy jada.
b). Näitame, et iga Cauchy jada on tõkestatud.
8*(Monotoonsed jadad. Monotoonse ja tõkestatud jada koonduvuse seos. Osajadad. Bolzano-
Wierstrassi)Monotoonseks jadaks nimetatakse jada, mis on kogu ulatuses mittekasvav või
mittekahanev.
*Bolzano- Weierstrassi teoreem: Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada.
*Jada {Xn} osajadaks {Yn} nim. jada, mis on saadud jadast {Xn} lõpliku või lõpmatu hulga jada
elementide väljajätmise teel.
*Lause: Xn < Xn+1 ; Xn < M
*Tõestus: Fikseerime n. Xn < Xn+1 ; Xn < M ; Xn- Xn+1
Kui limn→∞ xn = a ja limn→∞ xn = b, siis a = b. Konstantse jada piirväärtus on see konstant. Iga ulalt tõkestatud monotoonselt kasvav jada koondub. 3. Koonduva jada piirväärtuse ühesuse tõestus. Iga koonduv jada on tõkestatud. Koonduva jada piirväärtus on üheselt määratud. Kui limn→∞ xn = a ja limn→∞ xn = b, siis a = b. 4. Jada tõkestatus. Monotoonsed jadad. Osajadad. Bolzano-Weierstraß’i teoreem. Toestus: Valime ε <= ½ d(b, a), seega Uε(a) ja Uε(b) ei loiku. Vastavalt piirväärtuse definitsioonile Jada nimetatakse {xn} nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline arv M, et iga n ∈ N korral xn ∈ leiduvad arvud N1, N2 ∈ N, nii et UM (0), st ∀n ∈ N(d(xn, 0) <= M) ∀n > N1 xn ∈ Uε(a)
Paaris ja paaritud funktsioonid. Perioodilised ja antiperioodilised funktsioonid. liikmeid. Pöördfunktsioon. Monotoonsed funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Lause. Arv a on jada { xn} kuhjumispunkt parajasti siis, kui leidub selline osajada { xnk} , mis 3. Jada definitsioon. Koonduvad jadad, jada piirväärtus. Jada piirväärtuse omadused. koondub arvuks a. 4. Jada tõkestatus. Monotoonsed jadad. Osajadad. Bolzano-Weierstraß'i teoreem. Lause. Jada { xn} koondub parajasti siis, kui ta on tõkestatud ja tal on vaid üks kuhjumispunkt. 5. Cauchy jadad ehk fundamentaaljadad. Kuhjumispunktimõiste. Kuhjumispunktide seos jada koonduvusega. 6. Funktsiooni piirväärtuse mõiste. Seos jada piirväärtusega. Reaalmuutuja funktsiooni 6. Arvu b nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks punktis a, kui iga > 0 leidub () > 0, et iga ühepoolsed piirväärtused
Näitame, et iga Cauchy jada on tõkestatud.(9 Punkt) 4*(Pöördfunktsioon. Monotoonsed funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid) Funktsiooni y = f (x) (x ∈ X ) pöördfunktsiooniks nimetatakse 8*(Monotoonsed jadad. Monotoonse ja tõkestatud jada koonduvuse seos. funktsiooni x = f −1 (y ) , mis igale arvule y ∈ Y = f (X ) seab vastavusse arvu x ∈ X , Osajadad. Bolzano-Wierstrassi)Monotoonseks jadaks nimetatakse jada, mis on kogu kusjuures y = f (x). ulatuses mittekasvav või mittekahanev. *Monotoonseks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on *Bolzano- Weierstrassi teoreem: Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva mittekasvav või mittekahanev
{(-1)2n+1 (2n)/(2n + 1)} = {(-2n)/(2n + 1)} (v~oetakse vaid paarituarvulise indeksiga liikmed). Lause 10 (Bolzano-Weierstrassi teoreem). Igast t~okestatud jadast saab eraldada koonduva osajada, st xn = O(1) {nk } : {xnk } c. T~ oestust vt [5], lk 113. okestatud jada {(-1)n (n-1)/n} on hajuv, kuid m~olemad esitatud N¨aites 2 esitatud t~ osajadad {(2n - 1)/(2n)} ja {(-2n)/(2n + 1)} on koonduvad, kusjuures (2n - 1)/(2n) 1 ja (-2n)/(2n + 1) -1. Lause 11 (Cauchy kriteerium). Jadal {xn } on l~oplik piirv¨a¨artus parajasti siis, kui vastavalt igale positiivsele arvule leidub niisugune naturaalarv n0 , et iga naturaalarvu p puhul |xn+p - xn | < , kui n > n0 . T~oestust vt [5], lk 108110. N¨aide 4
. 36 2.2.3 Cauchy kriteerium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.4 Cantori teoreem üksteisesse sisestatud lõikudest . . . . . . . . . . . . 38 2.2.5 Reaalarvu kümnendesitus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.6 Arv e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3 Osajadad. Ülemine ja alumine piirväärtus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.1 Jada osapiirväärtused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.2 Ülemine ja alumine piirväärtus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.3 Ülemise ja alumise piirväärtuse omadused . . . . . . . . . . . . . . . 47 2
annaabi.ee 
