Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f'(x1) = 0. T~oestus. Vaatleme juhtu, kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum. Siis, vastavalt lokaalse maksimumi definitsioonile, leidub punkti x1 u¨mbrus nii, et iga x korral sellest u¨mbrusest kehtib v~orratus f(x) - f(x1) 0 Selles u¨mbruses asuva arvu x me saame v~otta punktist x1 nii vasakult kui ka paremalt. Asugu x punktist x1 vasakul. Siis x - x1 < 0. Jagame v~orratuse negatiivse arvuga x - x1. Kuna negatiivse arvuga jagamisel v~orratuse m¨ark muutub vastupidiseks, saame f(x) - f(x1)/ x - x1 0. See v~orratus j¨a¨ab kehtima ka siis, kui me v~otame temast piirv¨a¨artuse protsessis x x1. Seega tuletise definitsiooni p~ohjal F'(x1) = lim f(x) - f(x1)/ x - x1 0. xx1 J¨argnevalt olgu x punktist x1 paremal. Siis x - x1 > 0. Jagades v~orratuse positiivse arvuga x - x1 saame f(x) - f(x1)/ x - x1 0. V~otame piirv¨a¨artuse:
suurim v¨a¨artus l~oigul [a; b], siis b m(b - a) f (x)dx M (b - a), a st m¨a¨aratud integraal j¨a¨ab v¨ahima v¨a¨artuse ja integreerimisl~oigu pikkuse korrutise ning suurima v¨a¨artuse ja integreerimisl~oigu pikkuse korrutise vahe- le. T~oestus. V~orratuste t~oestused on sarnased. Seep¨arast t~oestame ainult pa- rempoolse v~orratuse. Funktsiooni f (x) suurim v¨a¨artus l~oigul [a; b] on M . Seega iga osal~oikudel juhuslikult valitud punktis k on f (k ) M , st iga k = 1, 2, . . . , n korral f (k )xk M xk . Summeerides saame, et n n f (k )xk M xk = k=1 k=1
21. Tõestada funktsiooni piirväärtuse aritmeeiliste tehetega seotud omadused *Kasvavad ja kahanevad fun. Olgu D funktsiooni f määramispk alamhulk. Valime Kui on olemas lõplikud piirväärtused lim f(x) ja lim g (x), siis hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib v orratus x1 < x2.Kui funktsiooni f rakendamisel argumentidele x 1 ja x2 võrratuse märk ei muutu,stsiis on f kasvav hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele x 1 ja x2 v orratuse m ark muutub vastupidiseks, st f(x 1) > f(x2),siis on f kahanev hulgas Lause 1. Jada koonduvusest järeldub selle tõkestatus D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik t ouseb, kahanemispiirkonnas aga Lause 2.Kui jada piirväärtus a on nullist erinev, siis jada teatud elementidest
Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x X korral kehtib v~ordus f (x + C) = f (x). V¨aikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Olgu D funktsiooni f m¨a¨aramispiir- konna alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib v~ orratus x 1 < x2 . Kui funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 v~orratuse m¨ark ei muutu, st f (x1 ) < f (x2 ), siis on f kasvav hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 v~orratuse m¨ark muutub vastupidiseks, st f (x1 ) > f (x2 ), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik t~ouseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. Konstantne funktsioon. Astme- ja eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid
Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x X korral kehtib v~ordus f (x + C) = f (x). V¨aikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Olgu D funktsiooni f m¨a¨aramispiir- konna alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib v~orratus x1 < x2 . Kui funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 v~orratuse m¨ark ei muutu, st f (x1 ) < f (x2 ), siis on f kasvav hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 v~orratuse m¨ark muutub vastupidiseks, st f (x1 ) > f (x2 ), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik t~ouseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. Konstantne funktsioon. Astme- ja eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid
Funktsiooni graafik on esitatud joonisel. y 1 y = f( x) 1 2 x N¨aide 1.6. Funktsiooni y = 2x - x2 m¨a¨aramispiirkonna annab ette kitsendus 2x - x2 0. Selle v~orratuse lahendihulka kuuluvad argumendi x v¨a¨artused, mis rahuldavad tingimust 0 x 2, seega antud funktsiooni m¨a¨aramispiirkonnaks on l~oik X = [0; 2]. Definitsioon 1.3. Funktsiooni y = f (x) muutumispiirkonnaks nimeta- takse muutuja y nende v¨a¨artuste hulka, mis vastavad k~oikidele m¨a¨aramispiirkonda kuuluvatele argumendi x v¨a¨artustele. Muutumispiirkonda t¨ahistatakse s¨ umboliga Y. N¨aide 1.7. Leiame n¨aites 1.6 antud funktsiooni muutumispiirkonna. Juu-
iga i = 1, 2, . . . , n korral. Kuna r1 lim (bmi − ami ) = lim rm = lim m−1 = 0, m→∞ m→∞ m→∞ 2 82 7 KOMPAKTSUS siis ai = bi ja lim ami = ai = lim bmi . (7.17) m→∞ m→∞ Punkt a = (a1 ; . . . ; an ) kuulub v˜orratuse (7.16) t˜ottu igasse kuupi Km , m ∈ N. Veendume, et punkt a on hulga S piirpunkt. Valime punkti a mis tahes u¨mbruse U ⊂ Rn . Siis leidub lahtine kera√B(a; ) nii, et B(a; ) ⊂ U . Valime positiivse arvu δ nii, et δ n < . V˜orduste (7.17) t˜ottu leidub m ∈ N nii, et ai − ami ≤ δ, bmi − ai ≤ δ ehk ai − δ ≤ ami ≤ bmi ≤ ai + δ iga i = 1, 2, . . . , n korral. Fikseerime sellise m. Veendume, et Km ⊂ B(a; )
annaabi.ee 
