Iseseisvaks t¨o¨ oks on ette n¨ahtud 80 tundi. Semestri jooksul toimub 20 kahetunnilist loengut ja 20 kahetunnilist harjutustundi. Loengutest kolm esimest peat¨ ukki on p¨ uhendatud algebrale ja kolm viimast peat¨ ukki anal¨ uu¨tilisele geomeetriale. Algebra peat¨ ukkideks on 1) maatriksid ja determinandid, 2) vektorruum u ¨le reaalarvude ning 3) lineaarv~orrandis¨ usteemid. Anal¨ uu ¨tilise geomeetria omad on aga 4) vek- toralgebra, 5) sirged ja tasandid ning 6) ellips, h¨ uperbool, parabool ja u ¨levaade teist j¨arku pindadest. K¨aesolevat ~oppeainet loetakse matemaa- tika-informaatika, f¨ uu ¨sika-keemia ja haridusteaduskonna u ¨li~opilastele. Ei saa mitte kuidagi j¨atta m¨arkimata, et matemaatilist teksti tuleb omandada laua taga pliiatsi ja paberiga
Iseseisvaks t¨o¨ oks on ette n¨ahtud 80 tundi. Semestri jooksul toimub 20 kahetunnilist loengut ja 20 kahetunnilist harjutustundi. Loengutest kolm esimest peat¨ ukki on p¨ uhendatud algebrale ja kolm viimast peat¨ ukki anal¨ uu¨tilisele geomeetriale. Algebra peat¨ ukkideks on 1) maatriksid ja determinandid, 2) vektorruum u ¨le reaalarvude ning 3) lineaarv˜orrandis¨ usteemid. Anal¨ uu ¨tilise geomeetria omad on aga 4) vek- toralgebra, 5) sirged ja tasandid ning 6) ellips, h¨ uperbool, parabool ja u ¨levaade teist j¨arku pindadest. K¨aesolevat ˜oppeainet loetakse matemaa- tika-informaatika, f¨ uu ¨sika-keemia ja haridusteaduskonna u ¨li˜opilastele. Ei saa mitte kuidagi j¨atta m¨arkimata, et matemaatilist teksti tuleb omandada laua taga pliiatsi ja paberiga
10) saame 3 1 y- =- x- 2 2 6 ehk 1 +6 3 y =- x+ . 2 12 +6 3 Puutuja v~orrandis on algordinaadi ligikaudseks v¨a¨artuseks 1, 128. 12 Normmali v~orrandiks (2.11) saame 3 y- =2 x- 2 6 ehk 3 3 - 2 y = 2x + .
32), nimetatakse pinna z = f (x, y) puutu- jatasandiks punktis B = (a, b, f (a, b)). z = f (a, b) + fx (a, b)(x - a) + fy (a, b)(y - b) . (6.32) Pinna z = f (x, y) normaalvektoriks punktis B nimetatakse vektorit, mis ristub puutujatasandiga selles punktis. Pinna z = f (x, y) normaalsirgeks punk- tis B nimetatakse sirget, mis l¨abib punkti B ja ristub puutujatasandiga selles punktis. Puutujatasandi T v~orrand on (6.32). Viies selles v~orrandis muutuja z paremale poole ja avades sulud saame fx (a, b)x + fy (a, b)y - z + f (a, b) - fx (a, b)a - fy (a, b)b = 0 . Siit n¨aeme, et puutujatasandi v~orrand on esitatav kujul C1 x+C2 y +C3 z +C4 = 0, kus C1 = fx (a, b) , C2 = fy (a, b) , C3 = -1 , C4 = f (a, b) - fx (a, b)a - fy (a, b)b . J¨ arelikult on pinnal z = f (x, y) punktis B j¨ argmine normaalvektor: = (fx (a, b), fy (a, b), -1) .
Olgu vaatluse all funktsioon y = f(x), mis on antud ilmutamata kujul v~orrandiga F(x,y) = 0. Funktsiooni f ilmutamiseks tuleb lahendada v~orrand F(x,y) = 0 muutuja y suhtes. ~ Onneks saab ilmutamata kujul antud funktsiooni diferentseerida ka nii, et teda ei ole vaja eelnevalt ilmutada. Tuletise v~oib arvutada otseselt, l¨ahtudes funktsiooni m¨a¨aravast v~orrandist F(x,y) = 0. Sealjuures tuleb aga arvestada asjaolu, et k~oik y-it sisaldavad liikmed selles v~orrandis on liitfunktsioonid, mille sisemiseks funktsiooniks on y = f(x) Üksühese funktsiooni pöördfunktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). Olgu u¨ksu¨hese funktsiooni y = f(x) p¨o¨ordfunktsioon x = g(y). Siis kehtib valem g'[f(x)] = 1/f'(x) . T~oestus. Funktsiooni f argument on x ja s~oltuv muutuja y. Seega f'(x) = dy /dx. P¨o¨ordfunktsiooni x = g(y) argument on y ja s~oltuv muutuja x. J¨arelikult g'(y) = dx /dy.
kujuks on v~orrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis v~oib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. N¨aiteks y = x2 - x. Funktsiooni y = f (x) ilmutamata kujuks on v~orrand, mis sisaldab x ja y l¨abisegi, st v~orrand F (x, y) = 0 , (1.4) kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. N¨aiteks x2 - sin y + y = 0. Kui me asendame muutuja y funktsiooni f (x) ilmutatud avaldisega v~orrandis (1.4), siis muutub see v~orrand samasuseks F (x, f (x)) 0. Seda on illustreeritud allpooltoodud n¨aites. Ilmutamata kujul antud funktsiooni ilmutamiseks tuleb lahendada v~orrand (1.4) muutuja y suhtes. Kui sellel v~orrandil on mitu lahendit, siis defineerib ta mitu funktsiooni. 19 N¨ aide. Vaatleme v~orrandit x2 + y 2 = 1 . (1.5)
kujuks on v~orrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis v~oib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. N¨aiteks y = x2 - x. Funktsiooni y = f (x) ilmutamata kujuks on v~orrand, mis sisaldab x ja y l¨ abisegi, st v~orrand F (x, y) = 0 , (1.4) kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. N¨aiteks x2 - sin y + y = 0. Kui me asendame muutuja y funktsiooni f (x) ilmutatud avaldisega v~orrandis (1.4), siis muutub see v~orrand samasuseks F (x, f (x)) 0. Seda on illustreeritud allpooltoodud n¨aites. Ilmutamata kujul antud funktsiooni ilmutamiseks tuleb lahendada v~orrand (1.4) muutuja y suhtes. Kui sellel v~orrandil on mitu lahendit, siis defineerib ta mitu funktsiooni. 19 N¨ aide. Vaatleme v~orrandit x2 + y 2 = 1 . (1.5)
X = 5 -4 -5 6 8.8 ¨ Ulesanne Lahendada maatriksv~orrand ja kontrollida lahendit. 3 -1 5 6 14 16 X = 5 -2 7 8 9 10 IV. Lineaarv~ orrandisu ¨ steemid 1 LVS ja tema lahend 1.1 T¨ ahistusi ja m~ oisteid Lineaarv~orrandis¨ usteemiks (LVS-iks) nimetatakse j¨ argmist v~ orran- dis¨ usteemi: a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = y1 a x + a x + · · · + a x = y 21 1 22 2 2n n 2 ................................ a x + a x + · · · + a x = y k1 1 k2 2 kn n k Siin
annaabi.ee 
