Crameri valemid. Kompl Kordamisk¨usimused 1 Kompleksarvu algebraline kuju. Geomeetriline t˜olgendus. Moodul. Kaaskompleks. 2 ordub z · z¯ ? Olgu z = a + bi. Millega v˜ 3 Tehted kompleksarvudega. 4 Olgu z1 = a + bi ja z2 = c + di. Kas z1 + z2 = z1 + z2 ? Kas z1 · z2 = z1 · z2 5 Kompleksarvu trigonomeetriline kuju. 6 Lahendage v˜orrandid x2 + 2x + 5 = 0 2x2 − 2x + 1 = 0 Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl
alguspunktist l¨ahtuv vektor OM on u ¨heselt m¨a¨ aratud oma l~opp-punkti M ko- ordinaatidega ning seda nimetatakse punkti M kohavektoriks. . Punkti A = (a1 , a2 , . . . , am ) l¨abivaks vektori u = (u1 , u2 , . . . , um ) suunaliseks sirgeks loetakse sirget, mis saadakse vektoriga u samav¨ a¨arse punk- tist A l¨ahtuva vektori pikendamisel m~olemast otsast l~opmatuseni. Taolise sirge parameetrilised v~orrandid on x1 = a1 + u1 t x2 = a2 + u2 t ... xm = am + um t , t R . Vektorite u = (u1 , u2 , . . . , um ) ja v = (v1 , v2 , . . . , vm ) skalaarkorrutiseks nimetatakse summat u · v = u1 v1 + u2 v2 + . . . + um vm . (6.6)
t B=B A A Siit j¨areldub, et t¨ahistus (jagatis) BA on kahem~ otteline. Regulaarse A korral on jagamistehteid u ¨ ldiselt kaks, parem- ja vasakpoolne: B/A := BA-1 , AB := A-1 B, det A = 0 Vaid kommuteeruvate maatriksite korral on jagatis u ¨heselt defi- neeritud ning t¨ahistus B A korrektne. 6 Maatriksv~ orrandid Maatriksv~orrandites on oluline tundmatu maatriksi asetus korru- tistes. Vaatleme vaid lihtsamaid lineaarseid maatriksv~orrandeid. 6.1 Tundmatu maatriks X on korrutises paremal Lause 16. Regulaarse maatriksi A korral on v~ orrandi AX = B ainus lahend X = A-1 B. oestus. N¨aitame k~oigepealt, et A-1 B on v~orrandi AX = B la- T~ hend. T~oepoolest A(A-1 B) = (AA-1 )B = I B = B Olgu Y veel mingi lahend, s.t AY = B. Siis
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 18. Vektorkorrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 2 19. Segakorrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 V. Sirged ja tasandid 20. Sirge v~orrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 21. Tasandi v~orrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 22. Punkti kaugus sirgeni ja tasandini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 23. Nurk kahe sirge, kahe tasandi, sirge ja tasandi vahel . . . . . . . . . . . . . 184 VI. Ellips, h¨ ¨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 18. Vektorkorrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 2 19. Segakorrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 V. Sirged ja tasandid 20. Sirge v˜orrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 21. Tasandi v˜orrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 22. Punkti kaugus sirgeni ja tasandini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 23. Nurk kahe sirge, kahe tasandi, sirge ja tasandi vahel . . . . . . . . . . . . . 184 VI. Ellips, h¨ ¨
1 16. Pidevus ja diferentseeruvus 17. M~onede p~ohiliste elementaarfunktsioonide tuletised 18. Diferentseerimisreeglid 19. P¨o¨ordfunktsiooni tuletis 20. Liitfunktsiooni tuletis 21. Logaritmiline diferentseerimine 22. Ilmutamata funktsiooni tuletis 23. Parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletis 24. Funktsiooni diferentsiaal 25. K~orgemat j¨arku tuletised 26. Joone puutuja ja normaali v~orrandid 27. Rolle'i teoreem 28. Cauchy teoreem 29. Lagrange'i teoreem 30. L'Hospitali reegel 31. L'Hospitali reegel teistel m¨aa¨ramatuse juhtudel 32. Taylori valem 33. Funktsioonide ex , sin x ja cos x arendid Maclaurini valemi j¨argi 34. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine 35. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid 36. Funktsiooni suurim ja v¨ahim v¨a¨artus antud l~oigul 37. Funktsiooni graafiku kumerus ja n~ogusus. K¨aa¨nupunktid 38. Funktsiooni graafiku as¨
Siis saame b 2 y = a - a2 cos2 t = b 1 - cos2 t. a Eeldame, et parameeter t asub l~oigul [0, ]. Sellel l~oigul on funktsioon sin t mit- tenegatiivne. Seet~ottu kehtib v~ordus 1 - cos2 t = sin t. N¨uu¨d saame muutuja y jaoks j¨argmise v~orrandi: y = b sin t. 21 V~ottes x ja y v~orrandid kokku, paneme antud funktsiooni jaoks kirja j¨argmise parameetrilise esituse: { x = a cos t y = b sin t , t [0, ] . Funktsiooni y = ab a2 - x2 graafikuks on joonisel 1.16 toodud ellipsi u ¨lemine (x-telje peal asuv) kaar, mis vastab parameetri v¨a¨artustele t [0, ]. Joonte ja funktsioonide parameetrilist esitust kasutatakse rohkelt f¨
Siis saame b y = a2 - a2 cos2 t = b 1 - cos2 t. a Eeldame, et parameeter t asub l~oigul [0, ]. Sellel l~oigul on funktsioon sin t mit- tenegatiivne. Seet~ottu kehtib v~ordus 1 - cos2 t = sin t. N¨uu¨d saame muutuja y jaoks j¨argmise v~orrandi: y = b sin t. 21 V~ottes x ja y v~orrandid kokku, paneme antud funktsiooni jaoks kirja j¨argmise parameetrilise esituse: x = a cos t y = b sin t , t [0, ] . Funktsiooni y = ab a2 - x2 graafikuks on joonisel 1.16 toodud ellipsi u ¨lemine (x-telje peal asuv) kaar, mis vastab parameetri v¨a¨artustele t [0, ]. Joonte ja funktsioonide parameetrilist esitust kasutatakse rohkelt f¨
annaabi.ee 
