|Y | = 0 (|Y | = 0). T~oestame kolm omadust, mis veidike toovad selgust maatriksi p¨o¨ordmaat- riksi olemasolu kohta. Omadus 6.1. Kui n-j¨ arku maatriksil A leidub p¨ o¨ ordmaatriks, siis nii maatriks A kui ka tema p¨oo ¨rdmaatriks on regulaarsed. T~oestus. Me eeldasime, et maatriksil A on olemas p¨o¨ordmaatriks. T¨ahistame teda t¨ahega B. Viimane rahuldab v~orrandeid (6.1), j¨arelikult AB = E ja BA = E. N¨ uu ¨d, n¨aiteks esimesest, teoreemi 5.1 abil saame |AB| = |E| = |A||B| = 1, millest |A| = 0 ja |B| = 0 t~ottu maatriks A ja tema p¨o¨ ordmaatriks on regulaarsed. Omadus 6.2. Maatriksi ja p¨ o¨ordmaatriksi determinandid on teinetei- se p¨o¨ordarvud. T~oestus. See omadus on ilmne, sest |A||B| = 1.
T˜oestame kolm omadust, mis veidike toovad selgust maatriksi p¨o¨ordmaat- riksi olemasolu kohta. Omadus 6.1. Kui n-j¨ arku maatriksil A leidub p¨ o¨ ordmaatriks, siis nii maatriks A kui ka tema p¨oo ¨rdmaatriks on regulaarsed. T˜oestus. Me eeldasime, et maatriksil A on olemas p¨o¨ordmaatriks. T¨ahistame teda t¨ahega B. Viimane rahuldab v˜orrandeid (6.1), j¨arelikult AB = E ja BA = E. N¨ uu ¨d, n¨aiteks esimesest, teoreemi 5.1 abil saame |AB| = |E| =⇒ |A||B| = 1, millest |A| = 0 ja |B| = 0 t˜ottu maatriks A ja tema p¨o¨ ordmaatriks on regulaarsed. ♠ Omadus 6.2. Maatriksi ja p¨ o¨ordmaatriksi determinandid on teinetei- se p¨o¨ordarvud. T˜oestus. See omadus on ilmne, sest |A||B| = 1. ♠
Crameri valemid. Kompl √ ˇ Sveitsi matemaatik Leonhard Euler (1707-1803) v˜ ottis −1 t¨ahistamiseks kasutusele t¨ahe i. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kompleksarvude kasutamisest Kompleksarvud lubavad vaadata matemaatilisi v˜orrandeid, mis ei ole lahenduvad reaalarvude hulgal. Kompleksarve kasutatakse sageli praktikas info salvestamiseks kam˜o˜otmeliste objektide kohta. Kompleksarvud on v¨aga t˜ ohus vahend kirjeldamiseks v˜onkumisi. Fraktalid. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Fraktaalsed struktuurid Teist ja kolmandat j¨
xm = m (t) , t [T1 , T2 ] . S¨ usteem (6.2) m¨a¨arab iga t [T1 , T2 ] korral u ¨he kindla ruumi Rm punkti P = ¨ (x1 , x2 , . . . , xm ). Uldiselt vastavad muutuja t erinevatele v¨a¨ artustele erinevad ruumi punktid. Kui muutuja t jookseb l¨abi kogu l~oigu [T1 , T2 ], siis t-le vastav punkt kujundab ruumis Rm punktihulga, mida nimetatakse jooneks. V~orrandeid (6.2) nimetatakse selle joone parameetrilisteks v~ orranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. 2) Vektorid mitmemõõtmelises ruumis. Punkti kohavektor. Vektori suunaline sirge ja selle parameetrilised võrrandid. Vektorite skalaarkorrutis. Mitmemõõtmeline ruum kui eukleidiline ruum. Cauchy-Schwartzi võrratus. Teljed mitmemõõtmelises ruumis. Olgu antud 2 punkti A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja B = (b1 , b2 , . . . , bm ) ruumis Rm .
Regulaarse A korral on jagamistehteid u ¨ ldiselt kaks, parem- ja vasakpoolne: B/A := BA-1 , AB := A-1 B, det A = 0 Vaid kommuteeruvate maatriksite korral on jagatis u ¨heselt defi- neeritud ning t¨ahistus B A korrektne. 6 Maatriksv~ orrandid Maatriksv~orrandites on oluline tundmatu maatriksi asetus korru- tistes. Vaatleme vaid lihtsamaid lineaarseid maatriksv~orrandeid. 6.1 Tundmatu maatriks X on korrutises paremal Lause 16. Regulaarse maatriksi A korral on v~ orrandi AX = B ainus lahend X = A-1 B. oestus. N¨aitame k~oigepealt, et A-1 B on v~orrandi AX = B la- T~ hend. T~oepoolest A(A-1 B) = (AA-1 )B = I B = B Olgu Y veel mingi lahend, s.t AY = B. Siis Y = I Y = (A-1 A)Y = A-1 (AY ) = A-1 B Siit j¨areldub, et A-1 B on v~orrandi AX = B ainus lahend.
(1.6) y = (t) , t [T1 , T2 ] . S¨usteem (1.6) m¨a¨ arab iga t [T1 , T2 ] korral u¨he kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x, y) = ((t), (t)). Uldiselt¨ vastavad muutuja t erinevatele v¨a¨artustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb l¨ abi kogu l~oigu [T1 , T2 ], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone. V~orrandeid (1.6) nimetatakse selle joone parameetrilisteks v~ orranditeks ja muu- tujat t selle joone parameetriks. N¨ aide. Vaatleme joont { x = a cos t (1.7) y = b sin t , t [0, 2] , kus a ja b on positiivsed konstandid. Arvutame x2 y2 (a cos t)2 (b sin t)2 2 + 2 = 2
(1.6) y = (t) , t [T1 , T2 ] . S¨ usteem (1.6) m¨a¨arab iga t [T1 , T2 ] korral u ¨he kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x, y) = ((t), (t)). Uldiselt ¨ vastavad muutuja t erinevatele v¨a¨artustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb l¨abi kogu l~oigu [T1 , T2 ], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone. V~orrandeid (1.6) nimetatakse selle joone parameetrilisteks v~ orranditeks ja muu- tujat t selle joone parameetriks. N¨ aide. Vaatleme joont x = a cos t (1.7) y = b sin t , t [0, 2] , kus a ja b on positiivsed konstandid. Arvutame x2 y2 (a cos t)2 (b sin t)2 2 + 2 = 2
t0 t1 ... ti ... tn (t0 ) (t1 ) ... (ti ) ... (tn ) (t0 ) (t1 ) ... (ti ) ... (tn ) kus ti = + ih (i = 0; 1; . . . ; n) ja h = ( - ) /n. J¨argmise sammuna kantakse punktid ((ti ), (ti )) (i = 0; 1; . . . ; n) xy -tasandile ja u ¨hendatakse seej¨arel sujuva joonega. V~orrandeid (1.1.2) nimetatakse joone parameetrilisteks v~orranditeks. Sageli kasu- tatakse parameetrilist esitusviisi punkti liikumise kirjeldamiseks. Funktsiooni esitust kujul y = f (x) (x X) v~oib vaadelda kui parameetrilise esituse erijuhtu, valides parameetriks x, st x = x y = f (x) (x X) ehk x=x (x X). y = f (x)
annaabi.ee 
