Siis o +o=o o +o=o+o = o =o o+o =o 3.3 Koondamisreegel Lause 3. Olgu a, u, v vektorruumi V vektorid. Kui a + u = a + v, siis u=v T~ oestus. Ilmselt -a + (a + u) = -a + (a + v) Kasutades k~oigepealt liitmise assotsiatiivsusest, seej¨ arel vastand- vektori ja nullvektori definitsiooni, saame viimasest v~ordusest (-a + a) + u = (-a + a) + v = o + u = o + v = u = v 3.4 Vastandvektori u ¨ hesus Lause 4. Igal vektoril on parajasti u ¨ks vastandvektor. T~oestus. Olgu b V samuti vektori a V vastandvektor, s.t a + b = o. Et a + (-a) = o, siis ilmselt a + b = o = a + (-a) Kasutades koondamisreeglist 3.3 saame b = -a. 6 V. Vektorruumid 3.5 Vahevektor
funktsiooni y = f (x). Sellest tulenevalt kehtib samasus F (x, f (x)) 0 . (6.16) Kuna nullfunktsiooni tuletis v~ordub samuti nulliga, siis valemist (6.16) j¨areldub et dF dx (x, f (x)) 0. Seega v~ ordub avaldise (6.15) vasak pool nulliga. Saame Fx (x, f (x)) + Fy (x, f (x))f (x) = 0. Eeldades et Fy (x, f (x)) = 0 tuletame vi- imasest v~ordusest j¨argmise valemi ilmutamata funktsiooni f tuletise jaoks: Fx (x, f (x)) f (x) = - . (6.17) Fy (x, f (x)) 17) Defineerida mitmemuutuja funktsiooni tuletis etteantud suunas. Tuletada valem suunatuletise arvutamiseks osatuletiste ja suunavektori koordinaatide kaudu. Funktsiooni z = f (x1 , . .
hulgas D. T~oestame nu¨u¨d teoreemi v¨aite: f-i k~oik algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F +C. Selleks oletame vastuv¨aiteliselt, et f-l leidub algfunktsioon G, mis ei avaldu kujul F +C. Arvutame G ja F vahe tuletise. Kuna G ja F on u¨he ja sama funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D, siis saame (G(x) - F(x))' = G'(x) F'(x) = f(x) - f(x) = 0 iga x D korral. Nulltuletist omab aga ainult konstantne funktsioon. Seega G - F = C, kus C on mingi konstant. Viimasest v~ordusest saame seose G = F +C, mis n¨aitab, et G ikkagi avaldub kujul F + C. J~oudsime vastuolule. Teoreem on t~oestatud. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni f algfunktsioonide u¨ldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f m¨a¨aramata integraaliks ja t¨ahistatakse f(x)dx. Seega definitsiooni kohaselt f(x)dx = F(x) + C , C - konstant Algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks.
positiivne konstant. Selle funktsiooni graafikuks on ringjoon keskpunktiga koordinaatide alguses, raadiusega r. Selle funktsiooni ilmutamiseks, st tei- y y1 x0 r x y2 Joonis 1.2: Ringjoon raadiusega r sendamiseks ilmutatud kujule, avaldame v~ordusest muutuja y. K~oigepealt y 2 = r2 - x2 , millest y = ± r2 - x2 . Igale x v¨a¨artusele vahemikust (-r; r) vastab kaks muutuja y v¨a¨artust. Joonisel vastab argumendi x0 v¨a¨artusele kaks y v¨a¨artust y1 = r2 - x20 ja y2 = - r2 - 2 x0 . Seega on antud juhul tegemist kahese funktsiooniga. Funktsioonid y = r - x2 ja y = - r2 - x2 2
y r(x) := - f (a) , (3.14) x kehtib v~ordus lim r(x) = 0 . (3.15) x0 P¨ uu¨ame avaldada funktsiooni muutu y argumendi muudu x kaudu. Sel- y leks avaldame k~oigepealt v~ordusest (3.14) suhte x : y = f (a) + r(x) x ja korrutame saadud avaldise x-ga. Saame valemi y = f (a)x + , kus = r(x)x. (3.16) Valemist (3.16) n¨aeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f (a)x ja teine on . M~olemad liidetavad on l~opmatult kahanevad protsessis x 0. V~ordleme neid suurusi x suhtes
y r(x) := - f (a) , (3.14) x kehtib v~ordus lim r(x) = 0 . (3.15) x0 P¨ uu¨ame avaldada funktsiooni muutu y argumendi muudu x kaudu. Sel- y leks avaldame k~oigepealt v~ordusest (3.14) suhte x : y = f (a) + r(x) x ja korrutame saadud avaldise x-ga. Saame valemi y = f (a)x + , kus = r(x)x. (3.16) Valemist (3.16) n¨aeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f (a)x ja teine on . M~olemad liidetavad on l~opmatult kahanevad protsessis x 0. V~ordleme neid suurusi x suhtes
Siis iga n ∈ N jaoks leidub selline xn ∈ X, et B(xn ; n1 ) ei sisaldu mitte u ¨heski hul- gas G ∈ A. Jadast {xn }n∈N saab eraldada koonduva osajada {xn(k) }k∈N : lim xn(k) = x0 . (7.11) k→∞ Kuna X = ∪G∈A G, siis leidub G0 ∈ A, nii, et x0 ∈ G0 . Kuna G0 on lahtine hulk, siis leidub selline > 0, et B(x0 ; ) ⊂ G0 . V˜ordusest (7.11) j¨areldub, et leidub n0 ∈ N nii, et n(k) ≥ n0 =⇒ d(x0 , xn(k) ) < . 2 2 Kui valida n(k) ja y nii, et n(k) ≥ n0 , n(k) ≥ ning y ∈ 1 B(xn(k) ; n(k) ), siis 1 d(x0 , y) ≤ d(x0 , xn(k) )+d(xn(k) , y) < + < + = , 2 n(k) 2 2
annaabi.ee 
