.. + Cn(x - a)n kus C0,C1,...,Cn on konstantsed kordajad. Nende kordajate m¨a¨aramiseks arvutame k~oigepealt Pn tuletised kuni j¨arguni n: P' n(x) = 1C1 + 2C2(x - a) + 3C3(x - a)2 + 4C4(x - a)3 +... + nCn(x - a)n-1 , P'' n(x) = 2 · 1C2 + 3 · 2C3(x - a) + 4 · 3C4(x - a)2 +... + n(n - 1)Cn(x - a)n-2 P''' n (x) = 3 · 2 · 1C3 + 4 · 3 · 2C4(x - a) +... + n(n - 1)(n - 2)Cn(x - a)n-3 , · · · P(n) n (x) = n(n - 1)(n - 2) · ... · 2 · 1Cn . Pannes neis avaldistes ja valemis muutuja x v~orduma a-ga saame Pn(a) = C0 , P' n(a) = 1!C1 , P'' n(a) = 2!C2 , P''' n (a) = 3!C3 , ..., P(n) n (a) = n!Cn . Su¨mbol n! t¨ahistab arvu n faktoriaali: n! = 1 · 2 · ... · n. Kasutades tingimusi tuletame j¨argmised valemid kordajate C0,C1,...,Cn jaoks: C' = f(a), C1 =f'(a) 1! C2 =f''(a) 2! C3 =f'''(a) 3! Cn =f(n)(a) n! Seega saame valemi kirjutada j¨argmisel kujul: Pn(x) = f(a) +f'(a) 1!(x - a) +f''(a) 2!(x - a)2+f'''(a) 3!(x - a)3 + ... + f(n)(a) n!(x - a)n .
Ci xi + = g (ai )xi + (xi )xi . Viies selles v~orduses g (ai )xi vasakule poole ja paremale poole ning jagades xi -ga tuletame seose (xi )xi - Ci - g (ai ) = . (6.29) xi Kuna (xi )xi ja on k~orgemat j¨arku l~opmatult v¨aikesed suurused xi suhtes protsessis xi 0 siis v~orduse (6.29) parem pool l¨aheneb nullile kui xi 0. Seega peab vasak pool (mis on konstantne) v~orduma nulliga. Seega Ci - g (ai ) = 0 ehk Ci = g (ai ). L~opuks, kuna g (ai ) = fxi (A), saamegi valemi (6.25). Sellega on u ¨laltoodud v¨aide t~oestatud. 19) Milline on pinna z=f(x,y) puutujatasandi võrrand punktis B=(a,b,f(a,b))?. Defineerida pinna z=f(x,y) normaalvektor ja normaalsirge punktis B=(a,b,f(a,b)) ja tuletada nende võrrandid. Tasandit, mille v~orrandiks on (6.32), nimetatakse pinna z = f (x, y) puutu- jatasandiks punktis B = (a, b, f (a, b)).
. + nCn (x - a)n-1 , Pn (x) = 2 · 1C2 + 3 · 2C3 (x - a) + 4 · 3C4 (x - a)2 + . . . + n(n - 1)Cn (x - a)n-2 , Pn (x) = 3 · 2 · 1C3 + 4 · 3 · 2C4 (x - a) + . . . + n(n - 1)(n - 2)Cn (x - a)n-3 , · · · Pn(n) (x) = n(n - 1)(n - 2) · . . . · 2 · 1Cn . Pannes neis avaldistes ja valemis (3.35) muutuja x v~orduma a-ga saame Pn (a) = C0 , Pn (a) = 1! C1 , Pn (a) = 2! C2 , Pn (a) = 3! C3 , . . . , Pn(n) (a) = n! Cn . S¨ umbol n! t¨ahistab arvu n faktoriaali: n! = 1 · 2 · . . . · n. 82 Kasutades tingimusi (3.34) tuletame j¨argmised valemid kordajate C0 , C1 , . . . , Cn jaoks: f (a) f (a)
Pn (x) = 2 · 1C2 + 3 · 2C3 (x - a) + 4 · 3C4 (x - a)2 + . . . + n(n - 1)Cn (x - a)n-2 , Pn (x) = 3 · 2 · 1C3 + 4 · 3 · 2C4 (x - a) + . . . + n(n - 1)(n - 2)Cn (x - a)n-3 , · · · Pn(n) (x) = n(n - 1)(n - 2) · . . . · 2 · 1Cn . Pannes neis avaldistes ja valemis (3.35) muutuja x v~orduma a-ga saame Pn (a) = C0 , Pn (a) = 1! C1 , Pn (a) = 2! C2 , Pn (a) = 3! C3 , . . . , Pn(n) (a) = n! Cn . S¨ umbol n! t¨ahistab arvu n faktoriaali: n! = 1 · 2 · . . . · n. 82 Kasutades tingimusi (3.34) tuletame j¨argmised valemid kordajate C0 , C1 , . . . , Cn jaoks: f (a) f (a)
167 異字同訓 ⇒ 却 却 ON TAGANEMA , TAGANEDES 異字同訓 ⇒ 復 復 ON SMA TEED M O¨ ODA ¨ TA - TAGASI TULEMA ¨ ¨ GASI P O ORDUMA 異字同訓 ¨ ⇒ 回 返 ON V ALJA ¨ H UPATES TAGASI 異字同訓 ⇒ 還 還 ON RINGI TEHES TAGASI ¨ ORDUMA PO ¨ , 回 AGA RINGI TE - ¨ ORDUMA ¨ PO ¨ ORDUMA
Maatriksite A ja B korrutiseks nimetatakse maatriksit AB Matk × l , mille i-ndas reas ja j-indas veerus asetseb maatriksi A i-nda reavektori ja maatriksi B j-inda veeruvektori skalaarkorrutis n (AB)ij := ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + ain bnj = ais bsj s=1 T¨ ahelepanek 1) Korrutise AB eksisteerimiseks peab maatriksi A veergude arv v~orduma maatriksi B ridade arvuga. Seda korrutise ek- siteerimise eeldust v~oib nimetada tegurite j¨ arkude koos~ ola tingimuseks. 2) Korrutises AB on samapalju ridu kui maatriksis A ja sama- palju veerge kui maatriksis B. II. Maatriksarvutus 7 N¨ aide: erinevat j¨ arku maatriksite korrutis
korral. Iga t˜okestatud alamhulk reaalarvude hulgas R omab u ¨lemise ja alumise raja sup f (X) = b ja inf f (X) = c. Arvud b ja c on hulga f (X) puutepunktid. Hulga f (X) kinnisuse t˜ottu b, c ∈ f (X). Arv b on hulga f (X) suurim ja arv c v¨ahim element. 84 7 KOMPAKTSUS Teoreemi 7.8 eeldustel kujutus f ei pruugi omada iga v¨a¨ar- tust suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse vahel, st hulgad f (X) ja [c; d] ei pea omavahel v˜orduma. N¨aide 7.2 Vaatleme hulka X = [0; 1] ∪ [2; 3] alamruu- mina ruumis R. Ruum X on kompaktne. Olgu kujutus f : X −→ R antud reegliga f (x) = x. Siis hulga f (X) = X suurim element on 3 ja v¨ahim element on 0, kuid f (x) ei oma ¨hegi x ∈ X korral. v¨a¨artust 1, 5 mitte u ¨ 7.6 Ulesandeid 7.1 Olgu G topoloogilise ruumi X lahtine alamhulk ja K ⊂ G. N¨aidata, et K on kompaktne alamruumis G parajasti siis, kui ta on kompaktne ruumis X. 7
annaabi.ee 
