integreerimise valem määratud integraali jaoks (tuletada pole vaja). b Vaatleme m¨a¨aratud integraali ∫ f ( x ) dx . Teeme integraali all a asenduse valides uueks muutujaks u, mis s˜oltub x-st j¨argmisel viisil: u = ϕ(x). Eeldame, et ϕ on ¨uks¨uhene ja diferentseeruv. T¨ahistame ϕ p¨o¨ordfunktsiooni ψ-ga. Siis x = ψ(u). Paneme kirja dx funktsiooni ψ tuletise diferentsiaalide jagatisena: du = ψ’(u). Korrutades seda v˜ordust du-ga saame dx = ψ’(u)du . Kasutades valemeid neid valemeid saame integraali all suurused x ja dx asendada vastavate u-st s˜oltuvate suurustega. Erinevalt m¨a¨aramata integraalist, tuleb m¨a¨aratud integraali korral lisaks
1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . 22 2 Piirv¨a¨
ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . 22 2 Piirv¨a¨
= 0. Sealjuures tuleb aga arvestada asjaolu, et k~oik y-it sisaldavad liikmed selles v~orrandis on liitfunktsioonid, mille sisemiseks funktsiooniks on y = f(x) Üksühese funktsiooni pöördfunktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). Olgu u¨ksu¨hese funktsiooni y = f(x) p¨o¨ordfunktsioon x = g(y). Siis kehtib valem g'[f(x)] = 1/f'(x) . T~oestus. Funktsiooni f argument on x ja s~oltuv muutuja y. Seega f'(x) = dy /dx. P¨o¨ordfunktsiooni x = g(y) argument on y ja s~oltuv muutuja x. J¨arelikult g'(y) = dx /dy. Kasutades neid valemeid arvutame: g'[f(x)] = g'(y) = dx/dy = 1/dy/dx = 1/f'(x) . Parameetrilise funktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). Olgu funktsioon y = f(x) antud parameetrilisel kujul v~orranditega x = (t) y = (t). Siis kehtib valem F'(x) = '(t)/ '(t) . T~oestus. Funktsiooni f argument on x ja s~oltuv muutuja y. Seega f'(x) = dy /dx.
11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfunktsioonide pidevus 13. L~oigul pidevate funktsioonide omadused 14. Funktsiooni katkevuspunktid 15. Funktsiooni tuletise m~oiste, selle geomeetriline ja mehhaaniline t~olgendus 1 16. Pidevus ja diferentseeruvus 17. M~onede p~ohiliste elementaarfunktsioonide tuletised 18. Diferentseerimisreeglid 19. P¨o¨ordfunktsiooni tuletis 20. Liitfunktsiooni tuletis 21. Logaritmiline diferentseerimine 22. Ilmutamata funktsiooni tuletis 23. Parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletis 24. Funktsiooni diferentsiaal 25. K~orgemat j¨arku tuletised 26. Joone puutuja ja normaali v~orrandid 27. Rolle'i teoreem 28. Cauchy teoreem 29. Lagrange'i teoreem 30. L'Hospitali reegel 31. L'Hospitali reegel teistel m¨aa¨ramatuse juhtudel 32. Taylori valem 33
f -1 f y - x x - y. Kui hulgal X m¨ a¨aratud funktsiooni y = f (x) erinevatele argumendi v¨a¨artustele x vastavad funktsiooni erinevad v¨ a¨artused y, siis p¨o¨ordfunktsioon x = f -1 (y) on u ¨hene. Leiame N¨aites 4 esitatud funktsiooni y = log(1 - x) p¨o¨ordfunktsiooni: y = log(1 - x) 10y = 1 - x x = 1 - 10y f -1 (y) = 1 - 10y . ¨ Definitsioon 14. Oeldakse, et funktsioon y = f (x) (x X) on esitatud v~orrandi F (x, y) = 0 abil ilmutamata kujul, kui x X : F (x, f (x)) = 0. Ilmutamata kujul esitatud funktsiooni y = f (x) korral k~oneldakse ka v~orrandi F (x, y) = 0 lahendina hulgal X defineeritud ilmutamata funktsioonist. Ilmutamata funktsioon v~oib olla kas u
Funktsiooni piirva¨ artus. ¨ Joone asumptoodid. ¨ ~ Lopmata ¨ vaikesed ja ~ lopmata ~ suured suurused. Funktsiooni pidevus. Loigul pidevate funktsioonide omadused. Funktsiooni tuletis. Liitfunktsiooni tuletis. Po¨ ordfunktsiooni ¨ tuletis. Parameetri-liselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata ~ funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Pohiliste elementaarfunktsioonide tuletised. ~ Korgemat ¨ jarku tuletised. Leibnizi valem. Funktsiooni diferentsiaalid. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Lokaalne ekstreemum. ¨
annaabi.ee 
