rektse t~ oestuse. ~ Oppevahendi eesm¨ argiks on tutvustada lugejat matemaatilise anal¨ uu ¨si p~ohit~odedega u ¨he muutuja funktsiooni korral. Matemaatiline anal¨ uu¨s on matemaatika osa, milles funktsioone ja nende u ¨ldistusi uuritakse piirv¨a¨artuste meetodil. Piirv¨a¨artuse m~oiste on tihedalt seotud l~ opmata v¨ aikese suuruse m~oistega. V~oib ka v¨aita, et matemaatiline anal¨ uu¨s uurib funktsioone ja nende u ¨ldistusi l~opmata v¨aikeste meetodil. Nii tehnikas kui ka looduses uuritavate protsesside kirjeldamisel kasutatakse funktsionaalseid seoseid ja nende uurimiseks matemaatilist anal¨ uu ¨si. Antud ~oppevahendis k¨asitletakse klassikalist matemaatilist anal¨ uu¨si, mille p~ohiliseks uurimisobjektiks on funktsioon. Esitatud pi-
o mingis ümbruses 0 Uᵧ(x ), st ∃M>0:｜f(x)｜≤M (x……... 0 29. Tõestada, et kahe samas piirprotsessis lõpmata suure suuruse korrutis on l˜opmata suur suurus selles piirprotsessis. telos 30. Sõnastada ekvivalentne suurus. Lõpmata väikeseid (suuri) suurusi α(x) ja β(x) nimetatakse piirprotsessis x⇢x ekvivalentseteks lõpmata 0 väikesteks (suurteks), kui lim( x läheneb x ) alfa x/beetax=1. Seda fakti tähistatakse
Eg = zF w --maksimaalne t¨oo¨, mida v~oib saada elemendi t¨oo¨tamisel vabaneva energia kasutamisel; z -- elementaarprotsessis u¨le kanduvate elektronide arv (meie n¨aites z = 2) ; F -- Faraday konstant (¨uhe mooli elektronide laeng kulonites); F = 96485 C/mol. T¨oo¨ w saab t¨aielikult ¨ara kasutada vaid l~opmata aeglase reaktsiooni korral. Kuni viimase ajani kasutati samas t¨ahenduses m~oistet "elektromotoorj~oud", kuid seda peetakse n¨uu¨d ebasoovitatavaks, sest olemuselt ei ole tegemist "j~ouga" (emj-i ei m~oo~deta njuutonites, vaid voltides). YKI0020 Keemia alused Toomas Tamm 2011 S 2011/2012 18. Elektrokeemia 4
. . , ik ∈ I nii, et X = ∪kt=1 Ait . Definitsioon 7.4 Topoloogilise ruumi X alamhulka A nimetatakse kompaktseks, kui ta on kompaktne kui topoloo- giline ruum alamruumi topoloogia suhtes (samav¨a¨arne: hul- ga A igast lahtisest kattest ruumis X saab eraldada l˜opliku osakatte) . Kompaktsete hulkade n¨aiteid toome hiljem. Definitsioon 7.5 Olgu A ⊂ X. Punkti x ∈ X nimeta- takse hulga A piirpunktiks, kui tema iga u ¨mbrus sisaldab l˜opmata palju hulga A punkte. J¨arelikult hulga A iga piirpunkt on ka hulga A puutepunkt ja kuulub hulga A sulundisse cl(A). Kinnine hulk sisaldab k˜oiki oma piirpunkte. 7.1 Kompaktsuse definitsioon ja lihtsamaid j¨areldusi 69 Teoreem 7.27 Kui topoloogiline ruum X on kompaktne, siis a) tema iga l˜opmatu alamhulk omab piirpunkti; b) tema iga kinnine alamhulk on samuti kompaktne. T˜oestus. Olgu A ruumi X l˜opmatu alamhulk. Vastuv¨aite- liselt eeldame, et A ei oma piirpunkti
g(x). Teoreem on t~oestatud. 27. Kõrgemat järku tuletiste ja diferentsiaalide definitsioonid. Funktsiooni y = f(x) n-j¨arku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n - 1 - j¨arku tuletise tuletist ja t¨ahistatakse f(n). L~oplikku n-j¨arku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n- korda diferentseeruvaks. Kui funktsioonil on olemas k~oik tuletised f(n), kus n = 1,2,3,..., ja neil on l~oplikud v¨a¨artused, siis nimetatakse seda funktsiooni l~opmata arv kordi dife- rentseeruvaks. Funktsiooni y = f(x) n-j¨arku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n - 1 - j¨arku diferentsiaali diferentsiaali ja t¨ahistatakse. dny. Kehtib valem dny(x) = f(n)(x)dxn . Tuletada kõrgemat järku diferentsiaalide valemid. valem dy = f'(a)dx funktsiooni y = f(x) diferentsiaali dy jaoks. Suurus dy s~oltub punktist a, kus ta arvutatakse, ja argumendi muudust dx. Olgu dx konstantne suurus. Siis on dy arvu a funktsioon, st dy(a) = f'(a)dx
¨ks ¨ lahend. Oeldakse, et s¨ usteemi on m¨a¨ aratud, kui tal leidub parajasti u ¨ks lahend. S¨ usteemi nimetatakse vastur¨ a¨ akivaks, kui tal puuduvad lahendid. N¨ aide V~orrand 0x = 0 on koosk~ olaline (l~ opmata palju lahendeid). V~ or- rand 2x = 6 on m¨a¨ aratud (parajasti u¨ks lahend). V~ orrand 0x = 1 on vastur¨a¨akiv (lahendid puuduvad). 2 LVS-i maatrikskuju Defineeerime maatriksid a11 a12 . . . a1n x1 y1 a21 a22 . .
Seet~ottu ei ole v~oimalik saada neile funktsioonidele terves oma m¨a¨aramispiirkonnas u ¨heseid p¨o¨ ordfunktsioone. P¨o¨ ordfunktsioonid defineeritakse nende funktsioonide m¨a¨ara- mispiirkondade alamhulkadel. Vaatleme seda iga trigonomeetrilise funktsiooni korral l¨ahemalt. Funktsioon y = sin x ei ole u ¨ks¨ uhene, sest u ¨hele sin x v¨a¨artusele vastab l~ opmata palju x v¨ a¨ artusi. N¨aiteks x-telg l~oikab siinuse graafikut l~opmata arvus erinevates punktides (vt joonis 1.8). Funktsiooni y = sin x p¨o¨oramisel ahen- datakse tema m¨a¨ aramispiirkond kokkuleppeliselt l~oiguks [- 2 , 2 ], st j¨aetakse vaatluse alt v¨alja kogu see sin x osa, mille korral x [- 2 , 2 ]. Vaadeldes joonisel 1.8 l~oigul [- 2 , 2 ] paiknevat siinuse graafiku osa n¨aeme, et suvaline x-teljega
8 - 1.11 n¨aeme, et x-teljega pa- ralleelsed sirged v~oivad neid graafikuid l~oigata paljudes punktides. Seet~ottu ei ole v~oimalik saada neile funktsioonidele terves oma m¨a¨aramispiirkonnas u ¨heseid p¨o¨ordfunktsioone. P¨o¨ordfunktsioonid defineeritakse nende funktsioonide m¨a¨ara- mispiirkondade alamhulkadel. Vaatleme seda iga trigonomeetrilise funktsiooni korral l¨ahemalt. Funktsioon y = sin x ei ole u ¨ks¨uhene, sest u ¨hele sin x v¨a¨artusele vastab l~opmata palju x v¨a¨artusi. N¨aiteks x-telg l~oikab siinuse graafikut l~opmata arvus erinevates punktides (vt joonis 1.8). Funktsiooni y = sin x p¨o¨oramisel ahen- datakse tema m¨a¨aramispiirkond kokkuleppeliselt l~oiguks [- 2 , 2 ], st j¨aetakse vaatluse alt v¨alja kogu see sin x osa, mille korral x [- 2 , 2 ]. Vaadeldes joonisel 1.8 l~oigul [- 2 , 2 ] paiknevat siinuse graafiku osa n¨aeme, et suvaline x-teljega paralleelne sirge l~oikab seda maksimaalselt u ¨hes punktis
annaabi.ee 
