f'(x)/ g'(x). Tulemusena saame valemi . Eelduse kohaselt eksisteerib valemi paremal poolel olev piirv¨a¨artus lim xa f'(x) /g'(x). J¨arelikult eksisteerib ka vasakul pool olev piirv¨a¨artus lim xa f(x)/ g(x). Teoreem on t~oestatud. 27. Kõrgemat järku tuletiste ja diferentsiaalide definitsioonid. Funktsiooni y = f(x) n-j¨arku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n - 1 - j¨arku tuletise tuletist ja t¨ahistatakse f(n). L~oplikku n-j¨arku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n- korda diferentseeruvaks. Kui funktsioonil on olemas k~oik tuletised f(n), kus n = 1,2,3,..., ja neil on l~oplikud v¨a¨artused, siis nimetatakse seda funktsiooni l~opmata arv kordi dife- rentseeruvaks. Funktsiooni y = f(x) n-j¨arku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n - 1 - j¨arku diferentsiaali diferentsiaali ja t¨ahistatakse. dny. Kehtib valem dny(x) = f(n)(x)dxn . Tuletada kõrgemat järku diferentsiaalide valemid.
Kuna antud juhul 0 j¨a¨ab suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse vahele, siis kuskil peab vaadeldav funktsioon saavutama v¨a¨artuse 0. See t¨ahendabki, et l~oigul [a,b] leidub v¨ahemalt u¨ks punkt c, kus f(c) = 0. 18. Funktsiooni tuletise definitsioon. Funktsiooni f tuletis punktis a on de- fineeritud j¨argmiselt: f'(a) = lim xa f(x) - f(a) /x - a Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Kui funktsioon f omab punktis a l~oplikku tuletist, siis ¨oeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu. x = x - a - argumendi muut kohal a, y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a. Siis f'(a) = lim xa f(x) - f(a)/ x a = lim xa y /x= lim x0 y /x . Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev. Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev. T~oestus
Arvu a nimetatakse reaalarvude jada x1 , x2 , x3 , . . . piirv¨ a¨artuseks, kui iga kuitahes v¨aikese positiivse arvu korral saab n¨aidata sellist jada elementi xn , millest alates k~oik j¨argnevad jada elemendid kuuluvad arvu a u ¨mbrusesse (a - , a + ). Jada piirv¨a¨ artuse kirjutusviis on j¨argmine: xn a v~oi lim xn = a . 29 L~oplikku piirv¨a¨ artust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. n N¨aide. Vaatleme jada elementidega xn = 1 + (-1) 2n . Taolise jada piirv¨ a¨artus on 1. Selle t~oestamiseks kontrollime piirv¨a¨artuse definitsiooni kehtivust arvuga a = 1
Arvu a nimetatakse reaalarvude jada x1 , x2 , x3 , . . . piirv¨ a¨artuseks, kui iga kuitahes v¨aikese positiivse arvu korral saab n¨aidata sellist jada elementi xn , millest alates k~oik j¨argnevad jada elemendid kuuluvad arvu a u ¨mbrusesse (a - , a + ). Jada piirv¨a¨artuse kirjutusviis on j¨argmine: xn a v~oi lim xn = a . 29 L~oplikku piirv¨a¨artust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. n N¨aide. Vaatleme jada elementidega xn = 1 + (-1) 2n . Taolise jada piirv¨ a¨artus on 1. Selle t~oestamiseks kontrollime piirv¨a¨artuse definitsiooni kehtivust arvuga a = 1. Vastavalt definitsioonile peame me n¨aitama, et suvalise kuitahes v¨aikese
T˜oestus. 10 =⇒ 20 . See j¨areldub teoreemist 7.1. 20 =⇒ 10 . Eeldame, et on t¨aidetud tingimus 20 . N¨aitame, et ruum X on kompaktne. Lemma 7.1 t˜ottu piisab n¨aidata, 7.2 Kompaktsus loenduva baasiga ruumides 75 et ruumi X igast loenduvast lahtisest kattest saab eraldada l˜opliku osakatte. Olgu A = { Ai | i ∈ N } ruumi X lahtine kate. Vastuv¨aiteliselt eeldame, et ruumi X kattest A ei saa eraldada l˜oplikku osakatet. Siis iga n ∈ N korral X = ∪ni=1 Ai ja Fn = X (∪ni=1 Ai ) = ∩ni=1 (X Ai ) = ∅, kusjuures F1 ⊃ F2 ⊃ F3 ⊃ . . . . (7.8) Hulgad X Ai on kinnised kui lahtiste hulkade t¨aiendid. See- p¨arast on ka hulgad Fn kinnised. N¨aitame, et ∩∞ i=1 Fn = ∅. (7.9) Jada F = {Fn }n∈N puhul on kaks v˜oimalust: 1) leidub
ehk l¨ uhidalt xn +. Analoogiliselt defineeritakse ka xn - ja xn . Kui xn + xn - xn , 32 siis k~oneldakse l~ opmatust piirv¨ a¨artusest. Definitsioon 8. Jada, millel on l~oplik piirv¨a¨artus, nimetatakse koonduvaks jadaks. Jada, millel ei ole l~ oplikku piirv¨ a¨artust, nimetatakse hajuvaks jadaks. Seega ka l~opmatut piirv¨a¨ artust omav jada on hajuv jada. Olgu c k~oigi koonduvate jadade hulk. Asjaolu, et jada {xn } koondub, t¨ahistatakse {xn } c ja asjaolu, et jada {xn } hajub, t¨ ahistatakse {xn } / c. Definitsioonidele 6 ja 7 v~oib anda kompaktse kuju xn a ( > 0 n0 = n0 () N : n > n0 |xn - a| < ) ja vastavalt
. . , n , . . . , (8.8) on olemas piirv¨a¨artus. Teoreemi 1 j¨argi on see jada t~okestatud ehk n M . Aga siis (8.7) t~ottu on t~okestatud ka rea (8.1) osasummade jada (8.4) ja teoreemi 1 kohaselt on sellel jadal olemas piirv¨aa¨rtus, st rida (8.1) Vastupidi, kui (8.1) hajub, peab selle osasummade jada olema t~okesta- mata, millest tingimuse (8.7) t~ottu on t~okestamata ka rea (8.6) osasummade jada (8.8) ja teoreemi 1 p~ohjal ei saa sellel olla l~oplikku piirv¨a¨artust. N¨ aide 1. T~oestame, et rida 1 1 1 1 1+ + + ... + 2 + ... = 4 9 k k=1 k2 koondub. Punkti 8.1 n¨aites 2 t~oestasime rea
annaabi.ee 
