(6.2) nimetatakse selle joone parameetrilisteks v~ orranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. 2) Vektorid mitmemõõtmelises ruumis. Punkti kohavektor. Vektori suunaline sirge ja selle parameetrilised võrrandid. Vektorite skalaarkorrutis. Mitmemõõtmeline ruum kui eukleidiline ruum. Cauchy-Schwartzi võrratus. Teljed mitmemõõtmelises ruumis. Olgu antud 2 punkti A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja B = (b1 , b2 , . . . , bm ) ruumis Rm . Vaatleme punktist A punkti B suunatud sirgl~oiku. See on punktide P = (x1 , x2 , . . . , xm ) hulk, mille koordinaadid xi rahuldavad parameetrilisi v~orrandeid x1 = a1 + (b1 - a1 )t x2 = a2 + (b2 - a2 )t ... xm = am + (bm - am )t , t [0, 1] . Antud hulgas vastab parameetri v¨a¨artusele t = 0 punkt A ja parameetri v¨a¨
sed f (k ). Selliste ristk¨ ulikute pindalade summa, st integraalsumma sn on ligikaudu v~ordne niisuguse k~overtrapetsi pindalaga, mis alt on piiratud x- teljega, vasakult sirgega x = a, paremalt sirgega x = b ja u ¨lalt funktsiooni y = f (x) graafikuga. Kui vaadelda piirprotsessi 0, siis k~oikide osal~oikude pikkused hak- kavad kahanema ja selleks et osal~oigud kataksid kogu l~oigu [a; b], tuleb v~otta neid osal~oike j¨arjest rohkem. Ristk¨ulikute pindalade summa sn hakkab osal~oiku- de arvu kasvades t¨apsemalt iseloomustama k~overtrapetsi pindala. Seega, kui l~oigul [a; b] on f (x) 0, siis m¨a¨aratud integraal t¨ahendab geomeetriliselt k~overtrapetsi pindala. Definitsioon 2. Funktsioone, mis rahuldavad definitsioonis 1 esitatud tingimusi, nimetatakse l~oigul [a; b] integreeruvateks funktsioonideks. Kehtib teoreem. Teoreem 1. Kui funktsioon f (x) on pidev l~oigul [a; b], siis on see ka integreeruv l~oigul [a; b]. M¨ arkus
saab vastavusse seada muutuja y v¨a¨artuse. Funktsiooni m¨a¨aramispiirkond on kas funktsiooni definitsiooniga ette an- tud v~oi funktsiooni enda poolt m¨a¨aratud. Funktsiooni m¨a¨aramispiirkonda t¨ahistatakse s¨ umboliga X. N¨ aide 1.5. Funktsiooni x, kui 0 x 1 f (x) = 2 - x, kui 1 < x 2 m¨aa¨ramispiirkonnaks on l~oik X = [0; 2], sest v¨aljaspool seda l~oiku ei ole funktsioon defineeritud. Funktsiooni graafik on esitatud joonisel. y 1 y = f( x) 1 2 x N¨aide 1.6
24 Meetriline ruum on Ti -ruum iga i = 0, 1, 2, 3, 4 korral. T˜oestus. Olgu X meetriline ruum meetrikaga d. Teoreemi 2.5 t˜oestuses n¨aitasime, et kui x, y ∈ X ja x = y, siis punktidel x ja y leiduvad mittel˜oikuvad u ¨mbrused B(x; s) ja B(y; s), kus s = 0, 5 · d(x, y) (vt. v˜ordust (2.4)). J¨arelikult X on T2 -ruum ja seega ka T0 -ruum ning T1 -ruum. 6.1 Eralduvuse aksioomid ja j¨areldusi neist 63 N¨aitame, et X on T4 -ruum. Valime ruumist X mittel˜oiku- vad kinnised alamhulgad A ja B, A∩B = ∅. Leiame hulkadele A ja B mittel˜oikuvad u ¨mbrused U (A) ja U (B). Iga x ∈ A jaoks defineerime mittenegatiivse arvu dB (x) = inf { d(x, y) | y ∈ B }. Kuna reaalarvude hulk { d(x, y) | y ∈ B } on alt t˜okestatud arvuga 0 ja igal alt t˜okestatud reaalarvude hulgal leidub alu- mine raja, siis dB (x) eksisteerib ja dB (x) ≥ 0. Hulk X B on lahtine ja v˜orduse A ∩ B = ∅ t˜ottu x ∈ X B
Antud funktsioon on u ¨hene. S~ oltuva muutuja y iga v¨a¨artus l~opmatust vahemikust (-; ) = Y on t¨ ¨he argumendi v¨a¨artuse x X kujutiseks, st kui vaadelda muu- apselt u ¨hese funktsiooni x = 1 - 10y tujat x muutuja y funktsioonina x = x (y) , saame samuti u (Y = (-, +)) . N¨aide 5. Olgu y = arccos x. Et koosinuse v¨a¨artused kuuluvad l~oiku [-1; 1], siis antud eeskiri omab m~ otet, kui x [-1; 1], st X = [-1; 1]. Arkuskoosinuse v¨a¨artused kuuluvad l~ oiku [0; ]. Seega Y = [0; ]. Funktsiooni graafikuks on 3 2.5 2 y 1.5
Reaalarvu a u ¨mbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on u ¨mbruse raadius. Arv x kuulub arvu a u¨mbrusesse (a - , a + ) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a v¨aiksem kui , st |x - a| < . N¨aiteks arvu 0 u ¨mbrus on suvaline vahemik (-, ). Arv x kuulub 0-i ¨mbrusesse siis ja ainult siis, kui |x| < . u 2 Reaalarvu a vasakpoolseks u ¨mbruseks nimetatakse suvalist pooll~oiku (a - , a], kus > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse u ¨mbrusesse (a - , a] siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a v¨aiksem kui , st |x - a| < , ja x ei asetse a-st paremal, st x a. Reaalarvu a parempoolseks u ¨mbruseks nimetatakse suvalist pooll~oiku [a, a + ), kus > 0. Arv x kuulub arvu a parempoolsesse u ¨mbrusesse [a, a + ) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a v¨aiksem kui , st
Reaalarvu a u ¨mbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on u ¨mbruse raadius. Arv x kuulub arvu a u¨mbrusesse (a - , a + ) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a v¨aiksem kui , st |x - a| < . N¨aiteks arvu 0 u ¨mbrus on suvaline vahemik (-, ). Arv x kuulub 0-i u ¨mbrusesse siis ja ainult siis, kui |x| < . 2 Reaalarvu a vasakpoolseks u ¨mbruseks nimetatakse suvalist pooll~oiku (a - , a], kus > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse u ¨mbrusesse (a - , a] siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a v¨aiksem kui , st |x - a| < , ja x ei asetse a-st paremal, st x a. Reaalarvu a parempoolseks u ¨mbruseks nimetatakse suvalist pooll~oiku [a, a + ), kus > 0. Arv x kuulub arvu a parempoolsesse u ¨mbrusesse [a, a + ) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a v¨aiksem kui , st
annaabi.ee 
