Seega f'(x) = dy /dx. Funktsiooni x = (t) argument on t ja s~oltuv muutuja x. J¨arelikult '(t) = dx /dt . Analoogiliselt saame funktsiooni y = (t), mille argument on t ja s~oltuv muutuja y, tuletise jaoks seose '(t) = dy /dt . Kasutades neid valemeid arvutame: f'(x) = dy /dx = dy dt/ dx dt = '(t)/ '(t) 22. Joone puutuja definitsioon. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema l~oikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P l¨ahenemisel punktile A m¨o¨oda joont y = f(x) Tuletada joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) . Meie eesm¨argiks on tuletada puutuja s v~orrand. K~oigepealt m¨argime, et valemi (3.9) p~ohjal avaldub puutuja s v~orrand punktis A = (a,f(a)) kujul y - f(a) = p(x - a) kus p on s t~ous. Momendil on p veel tundmatu suurus. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. L~oikaja AP t~ous on ¯ p = tan
tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y=f(x). VÕRRAND : yf(a)=p(xa) b) Tuletada joone y=f(x) puutuja võrrand punktis A=(a,f(a)) 35) Valemi y - b = p(x - a) p~ohjal avaldub puutuja s v~orrand punktis A = (a, f (a)) kujul y f (a) = p(x - a) , kus p on s tõus. Momendil on p veel t undmatu suurus. 36) Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Olgu l~oikaja AP t~ousunurk t¨ahistatud ga. Seega on l~oikaja AP t~ous p = tan . Täisnurkselt kolmnurgalt näeme, et p = tan = . 37) m¨ooda joont y = f (x). Vastavalt puutuja definitsioonile Kui xa, siis P l¨aheneb punktile A l¨aheneb l~oikaja AP joone y = f (x) puutujale punktis A. Seega l¨aheneb ka l~oikaja t~ous p puutuja tõusule p
tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y=f(x). VÕRRAND : yf(a)=p(xa) b) Tuletada joone y=f(x) puutuja võrrand punktis A=(a,f(a)) 35) Valemi y - b = p(x - a) p~ohjal avaldub puutuja s v~orrand punktis A = (a, f (a)) kujul y f (a) = p(x - a) , kus p on s tõus. Momendil on p veel t undmatu suurus. 36) Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Olgu l~oikaja AP t~ousunurk t¨ahistatud ga. Seega on l~oikaja AP t~ous p = tan . Täisnurkselt kolmnurgalt näeme, et p = tan = . 37) m¨ooda joont y = f (x). Vastavalt puutuja definitsioonile Kui xa, siis P l¨aheneb punktile A l¨aheneb l~oikaja AP joone y = f (x) puutujale punktis A. Seega l¨aheneb ka l~oikaja t~ous p puutuja tõusule p
Teoreem on t~oestatud. Sõnastada ja tõestada Lagrange'i teoreem. Kui funktsioon f on l~oigul [a,b] pidev ja vahemikus (a,b) diferentseeruv, siis leidub vahemikus (a,b) v¨ahemalt u¨ks punkt c nii, et f(b) - f(a) = f'(c)(b - a). T~oestus. Lagrange'i teoreem on Cauchy teoreemi erijuht. T~oepoolest, v~ottes Cauchy teoreemis g(x) = x saame g(b) = b, g(a) = a, g'(c) = 1 ja j¨areldubki (3.26). Lagrange'i teoreemi geomeetriline sisu. Lagrange'i teoreem v¨aidab, et sileda joone l~oikaja saab paralleellu¨kkega viia selle joone puutujaks. 26. Sõnastada ja tõestada l'Hospitali reegel 0/ 0 tüüpi määramatuse korral. Olgu funktsioonid f ja g diferentseeruvad punkti a mingis u¨mbruses, kusjuures g'(x) 0 iga x korral sellest u¨mbrusest. Peale selle, olgu f(a) = g(a) = 0. Kui eksisteerib piirv¨a¨artus lim xa f'(x) /g'(x), siis eksisteerib ka piirv¨aa¨rtus lim xa f(x)/ g(x) ja kehtib valem lim xa f(x)/ g(x)= lim xa f'(x)/ g'(x) T~oestus
y - b = p(x - a) . (3.9) Viimane valem kehtib juhul, kui t~ous p on m¨a¨aratud, st kui = 2 . Juhul kui = 2 , on p m¨ aramata (tinglikult v~ordne -ga). Siis on s paralleelne y - a¨ teljega ja tema v~orrand on x = a. Joone puutuja ja selle v~ orrand. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f (x) (st funktsiooni y = f (x) graafik). Joone y = f (x) puutujaks punktis A nimetatakse tema l~oikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P l¨ahenemisel punktile A m¨o¨oda joont y = f (x) (vt joonis 3.2, puutuja on seal t¨ahistatud s-ga). Meie eesm¨argiks on tuletada puutuja s v~orrand. K~oigepealt m¨argime, et valemi (3.9) p~ohjal avaldub puutuja s v~orrand punktis A = (a, f (a)) kujul y - f (a) = p(x - a) , (3.10) kus p on s t~ous. Momendil on p veel tundmatu suurus. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu
y - b = p(x - a) . (3.9) Viimane valem kehtib juhul, kui t~ous p on m¨a¨aratud, st kui = 2 . Juhul kui = 2 , on p m¨a¨aramata (tinglikult v~ordne -ga). Siis on s paralleelne y - teljega ja tema v~orrand on x = a. Joone puutuja ja selle v~ orrand. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f (x) (st funktsiooni y = f (x) graafik). Joone y = f (x) puutujaks punktis A nimetatakse tema l~oikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P l¨ahenemisel punktile A m¨o¨oda joont y = f (x) (vt joonis 3.2, puutuja on seal t¨ahistatud s-ga). Meie eesm¨argiks on tuletada puutuja s v~orrand. K~oigepealt m¨argime, et valemi (3.9) p~ohjal avaldub puutuja s v~orrand punktis A = (a, f (a)) kujul y - f (a) = p(x - a) , (3.10) kus p on s t~ous. Momendil on p veel tundmatu suurus. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu
Q f (x + x) f (x) P R x x + x x Joonis 2.1: tuletise geomeetriline t~olgendus Argumendi v¨a¨artusele x vastab graafiku punkt P ja v¨a¨artusele x + x punkt Q. T~ombame l¨abi punktide P ja Q graafiku l~oikaja. L~oikaja t~ousunurga 1 t¨ahistame -ga. T¨aisnurkses kolmnurgas P RQ nurk tipu P juures on sel juhul samuti . Selle nurga vastaskaateti RQ pikkus on y ja l¨ahiskaateti P R pikkus x. Seega y tan = x st funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhe t¨ahendab l~oikaja P Q t~ousu. Kui n¨ uu
f (x) = lim . x0 x Kasutatakse ka t¨ ahistusi df (x) d dy = f (x) = =y. dx dx dx Geomeetriliselt v~ oib funktsiooni f (x) tuletist punktis x interpreteerida kui selle funkt- siooni graafikule punktis (x, f (x)) konstrueeritud puutuja (l~oikaja piirseisu) t~ousunurga tangensit. Kui funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirv¨a¨artus on l~opmatu, siis k~oneldakse l~ opmatust tuletisest. Kui funktsioonil f (x) on l~opmatu tuletis punktis x, siis funktsiooni graafikule punktis (x, f (x)) t~ommatav puutuja on paralleelne y-teljega. Definitsioon 2. Kui funktsioonil f (x) on tuletis punktis x, siis ¨oeldakse, et funkt- sioon on diferentseeruv punktis x.
annaabi.ee 
