aritmeetilise keskmise ja moodi vahet A = x - Mo. Kui hälve on plussmärgiga, siis on rida vasakule poole ebasümmeetriline, kui miinusmärgiga, siis paremale poole. Selle näitarvu kasutamisel tuleb arvestada, et eespool toodud seosed keskmiste vahel kehtivad ainult suhteliselt siledatejaotuste korral ning keerulisema struktuuriga jaotuste korral võib moodi ja aritmeetilise keskmise erinevus viia eksitavatele järeldustele. Käänupunktid Normaaljaotuse tõenäosuse tihedusfunktsioonil on Gaussi kõvera kuju, mille maksimum on kohal m ja käänupunktid (s.t. punktid kus joone kumerus muutub kõveruseks) asuvad kohtades x ± . Mida suurem on s väärtus, seda laiem ja madalam on graafik, ning mida väiksem on s väärtus, seda kitsam ja kõrgem on graafik. Joonis 6. Käänupunktid. Kirjandus: http://web.zone.ee/veelmaaallar/sisu1/normaaljaotus.html Haldna, Marina. www.e-ope.ee/_download/euni_repository/file/47/Loeng_2
Funktsiooni tuletis kahaneb aga juhul kui teine tuletis on negatiivne. Seevastu miinimupunkti läbides puutuja tõus suureneb, seega tuletis kasvab. Tuletis kasvab aga juhul kui teine tuletis on positiivne. Järelikult kehtib järgmine väide: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II. Olgu f ` (x1) = 0. Kui f ` '(x1) < 0 siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne maksimum. Kui aga f ` `(x1) > 0 siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum. 33. Joone kumerus ja nõgusus. Käänupunktid: Joone kumerus ja nõgusus. Vaatleme joont võrrandiga y = f(x) ehk funktsiooni y = f(x) graafikut tasandil xy - teljestikus. Eeldame et funktsioon f on kõikjal diferentseeruv. Viimane on vajalik selleks et joonel y = f(x) oleks igas punktis puutuja. Öeldakse et joon y = f(x) on nõgus kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus suureneb. Öeldakse et joon y = f(x) on kumer kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb
1. Funktsiooni diferentseeruvuse geomeetriline tõlgendus. 11. Kumerus, nõgusus, käänupunktid. Seos teist järku tuletisega. Funktsiooni diferentsiaal on kõverjoonele y = f(x) tõmmatud puutuja ordinaadi muut, mis vastab Oeldakse, et funktsiooni f(x) graafik on kumer punktis a (tapsemini punktis (a, f(a))), kui leidub punkti a argumendi numbrile x=dx. selline -umbrus, et funktsiooni f(x) graafik on argumendi x väärtustel ümbrusest (a - , a + ) allpool 2. Funktsiooni kõrgemat järku tuletised
nimetatakse funktsiooni f kriitiliseks punktiks. Olgu funktsioon f pidev kriitilises punktis a. Siis kehtivad väited 10 Kui punkti a läbimisel (positiivses suunas) f (x) märk muutub "+" "-", siis on funktsioonil f punktis a lokaalne maksimum. 20 Kui punkti a läbimisel (positiivses suunas) f (x) märk muutub "-" "+", siis on funktsioonil f punktis s a lokaalne miinimum. 30 Kui punkti a läbimisel f (x) märk ei muutu, siis punktis a ekstreemumit ei ole. 6. Joone kumerus, nõgusus, käänupunktid Jooneks y = f (x) nimetame funktsiooni f graafikut. Olgu funktsioon f diferentseeruv vahemikus (a,b). Siis igas punktis P =(x, f(x)) on joonel y = f (x) olemas puutuja. Definitsioon 11. Joont y = f (x) nimetatakse kumeraks (nõgusaks) vahemikus (a,b), kui selle joone puutuja on igas punktis P =(x, f(x)), x(a,b), ülalpool (allpool) joont. Teoreem.19 Olgu funktsioon f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a,b). Kui f (x) < 0 ( f (x) > 0) iga x(a,b) korral, siis on antud joon kumer (nõgus)
lokaalne maksimum. (maksimumpunkti läbides läheb funktsiooni kasvamine üle kahanemiseks). 20 Kui punkti a läbimisel (positiivses suunas) f (x) märk muutub "-" "+", siis on funktsioonil f punktis s a lokaalne miinimum. (miinimumpunkti läbides läheb funktsiooni kahamine üle kasvamiseks). 30 Kui punkti a läbimisel f (x) märk ei muutu, siis punktis a ekstreemumit ei ole. 20. Joone kumerus ja nõgusus2, käänupunktid . Joone asümptoodid. Kumerus ja nõgusus: Joont y = f (x) nimetatakse kumeraks (nõgusaks) vahemikus (a,b), kui selle joone puutuja on igas punktis P =(x, f(x)), x(a,b), ülalpool (allpool) joont. Teoreem . Olgu funktsioon f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a,b). Kui f (x) < 0 ( f (x) > 0) iga x(a,b) korral, siis on antud joon kumer (nõgus) selles vahemikus. Tõestus. Olgu f (x) < 0 iga x ( a, b) korral. Fikseerime punkti x0 ( a, b). Kasuta-
anupunkt. Kokkuv~ottes saame formuleerida j¨argmise teoreemi: Teoreem 4.7 (K¨ a¨ anupunkti piisav tingimus). Olgu x1 funktsiooni f teist j¨ arku kriitiline punkt. Kui l¨ abides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab m¨ arki, siis on P = (x1 , f (x1 )) joone y = f (x) k¨ a¨anupunkt. N¨ aide. Leiame funktsiooni f (x) = 3x5 - 5x4 kumerus- ja n~ogususpiirkonnad ja k¨aa¨nupunktid. Antud funktsiooni m¨a¨aramispiirkond on X = R. Avaldame 94 teist j¨arku tuletise: f (x) = 15x4 - 20x3 , f (x) = 60x3 - 60x2 = 60x2 (x - 1) . Teist j¨arku kriitilised punktid on x = 0 ja x = 1. Kanname nad teljele: | | G 0 1 x
26. Joone puutuja ja normaali v~orrandid 27. Rolle'i teoreem 28. Cauchy teoreem 29. Lagrange'i teoreem 30. L'Hospitali reegel 31. L'Hospitali reegel teistel m¨aa¨ramatuse juhtudel 32. Taylori valem 33. Funktsioonide ex , sin x ja cos x arendid Maclaurini valemi j¨argi 34. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine 35. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid 36. Funktsiooni suurim ja v¨ahim v¨a¨artus antud l~oigul 37. Funktsiooni graafiku kumerus ja n~ogusus. K¨aa¨nupunktid 38. Funktsiooni graafiku as¨ umptoodid 39. Algfunktsioon ja m¨aa¨ramata integraal 40. Integraalide tabel 2 41. M¨aa¨ramata integraali omadusi 42. Integreerimine muutuja vahetusega 43. Ositi integreerimine 44. Osamurrud ja nende integreerimine 45. Ratsionaalse murru lahutamine osamurdudeks 46. M~onede trigonomeetriliste funktsioonide klasside integreerimine 47. Irratsionaalavaldiste integreerimine 48
annaabi.ee 
