etteantud punkti suhtes moodul- ja vektorkujul. Tehke vastav joonis koos selgitustega. 50.Kirjutage valem, mis seob punktmassile mõjuva resultantjõumomendi ja tema impulsimomendi. 51.Sõnastage impulsimomendi jäävuse seadus. Tuletage see. 52.Kirjutage punktmassi inertsimomendi arvutamise valem etteantud pöörlemistelje suhtes. 53.Kirjutage pöördliikumise dünaamika põhivõrrand nii konstantse kui mittekonstantse inertsimomendiga keha korral. 54.Sõnastage Steineri lause, kirjutage vastav valem, tuletage see. Tehke joonis koos selgitustega. 55.Tuletage valem pöörleva keha kineetilise energia arvutamiseks.
absoluutväärtus kui ka suund. Liikumise erijuht on paigalseis: liikumine 0-se kiirusega. Kiirus (v) on füüsikaline suurus, mida mõõdetakse ajaühikus läbitud teepikkusega. Liikumise hetkekiirus iseloomustab trajektoori (läbitud teepikkuse) muutumise kiirust (tõusu või tõusunurga tangensit). Võib olla nii positiivne kui ka negatiivne. Konstantse kiiruse puhul läbitakse ajaühikus võrdseid vahemaid. Mittekonstantse kiirusega liikumine (ajaühikus läbitakse erinevaid vahemikke) on kiirendusega liikumine. Kiirus nagu ka teepikkus on vektor, millel on x, y, ja z - suunalised komponendid. Liikumise kiirendus (a) on füüsikaline suurus, mida mõõdetakse kiiruse muutusega ajaühikus. Kiirenduse ühik on ms-2 (loe: meeter sekundis sekundis). Kiirendusega liikumise kiirus on ajas pidevalt muutuv: , kus alghetkel kiirus ei olnud mitte null vaid Ringjooneline liikumine
Samapotentsiaalipindadeks nimetatakse selliseid pindu, mille igas punktis on vaadeldava proovikeha potentsiaalne energia ühesugune. Proovikeha liigutamisel ühelt samapotentsiaalilt teisele võrdub konservatiivse jõu vastu tehtud töö potentsiaalsete energiate vahega nende samapotentsiaalipindade vahel. Kui proovikeha trajektoor kulgeb mööda samapotentsiaalipinda, siis proovikeha liigutamisel tööd ei tehta. Tuletame nüüd meelde mittekonstantse jõu poolt tehtud töö valemit (5.18a). Konservatiivse jõu väljas kehtib valem (5.30), mille põhjal saame avaldada proovikeha potentsiaalse energia muudu konservatiivse jõu väljas liikudes E p - E p 0 = - F ( x, y , z ) ds = - Fx ( x, y, z ) dx - Fy ( x, y , z ) dy - Fz ( x, y , z ) dz . Siin valemis tuleb miinusmärk sellest, et keha liigutamisel tehakse tööd konservatiivse jõu vastu
x 0 + x x 0 - x Kuna fuktsioon on diferentseeruv punktis , siis järelikult f ( ) = 0 . Rolle'i teoreem Teoreem: Kui lõigus [a, b] pideva ja vahemikus (a, b ) diferentseeruva funktsiooni f korral f (a ) = f (b ) , siis on funktsioonil f vahemikus (a, b ) vähemalt üks statsionaarne punkt. Tõestus: Kui f on konstantne funktsioon, on teoreem ilmne, sest f ( x ) = c x [a, b] f ( x ) = 0 x (a, b ) . Tõestame teoreemi mittekonstantse funktsiooni f korral, s.t. x 0 (a, b ) : f ( x0 ) f (a ) = f (b ) . a) kui f ( x0 ) > f (a ) Kuna lõigus pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed väärtused selles lõigus, siis [a, b] : f ( ) = max f ( x ) x [a, b ] f ( ) f ( x0 ) f ( x 0 ) > f (a ) f ( ) > f (a ) = f (b ) (a, b ) on sisepunkt Fermat' teoreemi põhjal on statsionaarne punkt. b) kui f ( x0 ) < f (a ) Kuna lõigus pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed väärtused selles lõigus, siis
Järelikult on arv M − C1 väärtuste hulga {f (x) | x ∈ [a, b]} ülemine tõke, kuid see on vastuolus asjaoluga, et M on selle hulga vähim ülemine tõke. Saadud vastuolu lükkab ümber meie vastuväitelise oletuse. Analoogiliselt tõestatakse vähima väärtuse m := min {f (x) | x ∈ [a, b]} olemasolu. Käesolevas alapunktis tõestatud tulemused annavad kokkuvõttes järgmise tähelepanu- väärse teoreemi. Teoreem 3.17 Lõigus [a, b] pideva mittekonstantse funktsiooni f väärtuste hulk R on lõik [m, M] , kus m := min {f (x) | x ∈ [a, b]} ja M := max {f (x) | x ∈ [a, b]} . Tõestus. Teoreemi 3.16 kohaselt m, M ∈ R, seega R ⊆ [m, M]. Teoreemist 3.13 tuleneb, et (m, M) ⊆ R. Kokkuvõttes R = [m, M] . 66 3 Pidevad funktsioonid 3.3.5 Pöördfunktsiooni pidevus
Tsentraalses gravitatsiooniväljas vastavalt valemile (5.30a) kontsentrilised sfäärid võrranditega = . Proovikeha liigutamisel ühelt samapotentsiaalilt teisele võrdub konservatiivse jõu vastu tehtud töö potentsiaalsete energiate vahega nende samapotentsiaalipindade vahel. Kui proovikeha trajektoor kulgeb mööda samapotentsiaalipinda, siis proovikeha liigutamisel tööd ei tehta. Tuletame nüüd meelde mittekonstantse jõu poolt tehtud töö valemit (5.18a). Konservatiivse jõu väljas kehtib valem (5.30), mille põhjal saame avaldada proovikeha potentsiaalse energia muudu konservatiivse jõu väljas liikudes r r E p − E p 0 = − ∫ F ( x, y, z ) ⋅ ds = − ∫ Fx ( x, y, z )dx − ∫ Fy ( x, y, z )dy − ∫ Fz ( x, y, z )dz . 10
Kui l~oigul [a; b] pideva ja vahemikus (a; b) diferentseeruva funktsiooni f (x) v¨a¨artused l~oiguotspunktides on v~ordsed, st f (a) = f (b), siis leidub vahemikus (a; b) v¨ahemalt u¨ks funktsiooni f (x) stat- sionaarne punkt. T~oestus. Kui funktsioon on l~oigul [a; b] konstantne, siis f (x) = 0 iga x (a; b) korral, st k~oik vahemiku (a; b) punktid on funktsiooni f (x) statsio- naarseteks punktideks. L~oigul pidev funktsioon omab suurimat ja v¨ahimat v¨a¨artust sellel l~oigul. Mittekonstantse funktsuiooni korral peab v¨ahemalt u ¨ks neist v¨a¨artustest eri- nema v¨a¨artusest f (a) = f (b). Oletame konkreetsuse m~ottes, et funktsioon omandab suuurima v¨a¨artuse mingisuguses punktis (a; b). Selles punktis on sel juhul t¨aidetud Fermat' lemma eeldused, seega f () = 0. 1 3.2 Cauchy teoreem Teoreem (Cauchy teoreem). Kui funktsioonid f (x) ja g(x) on pidevad
annaabi.ee 
