pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid parameetreid saab punktidele teljel märkida kõik reaalarvud. Igale reaalarvule vastab arvteljel ainult üks koht ja vastupidi. Absoluutväärtus on punkti kaugus koordinaatide alguspunktist. |a| =a kui a 0 -a kui a < 0 . Absoluutväärtuste omadused 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist lõiku (a-;a+), kus >0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub a ümbrusesse siis ja ainult siis, kui punkti x kaugus a- st on väiksem ümbruse raadiusest | x-a| < Suuruse lõpmatus ümbrust nimetatakse suvalist vahemikku (M; ), kus M>0. Arv x kuulub lõpmatuse ümbrusesse kui x>M Suuruse miinus lõpmatus ümbrust nimetatakse suvalist vahemikku (-;- M ), kus M<0. Arv x kuulub lõpmatuse ümbrusesse kui x <-M
hakkavad sööma(arvates, et see on sai) ja siis seda neelatavad ja hiljem surevad piineldes. Sama asi ka kilekottidega ja kilepakenditega, linnud ja loomad söövad neid ja hiljem surevad piineldes. Toon nüüd näiteks Austraalia(olen ise ka seal viibinud). Võin absouluutselt õelda, et seal nii puhas, et ise ka ei usu. Mitte KORDAGI ma ei märkanud prügi, ega ka mingit jäänust maas. Üldiselt kõige räpasemad riigid on need soojad Aafrika ümbrused jne. Samuti ka India on maru räpane, vaatasin ka ühte saadet ja mingis veekogus ujuvad laibad vastu, inimesed ei reageeri ja nende arust on see tavaline. Prügi, see kõik viib meie ühiskonna hukka. Mida teha? See on raske küsimus, ega kui inimene ei liiguta siis ka midagi ei muutu. Eestis on näiteks see hea, et korraldatakse neid ''Teeme ära'' üritusi, mis teeb nii mõndagi head. Ma tõesti ei kujuta ette, mida ette võtta nende räpaste riikidega, seal on juba nii metsikult
jämedas kirjas (bold face) olevate teemade hulgast (see on kõige olulisem materjal), 2 küsimust on valitud ülejäänud teemadest ja viimase 4-nda küsimuse all on võimalik kirjutada omal valikul 1/4-1/2 lk teksti antud programmi ulatuses. 1. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusüuhik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvteljepunktidele seada vastavusse reaalarvud. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a − ε, a + ε), kus ε > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a − ε, a + ε) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljelon arvust a väiksem kui ε, st |x − a| < ε. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a − ε, a], kus ε > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a − ε, a] siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel
30 U(x) on kinnine l˜opliku u ¨hisosa v˜otmise suhtes, st kui n A1 , . . . , An ∈ U(x), siis ka ∩i=1 Ai ∈ U(x); 40 iga A ∈ U(x) jaoks leidub selline B ∈ U(x), et A ∈ U(y) iga y ∈ B korral. T˜oestus. Kuna X ∈ U(x), siis U(x) = ∅. Omadused 10 ja 20 j¨arelduvad vahetult u ¨mbruse definitsioonist. Olgu A1 , . . . , An ∈ U(x). Siis leiduvad punkti x lahtised u ¨mbrused B1 , . . . , Bn ∈ T nii, et Bi ⊂ Ai iga i = 1, . . . , n kor- ral. Topoloogia on kinnine l˜opliku u ¨hisosa v˜otmise suhtes. Seet˜ottu x ∈ ∩ni=1 Bi ∈ T , ∩ni=1 Bi ⊂ ∩ni=1 An ¨mbruse definitsiooni p˜ohjal ∩ni=1 An ∈ U(x). J¨arelikult ning u kehtib ka omadus 30 . Olgu A ∈ U(x). Definitsioooni 2.1 kohaselt leidub selline B ∈ T , et x ∈ B ⊂ A. Teoreemi 2.1 p˜ohjal on B iga oma punkti u¨mbruseks
1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. ε-ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed Lõpmata väikeseid (suuri) suurusi α(x) ja β(x) piirprotsessis x → a nimetatakse ekvivalentseteks ümbrused. Lõpmatuse ümbrused selles piirprotsessis, kui Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈ V seab vastavusse skalaari || 8. Funktsiooni pidevus punktis. Uhepoolne pidevus. Katkevuspunktide liigid. u|| ∈ R, kusjuures on taidetud järgmised tingimused: Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on taidetud kolm tingimust:
opmata v¨aike piirprotsessis x x0 . J¨arelikult on suurus (x)f (x) l~ Lause 5. Kahe samas piirprotsessis l~opmata suure suuruse korrutis on samuti l~opmata suur suurus selles piirprotsessis. 52 T~oestus. Olgu (x) ja (x) l~ opmata suured suurused piirprotsessis x x0 , st kui tahes suure > 0 korral leiduvad sellised suuruse x0 u ¨mbrused U (x0 ) ja U (x0 ), et x U (x0 ){x0 } (x) U () x U (x0 ){x0 } (x) U () . opmata suur suurus piirprotsessis x x0 , sest J¨arelikult on suurus (x)(x) l~ > 0 µ > 0 : (x Uµ (x0 ){x0 } (x)(x) U ()) , kusjuures µ = min{, }, kui suurus x0 on l~oplik, ja µ = max{, }, kui x0 on l~opmatu. Definitsioon 3. Kui (x) ja (x) on l~opmata v¨aikesed suurused piirprotsessis x
|a| = -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutv¨a¨artust |a| v~oib t~olgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. ¨ Uldisemalt: punktide a ja b vaheline kaugus arvteljel v~ordub arvuga |a - b|. Absoluutv¨ a¨ artuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | Reaalarvude ja l~ opmatuste u ¨ mbrused. Reaalarvu a u ¨mbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on u ¨mbruse raadius. Arv x kuulub arvu a u¨mbrusesse (a - , a + ) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a v¨aiksem kui , st |x - a| < . N¨aiteks arvu 0 u ¨mbrus on suvaline vahemik (-, ). Arv x kuulub 0-i ¨mbrusesse siis ja ainult siis, kui |x| < . u 2 Reaalarvu a vasakpoolseks u ¨mbruseks nimetatakse suvalist pooll~oiku
|a| = -a kui a < 0. Reaalarvu a absoluutv¨a¨artust |a| v~oib t~olgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. ¨ Uldisemalt: punktide a ja b vaheline kaugus arvteljel v~ordub arvuga |a - b|. Absoluutv¨ a¨ artuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | Reaalarvude ja l~ opmatuste u ¨ mbrused. Reaalarvu a u ¨mbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on u ¨mbruse raadius. Arv x kuulub arvu a u¨mbrusesse (a - , a + ) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a v¨aiksem kui , st |x - a| < . N¨aiteks arvu 0 u ¨mbrus on suvaline vahemik (-, ). Arv x kuulub 0-i u ¨mbrusesse siis ja ainult siis, kui |x| < . 2 Reaalarvu a vasakpoolseks u ¨mbruseks nimetatakse suvalist pooll~oiku
annaabi.ee 
