⃗ a2 , … ,⃗ ak lineaarkombinatsiooniks. Reaalarvud λ 1 , λ2 , … , λ k on lineaarkombinatsiooni kordajad. Triviaalne – kui lineaarkombinatsioon kordajad on võrdsed nulliga λ1= λ2=…=λ k =0 Triviaalne lineaarkombinatsioon esitab alati nullvektori, sest 0⃗
Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. Olgu meil antud n vektorit E1, E2, E3,..., En ja olgu n reaalaru 1, 2, 3, ..., n. vektorite lineaarkombinatsioon 1 E1 + 2 E2 + 3 E3 + ... + n En = 0 (*) Def1 Öeldakse, et vektorid E1, E2, ..., En on lineaarselt sõltuvad, kui võrdsus (*) kehtib vähemalt ühe nullist erineva kordaja k korral. Vektorid on lineaarselt sõltuvad, kui vähemalt ühte neist on võimalik avaldada ülejäänute kaudu ( ülejäänute lineaarkombinatsiooni kaudu). Def2 Öeldakse, et vektorid E1, E2, ..., En on lineaarselt sõltumatud kui võrdus kehtib ainult sel juhul, kui kõik kordajad on samaaegselt nullid 1 = 2 = .... = n = 0 Vektorite lineaarne sõltumatus tähendab seda, et ükski vektoritest ei ole avaldatav ülejäänute kaudu. Ruutvõrrand b>0 : x, y = sama märgiga b<0 : x, y = erineva märgiga b=0 : x = ± a2 + b2 + a /2 y = ± a2 + b2 - a /2 KONTROLL!
+ = . Saime kaks võrdust, mille vasakud pooled on võrdsed. Siis on võrdsed ka nende võrduste paremad pooled, st = . 21. Vektorite lineaarse sõltuvuse ja sõltumatuse mõiste. Olgu V vektorruum üle reaalarvude hulka ning 1, 2,..., m Definitsioon. Mistahes avaldist, millel on kuju kus 1,..., m , nimetatakse vektorite 1, 2,..., m lineaarkombinatsiooniks. Skalaare 1,..., m nimetatakse antud lineaarkombinatsiooni kordajateks. Lineaarkombinatsiooni nimetatakse triviaalseks, kui kõik tema kordajad võrduvad nulliga, s.t 1= 2 = ...= m = 0. Lineaarkombinatsioon on mittetriviaalne, kui vähemalt üks tema kordajatest on nullist erinev, s.t. kui i i = 1, 2, ..., m. Näide: Olgu V geomeetriliste vektorite hulk tasandil ja olgu antud kaks vektorit 1, 2 , mis ei ole paralleelsed. Siis avaldub iga vektor sellel tasandil vektorite 1 ja 2 lineaarse kombinatsioonina. Definitsioon. Vektorite süsteemi 1, 2,..
11 11 11 11 Teise v~orrandiga kontrollitakse lahendit analoogiliselt. 4 Lineaarne s~ oltuvus 4.1 Lineaarkombinatsioonid Vektorite v1 , . . . , vn V lineaarkombinatsiooniks (LK-ks) korda- jatega 1 , . . . , n K nimetatakse avaldist (vektorit) 1 a 1 + · · · + n a n V Selle vektori kohta ¨oeldakse ka, et ta avaldub lineaarselt vektorite v1 , . . . , vn kaudu. Lineaarkombinatsiooni nimetatakse triviaalseks, kui k~oik tema kordajad on nullid. Lineaarkombinatsiooni nimetatakse mittetri- viaalseks, kui tal leidub v¨ahemalt u¨ks nullist erinev kordaja. N¨ aide 1) 1a, 1o, 1o + 0a on mittetriviaalsed LK-d, 2) 0a ja 0o on triviaalsed LK-d. 4.2 Lineaarne s~ oltuvus ja s~ oltumatus Vektoris¨ usteemi (VS-i) {v1 , . . . , vn } nimetatakse lineaarselt s~
11) aset leida ainult siis, kui liga liidetav saab eraldi nullik, s o G^ f k = g f k , m o t t. ^ Esitatud tõestus kehtib juhul, kui operaatoril F ei ole kordseid omaväärtusi. Kõdunud omaolekute korral võib operaatori F^ ühele ja samale omaväärtusele vastavates omafunktsioonides moodustada lineaarkombinatsiooni, mis on operaatori G^ omafunktsiooniks. Teoreem 2: Kui kahel operaatoril on ühine täielik omafunktsioonide süsteem, siis need operaatorid kommuteeruvad. Moodustagu funktsioonid k operaatorite F^ ja G^ ühise täieliku omafunktsioonide süsteemi, s t olgu mistahes olekufunktsioon arendatav ritta = c k k , (26.12) k kusjuures
Tõestada Cauchy-Bunjakovski võrratus. Olgu 𝑎⃗ ja 𝑏⃗⃗ kaks nullvektroist erinevat vektorit. Moodustame nendest ∫𝑥 𝑆(𝑥)𝑑𝑥 = ∑∞ 𝑘=1 ∫𝑥 𝑢𝑘 (𝑥) 0 0 vektoristest lineaarkombinatsiooni 𝑎⃗ + 𝜆𝑏⃗⃗, 𝑘𝑢𝑠 𝜆 on mingi skalaar. Tulemuseks saame uue vektori ja mittenegatiivsuse Järeldus on ilmne, sest kui funktsioonid 𝑢𝑘 (𝑥) k = 1, 2, ... on pidevad lõigul [𝑎; 𝑏], siis on need pidevad ka lõigul [𝑥0 ; 𝑥] ja kui omaduse tõttu (𝑎⃗ + 𝜆𝑏⃗⃗)2 ≥ 0 iga 𝜆∈ 𝑅 korral. Kasutades teisi skalaarkorrutamise omadusi, saame viimase võrratuse teisendada
Olgu 𝑎⃗ ja 𝑏⃗⃗ kaks nullvektroist erinevat vektorit. Moodustame nendest Lause Ortonormeeritud süsteemi {𝜑𝑘 (𝑥)} korral integreeruva ruuduga funktsiooni f(x) Fourier’ rea osasumma 𝑆𝑛 (𝑥) = seosega vektoristest lineaarkombinatsiooni 𝑎⃗ + 𝜆𝑏⃗⃗ , 𝑘𝑢𝑠 𝜆 on mingi skalaar. Tulemuseks saame uue vektori ja mittenegatiivsuse ∑𝑛𝑘=0 𝑎𝑘 𝜑𝑘 (𝑥) kujutab endast funktsiooni f(x) parimat keskmist lähendit võrreldes teiste sama süsteemi järgi x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn) ja korrutamine arvuga αx = (αx1, . . . , αxn) ,kusjuures x = (x1, . . . , xn) , y = (y1, . . . , yn)
Sünteetilised näitajad on algnäitajate süsteemi sõltumatud komponendid. Teisendus toimub komponentanalüüsi meetoditega. Komponentanalüüsi protseduuride kasutamise tulemusena kirjeldatatakse tegurnäitajate Xi lähtesüsteem uute sünteetiliste tegurnäitajate komponendite Fj lineaarkombinatsioonidega. Lineaarkombinatsiooni on seotud algsete tegurnäitajate arv, tegursüsteemi sünteetiliste komponentide arv ja algnäitaja Xi ja komponendi Fj seose tugevuse näitaja. Seose tugevuse näitaja on sisuliselt lineaarse paariskorrelatsiooni kordaja, mis iseloomustab vaadeldava protsessi mingi latentse omaduse Fj ja seda kaudselt iseloomustavate tegurinäitajate Xi seose intensiivsust. Determinatsioonikordaja mõõdab
annaabi.ee 
