koonduvad (hajuvad) samaaegselt Astmerida Astmereaks nimetatakse rida, mille liikmeteks on funktsioonid f n(x)=anxn, kujul a ( n ) ( x-c )n=a ( 0 ) + a ( 1 ) ( x-c)+a ( 2 ) (x-c)2+ ...+a ( m ) (x-c ) m+... n=0 Astmerea Astmerea koonduvusvahemikuks nimetatakse vahemikku (a-R, a+R), kus koonduvusraadius suurus R on koonduvusraadius Astmerea Astmerea koonduvuspiirkonnaks nimetatakse hulka X={x R: rida koonduvuspiirkond a ( n ) ( x-c )n koondub} n=0 Funktsiooni Olgu funktsioon f(x) määratud punkti c R mingis ümbruses. Öeldakse, et arendamine funktsioon f(x) on arendatav astmeritta punktis c, kui leidub astmerida, mis astmereaks
i muutujast x ehk on x funktsioon. Kuna funktsioon ui(x) omandab iga x korral oma määramispiirkonnast ühe kindla reaalarvulise väärtuse, siis muutuja x fikseerimisel saame funktsionaalreast teatud arvrea. Üldiselt on see arvrida erinevate x-de korral erinev. Seega võib ta ühtede x väärtuste korral koonduda ja teiste x väärtuste korral hajuda. Muutuja x nende väärtuste hulka, mille korral funktsionaalrida koondub, nim. selle rea koonduvuspiirkonnaks. 34. Astmerida. S(x)= ai x i =a0+a1x+a2x+.... kus ai on reaalarv i=0 Astmerea koonduvuspiirkond on vahemik, mille keskpunkt 0, st vahemik kujul(-R,R).Arvu R nim astmerea koonduvusraadiuseks.Koondusvusraadiuseks võib olla ükskõik missugune mitteneg arv, k.a. lõpmatus.Kui R=0, on koonduvuspiirkond tühi hulk, st astmerida hajub kõikjal.kui R=lõpmatus, on koonduvuspiirkond kogu reaalarvude hulk R. Nihutatud astmerida:
u1+ u2+...+un+... tingimisi ehk mitteabsoluutselt koonduvaks. Absoluutse koonduvuse mõiste abil formuleeritakse teoreem 39.1. sageli järgmiselt: iga absoluutselt koonduv rida on koonduv rida. 17. Funktsionaalrida, selle koonduvuspiirkond, funktsionaalrea summa: vastavate mõistete definitsioonid. Rida u1+ u2+...+un+... nim. funktsionaalreaks, kui tema liikmed on argumendi x funktsioonid. Argumendi x nende väärtuste hulka, mille puhul funktsionaalrida koondub, nim. selle rea koonduvuspiirkonnaks. On ilmne, et rea koonduvuspiirkonnas on rea summa suuruse x mingi funktsioon. Seetõttu märgitakse funktsionaalrea summat sümboliga s(x).
funktsionaalrida u (x ) koondub punktis n =0 n x summaks S (x ) . Muudel juhtudel öeldakse, et ta hajub punktis x . Funktsionaalrea summa on samuti argumendi x funktsioon. Def. Funktsionaalrea u (x ) n =0 n koonduvuspiirkonnaks ning absoluutse koonduvuse piirkonnaks nimetatakse vastavalt hulki X = u n ( x ) koondub ning A = u n ( x ) koondub . n =0 n =0
41. Astmerida, selle koonduvuspiirkond (*) Selgitada, mis on astmerida, defineerida astmerea koonduvuspiirkond X ja absoluutse koonduvuse piirkond A. Veenduda, et A on nullpunkti suhtes sümmeetriline intervall.: Olgu (a0, a1, a2, . . . ) mingi arvjada. Astmereaks nimetatakse rida kujul või üldisemalt , kus a ∈ R on fikseeritud. Arve ak nimetatakse astmerea kordajateks. Hulka nimetatakse astmerea koonduvuspiirkonnaks ja hulka selle astmerea absoluutse koonduvuse piirkonnaks. Tõestada neid hulki kirjeldav Cauchy-Hadamardi teoreem (teoreem 10.4). Tuua näiteid. 42. Astmerea summa diferentseeruvus. Funktsiooni Taylori rida Teada teoreemi astmerea summa diferentseeruvusest (teoreem 10.5). Astmerea summa s: (−r, r) → R on diferentseeruv funktsioon. Astmerida võib igas punktis x ∈ (−r, r) liikmeti diferentseerida, seejuures (10.5)
k=1 on samuti muutuja x funktsioonid, mis moodustavad funktsionaaljada S1 (x), S2 (x), . . . , Sn (x), . . . (8.13) Definitsioon. Argumendi x v¨a¨artuste hulka X, mille korral osasummade jada (8.13) koondub, st S(x) = lim Sn (x), (8.14) n nimetatakse funktsionaalrea (8.11) koonduvuspiirkonnaks. Sellisel juhul ¨oeldakse, et S(x) on funktsionaalrea (8.11) summa ja kirju- tatakse S(x) = uk (x). k=1 Viimase v~orduse asemel v~oime kirjutada n S(x) = uk (x) + uk (x) k=1 k=n+1 Summas esinevat teist liiget
X := x ∈ R | rida ak xk koondub k=0 ja ( ) ∞ X A := x∈R| ak xk < ∞ , k=0 mida nimetatakse vastavalt astmerea (6.16) koonduvuspiirkonnaks ja absoluutse koonduvuse piirkonnaks. Selge, et {0} ⊆ A ⊆ X. Definitsioon. Astmerea (6.16) koonduvusraadiuseks nimetatakse suurust ( ∞ ) X r = sup |x| ∈ R : ak xk on koonduv . k=0 On selge, et r on alati olemas: kas mittenegatiivne reaalarv või ∞.
annaabi.ee 
