Kuidas arvutada joonintegraale? 21. Green’i valem (mis seose annab Green’i valem?). 22. Joonintegraali rakendusi. 23. Pindintegraalid (Ostrogradski ja Stokes’i valem – mis seosed need valemid annavad?). Kuidas arvutada esimest liiki pindintegraali? 24. Rajade määramine integraalidel. 25. Arvread (definitsioon, lisaks definitsioonid: rea liige, rea üldliige, rea osasumma, rea hajumine ja koondumine, koonduvate ridade omadused). 26. Rea koonduvuseks tarvilik tingimus. 27. Geomeetriline ja harmooniline rida. 28. Positiivsete arvridade koonduvustunnused (Cauchy, D’Alembert, võrdlustunnus, integraaltunnus). 29. Vahelduvate märkidega rea koonduvustunnus (Leibnizi tunnus). 30. Absoluutselt koonduv rida ja tingimisi koonduv rida (definitsioonid, omadused). 31. Funktsionaalrida (definitsioon). 32. Taylori ja Maclaureni read (definitsioon, leidmine). 33
Kui rida ∑ un on koonduv ja c on konstant siis rida ∑ cu n on n=1 n=1 ∞ koonduv ja c ∑ un on koonduv. n=1 Koonduv rida jääb pärast lõpliku arvu liikmete ärajätmist või juurde võtmist koonduvaks Koonduva rea liikmed moodustavad nulljada 27.Rea koonduvuseks tarvilik tingimus on lim un=0 n →∞ 28.Geomeetriline ja harmooniline rida ∞ Geomeetriline rida- ∑ a qn kui q on suurem või võrdne 1ga siis n →0 hajub ja kui on väiksem 1st siis koondub ∞
(arvuga võib läbi korrutada siis koonduvusomadused ei muutu) Lause: Kaks koonduvat rida (u) u n ja n =1 vn =1 n me võime neid liita (vn+un) on samuti koonduv, siis Su+v=Su+Sv Lähteridade summade summa. Tarvilik tingimus arvrea koonduvuseks Teoreem: Kui rida u n koondub, siis tema üldliikme piirväärtus on null. lim u n = 0 n n Järeldus: Kui lim u n 0 , siis arvrida hajub. Tõestus: n Sn=u1+u2+...+un-1+un Sn-1=u1+u2+...+un-1 Un=Sn-Sn-1 lim u n = lim( S n - S n-1 ) = lim S n - lim S n -1 = S - S = 0 n n n nn Vatupidine ei kehti st
arvust b – ε suurem. Kuna jada (xn) on kasvav, siis b − ε < xN ≤ xn ≤ b < b + ε, kui n ≥ N. Seega −ε < xn − b < ε ehk |xn − b| < ε iga n ≥ N korral. Kokkuvõttes saab iga ε > 0 korral valida indeksi N nii, et |x n − b| < ε kõikide n ≥ N puhul, s.t. Analoogiliselt selgub, et tõkestatud kahanev jada (x n) koondub arvuks inf {xn | n ∈ IN} . 34. Koonduvad ja hajuvad arvread. Tarvilik tingimus rea koonduvuseks (*) Defineerida arvrea mõiste ja arvrea koonduvus ning hajuvus: Olgu (uk) mingi arvjada. Avaldist u1 + u2 + u3 + · · · + un + . . . , mida me edaspidi tavaliselt märgime kujul nimetame arvreaks (ehk lühidalt reaks) Kui piirväärtus s on lõplik, siis ütleme, et rida on koonduv (summaks s). Mittekoonduvat rida nimetatakse hajuvaks. Selgitada, miks rea suvalise arvu esimeste liikmete ärajätmine ei mõjuta rea koonduvust või hajuvust (s.t. tõestada lause 9.2).
Näide. Rida n = 1 + 2 + ... + n + ... hajub, sest n =1 n(n + 1) lim S n = lim (1 + 2 + ...n) = lim = . Antud juhul kirjutame S=. n n n 2 2.2. Arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. Teoreem 20. Kui rida (1) koondub, siis nlim u n = 0. See tingimus pole piisav rea (1) koonduvuseks. 1 1 Näiteks rida (harmooniline rida ) hajub, kuigi lim u n = lim = 0. n =1 n n n n 2.3. Rea absoluutne ja tingimisi koonduvus. Rida u n nimetatakse absoluutselt koonduvaks, kui rida u n koondub. n =1 n =1
k . Niisiis, kui real (1) eksisteerib , siis n u k = lim u k k =0 n k =1 Kui real(1) eksisteerib lõplik summa (s.t. tema R ), siis öeldakse, et rida (1) koondub, vastasel korral rida (1) hajub. Arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. Kui rida (1) koondub, siis nlim u n = 0. See tingimus pole piisav rea (1) koonduvuseks. 1 1 Näiteks rida (harmooniline rida ) hajub, kuigi lim u n = lim = 0. n =1 n n n n 23. Arvridade tähtsamad koonduvustunnused (esimene võrdlustunnus, d´Alembert´i tunnus, Cauchy tunnus, Leibnizi tunnus). Arvridade tähtsamad koonduvustunnused. Rida u1 + u 2 + ..
lim fk (x) dx 6= lim fk (x) dx. k→∞ a a k→∞ 6.1.2 Funktsionaaljada ühtlane koonduvus See, kas koonduva funktsionaaljada analüütilised omadused kanduvad üle tema piirfunkt- sioonile või mitte, sõltub selle jada koonduvuse iseloomust, täpsemalt sellest, kui hästi saab piirfunktsiooni f lähendada funktsioonidega fk . ”Heaks” koonduvuseks osutub järgnevalt defineeritav ühtlane koonduvus. Definitsioon. Ütleme, et funktsionaaljada (fk ) koondub funktsiooniks f ühtlaselt hulgas D (converges uniformly, сходится равномерно), kui ∀ε > 0 ∃N = N (ε) ∈ N: k > N ⇒ [|fk (x) − f (x)| < ε iga x ∈ D korral ] . (6.2) Lühidalt kirjutame sel juhul ”fk → f ühtlaselt hulgas D”.
positiivse arvrea korral on piisav selle rea koonduvuseks. Seega päratu integraali ∫1 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 koonduvusest järeldub rea 4. D’Alemberti ja Cauchy tunnused. Näiteid. Minnes piirile n → ∞, saame Besseli võrratuse (f,f)≥ ∑∞ 2
. . k=1 osasummade jada paarisarvuliste indeksitega liikmed S2n = 0, sest nendes osasummades on liidetavaid 1 ja -1 v~ordselt. Osasummade jada paarituarvuliste indeksitega liikmed S2n-1 = 1, sest liidetavaid 1 on u ¨he v~orra rohkem. J¨arelikult osasummade jadal 1, 0, 1, 0, . . . piirv¨aa¨rtus puudub, st rida on hajuv. 8.2 Rea koonduvuseks tarvilik tingimus Oletame, et rida (8.1) koondub ja selle summa on S, st lim Sn = S n Kirjutades n-ndas osasummas viimase liikme eraldi, saame n n-1 Sn = uk = uk + un k=1 k=1 ehk Sn = Sn-1 + un , millest
annaabi.ee 
