ρsinφ Kompleksarvu trigonomeetriline kuju: z=x +iy= ρcosφ+iρsinφ=ρ(cosφ+isinφ) Järeldus: Kaks trigonomeetrilisel kujul esitatud kompleksarvu on võrdsed siis, kui Kompleksarvude moodulid on võrdsed Kompleksarvude argumentide vahe on 2π kordne Kompleksarvule z=ρ(cosφ−isinφ) vastav kaaskompleksarv on ´z =ρ ( cosφ−isinφ )= ρ(cos (−φ ) +isin(−φ)) . TEHTED TRIGONOMEETRILISEL KUJUL Kompleksarvude z 1=ρ 1 (cos φ 1+isin φ2) ja z 2=ρ2 (cos φ2+ isin φ2) korrutis
(5 + 2i ) (5 + 2i )(5 - 2i ) 29 29 29 Kompleksarvu geomeetriline esitus: Kompleksarve ei ole võimalik kujutada ühel teljel nii nagu reaalarve, kuna omab nii reaal- kui ka imaginaarosa (mõlemad reaalarvud). Seega kujutame siis teljestikus (x;y). Nimetame teljestikule vastavat tasandit komplekstasandiks. Telgi vastavalt: Reaaltelg ja (x-telg) Imaginaartelg (y-telg) Kompleksarvu moodul: Kompleksarvule vastava punkti kaugust komplekstasandi nullpunktis nimetame kompleksarvu mooduliks. Punktile P vastava kompleksarvu moodul z = 2 2 + 32 = 13 Ehk üldkujul: kompleksarvu a+bi moodul on z = a2 + b2 Kompleksarvu trigonomeetriline kuju: Kujutagu punkt P kompleksarvu z=a+bi. Avaldame joonisel olevast täisnurksest kolmnurgast a ja b nurga (kompleksarvu argument) ja mooduli kaudu ning asendame algebralisel kujul antud kompleksarvu. Saame: a + bi = r (cos + i sin )
peadiag elemendid on võrdsed ning kõrvaldiag elemendid on vastandarvud nim kompleksarvude hulgaks ning neid nim kompleksarvudeks Arvutustes komplekarvudega tuleb arvestada järgmiste arvutusseadustega: Kehtivad järgmised omadused: Kompleksarvu geomeetriline kuju = kompleksarvu argument/amplituut |a|= r (moodul) Cos = a/b sin = b/a = r (cos + i sin ) kolmpleksarvu a moodul on geomeetriliselt tõlgendatav sellele kompleksarvule vastava punkti kaugusena nullpunktist. Kompleksarvu 5 esitust 1) Algebraline =a+b*i 2) Vektor = (a;b) 3) Maatriks = 4) Trigonomeetriline = r (cos + i sin ) 5) Eksponent = r * e i* Algebralised süsteemid Hulk on määratud, kui on teada eeskiri elementide leidmiseks DEF 1: kui hulgas M on igale kahele kindlas järjekorras võetud elementide paarile ( a ; b )
( ) = ( c2 + d2) = || || = | | Arvu = -c di nimetatakse vastand kompleksarvuks. -= -c +di - vastandkompleksarvu kaaskompleksarv Om1 || = ||= |-| = |-| Om2 ±= ± Om3 = Om4 (/)= / Kompleksarvu kujud. Kompleksarvu saab geomeetriliselt kujutada punktidena tasandil, kus on fikseeritud Carteesiuse ristkoordinaadistik. 1. Algebraline kuju = a + bi 2. Kompleksarvu moodulit saab geomeetriliselt tõlgendada sellele kompleksarvule vastava punkti kaugusena teljestiku algpunktidest. || = r a/r = cos b/r = sin = r ( cos + i sin) trigonomeetriline kuju 3. Eksponentsiaalne kuju = r ei 4. Maatrikskuju a -b = b a 5. Vektorkuju = (a ; b) (cos + i sin)n = cosn + i sinn Maatriksi astak Def1 Maatriksi astakuks nimetatakse tema nullist erinevate miinorite kõrgemat järku. Astaku mõistele tugineb üldise l.v.s lahendamise küsimus
ratsionaalarvude hulga 9. Irratsionaalarv- Lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud 10. Reaalarvude hulk- Irratsionaalarvud koos ratsionaalarvudega moodustavad reaalarvude hulga. 11. Kompleksarv- Arve kujul a+ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik, nimetatakse kompleksarvudeks. Kõikide kompleksarvude hulka tähistatakse sümboliga C 12. Kompleksarvu moodul- · Kompleksarvule vastava punkti kaugust komplekstasandi nullpunktis nimetame kompleksarvu mooduliks z = 2 2 + 32 = 13 · Punktile P vastava kompleksarvu moodul · Ehk üldkujul: kompleksarvu a+bi moodul on z = a 2 + b2 13. Kompleksarvu geomeetriline esitus- · Kujutada ühel teljel pole võimalik, kuna omab nii reaal- kui ka imaginaarosa (mõlemad reaalarvud)
kompleksarvud on kujutatud parempoolsel joonisel). 834. Korruta. On ilmne, et antud koordinaatteljestiku ja pikkusühiku puhul vastab tasandi igale a) (1 + 2 3 i)(2 - 3 3 i) b) 2i(1 - 3 i)(1 + 3 i) punktile üks ja ainult üks kompleksarv, ja vastupidi - igale kompleksarvule vastab üks c) (6 - 7i)(5 + i)(3 - 5i) d) 2i(7 + 10i)(2 - 4i) ja ainult üks tasandi punkt. e) (2 - 3i)(-1 - i)(3 + 4i) f) (5 + 4i)(-2 - i)(5 - 4i)(-2 + i) Tutvume veel ühe olulise mõistega. Selleks on kompleksarvu moodul. Paneme tähele, et lõik koordinaatide alguspunktist antud kompleksarvuni a + bi on täisnurkse 835
Selleks korrutame liikmeti läbi ja arvestame võrdust 1: Enne kompleksarvude jagatise defineerimist defineerime kaaskompleksarvu mõiste. Definitsioon. Kompleksarvu z = a+ib kaaskompleksarvuks nimetatakse arvu . Kaaskompleksarvude omadused: Kompleksarvude jagatise leidmisel korrutakse ja jagatakse nimetaja kaaskompleksarvuga: Kompleksarve saab kujutada geomeetriliselt komplekstasandil, seejuures x-telg on reaaltelg, y-telg on imaginaartelg. Kompleksarvule z = a + bi seame vastavusse () punkti A(a, b) ning kohavektori = (a, b) ; s.t. z = a + bi , = (a, b). Niisiis geomeetriliselt kompleksarv z = a + bi näeb välja selliselt: Sellist tasandit, millel on kujutatud kompleksarvud, nimetatakse komplekstasandiks. Vaatleme, kuidas saab geomeetirliselt tõlgendada kaaskompleksarvu mõiste ning algebralised tehed kompleksarvudega.
Definitsioon 15.2 Kompleksarvuks nimetatakse avaldist z = a + b · i, (15.1) kus a ja b on reaalarvud ning i on imaginaarühik. Definitsioon 15.3 Seejuures nimetatakse arvu a kompleksarvu z = a + b i reaalosaks (a = Re(z)), arvu b kompleksarvu z imaginaarosaks (b = Im(z)). Arve b i nimetatakse imaginaararvudeks. Kõigi kompleksarvude hulka tähistame sümboliga C. Märkus 15.1 Igale kompleksarvule z = a + b i vastab üks-üheselt reaalarvude järjestatud paar (a, b), millele omakorda vastab üks-üheselt xy-tasandi punkt A = (a, b). Seega võime kõiki kompleksarve kujutada punktidena koordinaattasandil. Sellist tasandit nimetatakse komplekstasandiks ehk ka Argand'i tasandiks ja joonist selle peal Argand'i diagrammiks. Punkti A (ka tema kohavektorit OA) nimetatakse kompleksarvu z = a + b i geomeetriliseks kujutiseks. Seejuures x-telge nimetatakse reaal-
annaabi.ee 
