Siinuse Teoreem ja Kolmnurga pindala kahe külje ja nendevahelise nurga järgi . R- kolmnurga ümberringjoone raadius Piirdenurk- on kõõlude vaheline nurk, mille tipp on ringjoon. Piirdenurk võrdub poolega samale haarale toetuvast kesknurgast. Kesknurk- on raadiuste vaheline nurk, sest toetub : Sin(a)=a/2R : kaks külge ja ühe külje vastasnurk! a/sin(a)=2R : kaks nurka ja ühe nurga vastas külg! Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega. Siinusteoreemi abil saame lahendada kolmnurki kui on antud: 1. Kaks nurka ja üks külg. 2. Kaks külge ja on antud ühe külje vastasnurk. Kolmnurk Kolmnurga pindala võrdub kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse poole korrutisega:
Kesknurgaks nimetatakse ringi kahe raadiuse vahelist nurka. Sektori kaare AB kohta öeldakse, et kesknurk toetub sellele kaarele. Kaarekraad Ringjoone kaht punkti ühendavat lõiku nimetatakse kõõluks. Pikim kõõl on ringjoone diameeter. Ringjoone punktist tõmmatud kahe kõõlu vahelist nurka nimetataks piirdenurgaks. Kõõlude teiste otspunktide vahelise kaare BC kohta öeldakse, et piirdenurk toetub sellele kaarele. TEOPiirdenurk on pool temaga samale kaarele toetuvast kesknurgast. TTKõik ühele ja samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. Poolringjoonele (või diameetrile) toetuv piirdenurk on täisnurk. Kaks täisnurkset kolmnurka on võrdsed, kui ühe kolmnurga hüpotenuus ja kaatet on vastavalt võrdsed teise kolmnurga hüpotenuusi ja kaatetiga. Sirget, millel on ringjoonega ainult üks ühine punkt, nimetatakse ringjoone puutujaks. Puutuja ja ringjoone ühist punkti nimetatakse puutepunktiks. TEORingjoone puutuja on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega.
1 Mis on kõõl? Tee selgitav joonis. Kõõluks nimetatakse ringjoone kaht punkti ühendavat lõiku. Pikim kõõl on ringjoone diameeter. 1Mis on kesknurk? Tee selgitav joonis. Kesknurgaks nimetatakse ringjoone kahe raadiuse vahelist nurka. 1Mis on piirdenurk? Tee selgitav joonis. Piirdenurgaks nimetatakse ringjoone tipust tõmmatud kahe kõõlu vahelist nurka. 1Sõnasta teoreem piirdenurgast. Piirdenurk on pool temaga samale kaarele toetuvast kesknurgast. 1Mis on korrapärane hulknurk? Korrapäraseks hulknurgaks nimetatakse hulknurka, mille kõik küljed ja nurgad on võrdsed. 1Mis on korrapärase hulknurga apoteem? Tee selgitav joonis. Korrapärase hulknurga apoteem on selle hulknurga siseringjoone raadius. 1Mis on arvu ruutjuur? Ruutjuureks antud positiivsest arvust nimetatakse niisugust arvu, mille ruut võrdub antud arvuga. 1Mis on ruutvõrrand? Ruutvõrrand on võrrand ax2+bx+c=0, kus a on antud arvuna ja ei võrdu 0.
jääb kõõlude teiste otspunktide vahele; 100°:2=50° suurus=kaar kraadides:2 või samale kaarele Kui suur on kaar, millele toetub piirdenurk toetuv kesknurk:2; kõik samale kaarele 80°? toetuvad piirdenurgad (tipp asub erinevalt) on 2 80°=160° võrdsed vaata lk.177 NB piirdenurga 90° kohta kehtib Thalese teoreem 4.Piirdenurga omadus - teoreem: piirdenurk Ül.1078 on pool temaga samale kaarele toetuvast 1.joonis kesknurgast; tõestus tuleb esitada kolmes antud: piirdenurk kui võrdhaarse kolmnurga osas vastavalt sellele, kas ringi keskpunkt on alusnurk 70°, leida nurgad n,p,q,r o piirdenurga ühel haaral, piirdenurga sees või n=70 võrdhaarse kolmnurga alusnurk o o o väljaspool p=180 -70 2=40 võrdhaarse kolmnurga
51. Kolmnurga mediaaniks nimetatakse lõiku, mis ühendab kolmnurga tipu selle vastaskülje keskpunktiga. 52. Mediaanide lõikepunkt jaotab iga mediaani suhtes 2:1 . 53. Iga mediaan jaotab kolmnurga kaheks pindalalt võrdseks ehk pindvõrdseks kolmnurgaks. 54. Kesknurgaks nimetatakse ringi kahe raadiuse vahelist nurka. 55. Piirdenurgaks nimetatakse ringoone punktist tõmmatud kahe kõõlu vahelist nurka. 56. Piirdenurk võrdub poolega temaga samale kaarele toetuvast kesknurgast. 57. Kõik samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. 58. (Thalese teoreem)Poolringjoonele toetuv piirdenurk on täisnurk. 59.Kolmnurga siseringjoone pindala leidmine S=3,14 x r² P=a+b+c : 2 S=p x r
nimetatakse ringiks. Sektoriks nimetatakse ringi osa, mida piiravad ringi kaks raadiust ja nende otspunktide vahel asetsev ringjoone kaar Nurka, mille tipp asetseb ringi keskpunktis (haaradeks on ringi raadiused), nimetatakse kesknurgaks.(nurk AOC) Nurka, mille tipp asetseb ringjoonel ja haaradeks on kõõlud (ringjoone lõikajad), nimetatakse piirdenurgaks.(nurkABC) Piirdenurk võrdub poolega samale kaarele toetuvast kesknurgast. Ringjoone lõikajaks nimetatakse sirget, millel on ringjoonega kaks ühist punkti. Ringjoone puutujal on ringjoonega üks ühine punkt .Puutuja on risti puutepunkti joonestatud raadiusega. Kui väljaspool ringjoont võetud punktist joonestada puutujad, siis selle punkti kaugused puutepunktidest on võrdsed. Ringjoone pikkus C = 2r = d Ringjoone kaare pikkus l, mis vastab kesknurgale (kraadides), avaldub valemina r l= 180 o d 2 Ringi pindala S = r 2 =
nimetatakse ringiks. Sektoriks nimetatakse ringi osa, mida piiravad ringi kaks raadiust ja nende otspunktide vahel asetsev ringjoone kaar Nurka, mille tipp asetseb ringi keskpunktis (haaradeks on ringi raadiused), nimetatakse kesknurgaks.(nurk AOC) Nurka, mille tipp asetseb ringjoonel ja haaradeks on kõõlud (ringjoone lõikajad), nimetatakse piirdenurgaks.(nurkABC) Piirdenurk võrdub poolega samale kaarele toetuvast kesknurgast. Ringjoone lõikajaks nimetatakse sirget, millel on ringjoonega kaks ühist punkti. Ringjoone puutujal on ringjoonega üks ühine punkt .Puutuja on risti puutepunkti joonestatud raadiusega. Kui väljaspool ringjoont võetud punktist joonestada puutujad, siis selle punkti kaugused puutepunktidest on võrdsed. Ringjoone pikkus C 2r d Ringjoone kaare pikkus l, mis vastab kesknurgale (kraadides), avaldub valemina r l 180 o d 2
nimetatakse mediaanide lõikepunktiks. 34.Kõrvunurgad(Näide31) Tippnurgad-võrdsed(Näide32) Lähisnurgad-asuvad kõrvuti ühel ja samal sirgel(Näide 33) Põiknurgad-asuvad ühel ja samal sirgel aga mitte kõrvuti(Näide34) 35.Kesknurk on ringjoone kahe raadiuse vaheline nurk. Ringjoone punktist tõmmatud kahe kõõlu vahelist nurka nim.piirdenurgaks.(Näide 35) Kõik ühele ja samale kaarele ulatatavad piirdenurgad on võrdsed Piirdenurk on pool temaga samale kaarele toetavast kesknurgast 36. Ringjoone pikkuse saab arvutada valemiga: C=2· ·r Ringi pindala saame arvutada valemiga S = · r2 37.sirgel millel on ringjoonega ainult üks ühine punkt nim.puutujaks.(Näide36) 38. Hulknurka, millel on võrdsed küljed ja võrdsed nurgad, nimetatakse korrapäraseks hulknurgaks.(Näide37) Korrapärase hulknurga ümbermõõt võrdub külgede arvu n ja küljepikkuse a korrutisega P=an P1/P2=K Korrapärase hulknurga pindala võrdub poole ümbermõõdu ja apoteemi korrutisega S1/S2=K2
180 r l 1 2 Sektori pindala: S= = r x 2 2 r 2 S= 360 Piirdenurk on ringjoone mingist punktist lähtuva kahe kõõlu vaheline nurk, mis toetub nurga haarade vahele jäävale kaarele. Kesknurk on ringjoone keskpunktist tõmmatud kahe raadiuse vaheline nurk, mis toetub kaarele. Piirdenurk võrdub poolega samale kaarele toetuvast kesknurgast. Ühele ja samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. Diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk. NURGAD Kahe sirge lõikamisel tekkinud kõrvunurkade summa on 180° ning tippnurgad on võrdsed. Kaks sirget on paralleelsed parajasti siis, kui nende lõikamisel kolmanda sirgega tekkinud · Kaasnurgad on võrdsed · Põiknurgad on võrdsed · Lähisnurkade summa on 180° KIIRTETEOREEM: kui nurga haarasid lõigata paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral
34. Ringjoone kaar. * Ringjoone osa tema kahe punkti vahel koos nende punktidega nimetatakse ringjoone kaareks. 35. Ringjoone kl. * Ringi kl on ringlik , mis hendab kaht ringjoone punkti. 36. Ringi sektor. * Mingit osa ringist nimetatakse ringi sektoriks. (Tisprde suurus on 380kraadi). 37. Piirdenurk. * Nurga ringjoone hise otspunktiga klude vahel nimetatakse piirdenurgaks. 38. Teoreem piirdenurgast. * Piirdenurk on pool samale kaarele toetuvast kesknurgast. 39.Ringjoone puutuja. Tee joonis. * Ringjoone puutujaks nimetatakse sirget , millel on ks ja ainult ks hine punkt ringjoonega. 40 .Kolmnurga mberringjoone keskpunkt. * Ringjoont, mis lbib kolmnurga tippe nimetatakse kolmnurga mberringjooneks. 41. Kolmnurga siseringjoone keskpunkt . * Ringjoont, mille keskpunktiks on kolmnurga nurgapoolitajate likepunkt ja raadiuseks selle punkti kaugus kolmnurga kljest , nimetatakse kolmnurga sirgjooneks. 42. Korraprane hulknurk.
Ringjoone kõõluks nimetatakse lõiku, mis ühendab ringjoone kaht punkti. Kõige pikem kõõl on diameeter. 36.Ringi sektor Ringi sektoriks nimetatakse ringi osa, mis jääb kesknurga haarade vahele. OA ja OB ning kaar AB eraldavad ringist osa, mida nimetatakse ringi sektoriks. 37.Piirdenurk Piirdenurgaks nimetatakse nurka, mille tipp asetseb ringjoonel ja haarad lõikavad ringjoont. Samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. Piirdenurk võrdub poolega samale kaarele toetuvast kesknurgast. 38.Teoreem piirdenurgast Ringjoone diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk. ABC on piirdenurk. 39.Ringjoone puutuja Ringjoone puutujaks nimetatakse sirget millel on ringjoonega üks ühine punkt. Puutepunkti tõmmatud raadius on risti puutujaga. Lõik A on ringjoone puutuja. 40.Kolmnurga ümberringjoone keskpunkt Kolmnurga kõigi külgede keskristsirged lõikuvad ühes punktis, mis ongi kolmnurga ümberringjoone keskpunkt. 41.Kolmnurga siseringjoone keskpunkt
55. Ordinaattelg y telg 56. Paarisarv kahega jaguv täisarv. 57. Paaritu arv täisarv, mis ei jagu kahega . 58. Parabool ruutfunktsiooni graafik. 59. Paralleelsus erinevate sirgete omadus olla ühe ja sama sihiga. 60. Perioodiline kümnendmurd kümnendmurd, mille murdosa mingist kindlast kohast alates teatav numbrite rühm lõpmatult kordub. 61. Piirdenurk nurk ringjoone ühise otspunktiga kõõlude vahel. Piirdenurk võrdub poolega samale kaarele toetuvast kesknurgast. 62. Prisma hulktahukas, mille kaks tahku on vastavalt paralleelsete ja võrdsete külgedega hulknurgad ning ülejäänud tahud rööpkülikud, millel on kummagi hulknurgaga üks ühine külg. 63. Pöördarvud kaks arvu, mille korrutis võrdub ühega. 64. Pöördkeha keha, mis tekib tasandilise kujundi pöörlemisel mingi fikseeritud sirge, nn. telje ümber. 65. Pöördteoreem antud teoreemist p -> q eelduse ja väite vahetamisel saadav teoreem q -> p. 66
jääb kõõlude teiste otspunktide vahele; 100°:2=50° suurus=kaar kraadides:2 või samale kaarele Kui suur on kaar, millele toetub piirdenurk toetuv kesknurk:2; kõik samale kaarele 80°? toetuvad piirdenurgad (tipp asub erinevalt) on 2 80°=160° võrdsed vaata lk.177 NB piirdenurga 90° kohta kehtib Thalese teoreem 4.Piirdenurga omadus - teoreem: piirdenurk Ül.1078 on pool temaga samale kaarele toetuvast 1.joonis kesknurgast; tõestus tuleb esitada kolmes antud: piirdenurk kui võrdhaarse kolmnurga osas vastavalt sellele, kas ringi keskpunkt on alusnurk 70°, leida nurgad n,p,q,r o piirdenurga ühel haaral, piirdenurga sees või n=70 võrdhaarse kolmnurga alusnurk o o o väljaspool p=180 -70 2=40 võrdhaarse kolmnurga
· Alati ei ole teoreemid sõnastatud klassikalisel kujul. Ka siis tuleb osata eeldust ja väidet pakutud sõnastuses leida · Nulliga lõppev täisarv jagub kümnega. · Rööpküliku vastasnurgad on võrdsed. · Võrdhaarse kolmnurga alusele joonistatud mediaan on ühtlasi selle kolmnurga kõrguseks. · Piirdenurk on pool samale kaarele toetuvast kesknurgast. · Kõõlnelinurga vastasnurkade summa on 1800 · Diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk 41. Pöördlause ja pöördteoreem- · Kui täisarv lõpeb kahega, siis see arv jagub kahega. · Vahetame eelduse ja väite: · Kui täisarv jagub kahega, siis see arv lõpeb kahega. · Lauset, mis saadakse eelduse ja väite vahetamisel antud lauses, nimetatakse selle lause pöördlauseks.
annaabi.ee 
