a + b Mõlema lõpmatu rajaga päratu integraal f( x) dx = alim- f( x) dx - b + a B) PÄRATUD INTEGRAALID KATKEVAST FUNKTSIOONIST Olgu funktsioon f(x) määratud ja pidev, kui a x < b ja määramata või katkev, kui x = b b Sel juhul ei saa rääkida integraalist f ( x ) dx a kui integraalsummade piirväärtusest, sest f(x) ei ole
- a - f ( x ) dx a + b Mõlema lõpmatu rajaga päratu integraal f( x) dx = alim- f( x) dx - b + a B) PÄRATUD INTEGRAALID KATKEVAST FUNKTSIOONIST Olgu funktsioon f(x) määratud ja pidev, kui a x < b ja määramata või katkev, kui x = b b Sel juhul ei saa rääkida integraalist f ( x ) dx a kui integraalsummade piirväärtusest, sest f(x) ei ole pidev lõigul [a, b ] ja see piirväärtus võib puududa.
Iga korral. Saamaks sellest tuleb c-d lähendada b-le d.i.2. Olgu funktsioon f pide poollõigul (a,b] ja olgu a selle funktsiooni katkevuspunkt. Siis on f pidev kõigil lõikudel [c,b], kus . Seda defineerime järgmise parempoolse piirväärtusega Kui päratu integraal katkevast funktsioonist eksisteerib ja on lõplik siis ta koondub, vastasel juhul hajub. 21. Tuletada joonte y=f1(x) ja fz(x) vahel asuva kujundi pindala valem. a. Vaatleme tasandilist kujundit D, mis on alt piiratud joonega ja ülalt joonega , kusjuutes . Näitame, et S (D pindala) saame esitada ja vahe integraalina Tõestuseks nihutame D ülespoole x-telge. Selleks leiame sellise positiivse arvu C, mille korral kehtib võrratus
18. Leida käsitsi integraal ? mathcadiga: 19. Leida käsitsi integraal ? Mathcadiga: : 20. Leida käsitsi integraal ? mathcadiga: OSA 10 1. Defineerige lõpmatute rajadega päratu integraal! Esitage arvutusnäide! Piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x) päratuks integraliks, mida tähistatakse . See eksisteerib iga x korral, mis rahuldab tingimust . 2. Defineerida integraal katkevast funktsioonist! Esitage arvutusnäide! 3. Leida käsitsi ! mathcadiga: 4. Leida käsitsi ! mathcadiga: 5. Millal päratu integraal hajub? Esitage näide! Päratu integraal hajub, kui ei oma lõplikku väärtust. 6. Millal päratu integraal koondub? Esitage näide! Päratu integraal koondub, kui omab lõplikku väärtust. 7. Koostada üks ristkülikvalem ja kasutada seda integraali arvutamisel! 8
1. Olgu funktsioon f pidev poollõigul [a,b) ja b on selle funktsiooni katkevuspunkt. Siis on funktsioon f pidev kõigil lõikudel [a,c], kus c on a ja b vahel st Iga korral. Saamaks sellest tuleb c-d lähendada b-le 2. Olgu funktsioon f pide poollõigul (a,b] ja olgu a selle funktsiooni katkevuspunkt. Siis on f pidev kõigil lõikudel [c,b], kus . Seda defineerime järgmise parempoolse piirväärtusega Kui päratu integraal katkevast funktsioonist eksisteerib ja on lõplik siis ta koondub, vastasel juhul hajub. 43. Tuletada joonte ja vahel asuva kujundi pindala valem Vaatleme tasandilist kujundit D, mis on alt piiratud joonega ja ülalt joonega , kusjuutes . Näitame, et S (D pindala) saame esitada ja vahe integraalina Tõestuseks nihutame D ülespoole x-telge. Selleks leiame sellise positiivse arvu C, mille korral kehtib võrratus ning Olgu joonte ja vahel paiknev kujund
12.4 Integraalide rakendusi statistikas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 12.5 Euler'i integraalid * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 12.6 Irratsionaalfunktsioonide integreerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 12.7 Trigonomeetriliste funktsioonide integreerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Kontrolltöö teemad 1. Lõpmatute rajadega integraal. 2. Integraal katkevast funktsioonist. 3. Päratute integraalide koondumine ja hajumine. Eksamiteemad 1. Lõpmatute rajadega integraal. 2. Integraal katkevast funktsioonist. 3. Millal nimetatakse päratut integraali koonduvaks ja millal hajuvaks? PEATÜKK 12. PÄRATUD INTEGRAALID JA NENDE RAKENDUSED 12.1 Päratud integraalid .12.2 Lõpmatute rajadega integraalid Definitsioon 12.1 M
vuspunkt. Siis on f pidev k~oigil l~oikudel [c, b], kus c (a, b). P¨aratu b integraal a f (x)dx defineeritakse j¨argmise parempoolse piirv¨a¨artusega: b b f (x)dx = lim+ f (x)dx . a ca c Kui p¨aratu integraal katkevast funktsioonist eksisteerib ja on l~oplik, siis ¨oeldakse, et ta koondub. Vastasel juhul ¨oeldakse, et p¨aratu integraal hajub. 1 dx N¨aited. 1. Arvutame integraali 0 x . Integreeritav funktsioon 1x on pidev pool~oigul (0, 1] ja katkev punktis x = 0. Seega definitsiooni kohaselt 1 dx 1
vuspunkt. Siis on f pidev k~oigil l~oikudel [c, b], kus c (a, b). P¨aratu b integraal a f (x)dx defineeritakse j¨argmise parempoolse piirv¨a¨artusega: b b f (x)dx = lim+ f (x)dx . a ca c Kui p¨aratu integraal katkevast funktsioonist eksisteerib ja on l~oplik, siis ¨oeldakse, et ta koondub. Vastasel juhul ¨oeldakse, et p¨aratu integraal hajub. dx 1 N¨ aited. 1. Arvutame integraali 0 x . Integreeritav funktsioon 1x on pidev pool~oigul (0, 1] ja katkev punktis x = 0. Seega definitsiooni kohaselt 1 1
annaabi.ee 
