18. Sfäärkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kolmekordse integraali teisendamine sfäärkoordinaatidesse. Kolmekordse integraali teisendamine sfäärkoordinaatidesse. 19. Defineerida esimest liiki joonintegraal. 20. Esimest liiki joonintegraali rakendusi. 1. Saab arvutada joone L pikkuse: ehk 2. Kui L on materiaalne joon pideva joontihedusega (P), siis selle joone mass avaldub esimest liiki joonintegraaliga. 21. Esimest liiki joonintegraali omadusi. 1) [F1 (P) + F2(P)]dL= F1(P)dL + F2(P)dL L L L 2) C F (P)dL = C F(P) kus C on konstant L L 3) Olgu joone otspunktid M ja N. Peale selle olgu Q mingi kolmas punkt sellel joonel. Tähistame L1-ga on joone osa, mis jääb punktide M ja Q vahele ning L 2-ga on joone osa, mis jääb punktide Q ja N vahele
Definitsioon Võrrandi y’= f (x; y) üldlahendiks piirkonnas D nimetatakse suvalisest konstandist C sõltuvat lahendit y = y(x; C), mis rahuldab tingimust: iga punkti (x0; y0) ϵ D korral leidub konstandi C selline väärtus C0, et lahend y = y (x; C0) rahuldab algtingimust y(x0) = y0. Definitsioon Võrrandi y’ = f (x; y) erilahendiks nimetatakse lahendit, mis saadakse üldlahendist konstandi C fikseerimisega. 8.Eksaktne diferentsiaalvõrrand. Seos teist liiki joonintegraaliga. Olgu meil sümmeetrilisel kujul diferentsiaalvõrrand M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 loomuliku eeldusega funktsioonide ühelisidusas määramispiirkonnas D. Lause: Rahuldagu funktsioonid M ja N ühelisidusas piirkonnas D järgmisi tingimusi: M, N, , Є C(D) Siis leidub selline funktsioon F(x,y), mille täisdiferentsiaal dF(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy piirkonnas D. Lause: Rahuldagu funktsioonid M ja N ühelisidusas piirkonnas D järgmisi tingimusi:
Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus? Jõu elementaartööks nimetatakse skalaarset suurust, mis võrdub jõu ja selle rakenduspunkti elementaarsiirde skalaarkorrutisega dW = Fds cos dW= F dr Siin on võrrandi vasakul poolel töö W asemel diferentsiaal dW, sest lõpmata väikesel teeosal tehakse ju ka lõpmata vähe tööd. 89. Panna kirja 3 üldist valemit jõu töö arvutamiseks (integraalide abil). 1. Jõu F töö on võrdne joonintegraaliga üle jõu rakenduspunkti poolt läbitud joone alguspunktist A 1 lõpp-punktini A2 avaldisest F cos ds . = ( 1, 2) 2. = 3. = ( ++) 90. Kuidas arvutada jõu tööd üldjuhul, kui jõud on muutuv suurus ja ta rakenduspunkt läbib kõverjoonelise trajektoori? 1. Jõu F töö on võrdne joonintegraaliga üle jõu rakenduspunkti poolt läbitud joone alguspunktist A 1 lõpp-punktini A2 avaldisest F cos ds . = ( 1, 2) 91. Kuidas arvutada momendi tööd?
NB! Def Arvutamine: kahekordse integraali abil 8 f ( x, y, z )dxdy = f ( x, y, z( x, y))dxdy xy Seoseid pindintegraalide ja teiste integraalide vahel Kolmekordse int-ga: Xdydz + Ydzdx + Zdxdy = ( X x + Y y + Z z )dxdydz - Gauss-Ostrogradri D valem. Kui rajajoon, siis seos joonintegraaliga: Stokasi valem: (Z y - Yz )dydz + ( X z - Z x )dxdz + (Yx - X y )dxdy = Xdx + Ydy + Zdz +L +L sõltub int pinna poolest. Kui xy-tasandil, siis z=0 ja Stokasi valem taandub Greeni valemiks. Arvridade teooria põhimõisteid Vaateleme reaalarvudest mood lõpmatut jada u1+ u2+ ... +un+... = u n nim lõpmatuks
Siis läbi iga punkti Sfäärkoordinaadid: (x0,y0) C D kulgeb parajasti üks diferentsiaalvõrrandi y' = f(x,y) integraalkõver. x = cos sin y = sin sin Eksaktne diferentsiaalvõrrand. Seos teist liiki joonintegraaliga. z = cos Olgu meil sümmeetrilisel kujul diferentsiaalvõrrand M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 loomuliku eeldusega M2(x,y) + N2(x,y) <> 0 x2 + y2 + z2 = 2 funktsioonide ühelisidusas määramispiirkonnas D.
vahelist nurka. Sirgliikumise ning muutumatu jõu korral saab tööd arvutada vektorite skalaarkorrutisena: . Kõverjoonelisel liikumisel või muutuva jõu korral kehtib töö valem lõpmata väikesel nihkel . Pikema liikumise korral tuleb töö leidmiseks võtta integraal: . Kuna tegu on joonintegraaliga (integreerimine toimub pikki joont punktist a punktini b), ei tohi sulge avada. Et seda integraali arvutada, tuleb kõik integraali all olevad muutujad anda liikumisvõrrandi abil aja funktsioonidena, taandades integraali tavaliseks ühemõõtmeliseks (määratud) integraaliks. Sellekks tuleb iga ajahetke jaoks leida keha asukoht (liikumisvõrrandist) ja jõu valemist
2 2 kus inertsmoment tuleb arvutada masskest C läbiva ja vaadeldava tasapinnaga ristuva telje z suhtes. III. Jõu töö arvutamine üldjuhul on kaunis keeruline. Kui jõud on muutuv suurus nii suuruselt kui suunalt, ja tema rakenduspunkt läbib suvalise kõverjoonelise trajektoori, siis: Jõu töö lõplikul teekonnal on võrdne joonintegraaliga üle jõu rakenduspunkti poolt läbitud joone avaldisest P1 a) W = F dr P0 (7a) P1 b) W = F cos ds P0 (7b)
(x, y) = 0 11. Eksaktne diferentsiaalvõrrand. Seos teist liiki joonintegraaliga. Olgu meil sümmeetrilisel kujul saavutatakse Lagrange’i funktsiooni F(x, y, λ) statsionaarsetes punktides.Järelikult tuleb punkte (x, y), kus f diferentsiaalvõrrand M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 loomuliku eeldusega
annaabi.ee 
