Üleminek y y u v ristkoordinaatidelt polaarkoordinaatidele on üks enamlevinud juhtum muutujate vahetusest kahekordses integraalis. Sel juhul u = ja v = : x = cos , y = sin . Leiame ristkoordinaatide x ja y polaarkoordinaatideks ja x x teisendamise jakobiaani: v = - sin cos = - sin 2 - cos 2 = - Järelikult I= u y y cos sin u v 2 ( ) 2 2 ( )
polaarkaugus ja -polaarnurk. Ristkoordinaadid avalduvad polaarkoordinaatide kaudu järgmiste seostega: x=a + cos , y=b + sin Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse: Vaatleme ristkoordinaatides x ja y antud kahekordse integraali D (x,y)dxdy teisendamist polaarkoordinaatidesse ja . Olgu hulgas D paiknevatele punktidele (x,y) vastavate polaarkoodniaatide (,) hulk D`. Muutuja vahetuse teostamiseks peame arvutama jakobiaani J(, ). Kasutades ülaltooduid avaldisi x ja y jaoks saame: J(,)= x '(, ) x '(, ) = cos - sin = cos2 + sin2 = y '(, ) y '(, ) sin cos Muutuja vahetuse esimeses valemis esineb jakobiaani (J) absoluutväärtus. Kuna polaarkaugus on mittenegatiivne , siis J(, )== . Järelikult (x,y)dxdy= (a + cos , b + sin ) d d D D 10
dif.võrrandi üldkuju p(x,y,z)u'x+q(x,y,z)u'y+k(x,y,z)u'z=f(x) Teoreem vektorsüsteemi lineaarse sõltuvuse kohta: Arvrea koondumise tarvilik tingimus: Geomeetrilise rea koonduvus: Täisdiferentsiaali valemi tuletamine Liitfunktsiooni osatuletiste valemite tuletamine: Teoreem ilmutamata funktsiooni tuletise kohta: Kahekordse integraali omadused (ühe tõestamine) Üleminek sfäärilistele koordinaatidele, jakobiaani leidmine Teist järku lineaarne homogeenne konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrand: Teist järku lineaarse mittehomogeense konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrandi erilahendi leidmine üldkujul, kui f(x) on polünoom: Teist järku lineaarse mittehomogeense konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrandi erilahendi leidmine üldkujul, kui f(x) on trigonomeetriline funktsioon: Teist järku lineaarse mittehomogeense diferentsiaalvõrrandi erilahendi otsimine
x1 = 0 x1 = 8 Punkt I Punkt II x2 = 0 x = 1 2 2 70 f1 f1 x x2 - 2 2 x2 2. Leiame jakobiaani üldkujul: A= 1 = f 2 f 2 1 - 3 x22 x1 x2 3. Leiame jakobiaani väärtuse esimeses tasakaalupunktis: - 2 2 x 2 x1 = 0 - 2 0 AI = 2 = 1 - 3 x 2 x 2 = 0 1 0 4
4.): J See valem (21.4.) võimaldab kahekordse integraali arvutamist üle piirkonna D taandada integraali arvutamise üle piirkonna D', mis võib osutuda lihtsamaks ülesandeks. Kahekordne integraal polaarkoordinaatides. Üleminek ristkoordinaatidelt polaarkoordinaatidele on erijuhtum muutujate vahetusest kahekordses integraalis. Sel juhul u=r ja v=: Arvutame ristkoordinaatide x-i ja y-i polaarkoordinaatideks r ja teisendamise jakobiaani: J Järelikult . Üleminekut polaarkoordinaatidele on mõistlik kasutada juhtudel, kus funktsioon f(x,y) on kujul f(x 2+y2) või piirkond D on ring või selle teatud osa. 5. Kolmekordne integraal: põhjalik selgitus (vastava piirkonna jaotus, integraalsumma jne). Olgu ruumis antud mingi piirkond V, mis on piiratud kinnise pinnaga S. Olgu piirkonnas V ja selle pinnal defineeritud mingi pidev funktsioon z=f(x,y,z)
Teoreem: kui funktsioon w=f(x,y) on pidev kinnises piirkonnas D(x,y) ja (u , v) on piirkond, mille võrranditega x=x(u,v), y=y(u,v) määratud regulaarne teisendus kujutab piirkonnaks D, siis kehtib kahekordsete integraalide jaoks võrdus: f ( x, y)dxdy = f ( x(u, v), y(u, v)) J dudv , kus J D x xv tähistab teisenduse : D jakobiaani: J = u yu y v Üleminek: Kui teisendus : (r , ) D( x, y ) on määratud võrranditega x=x(u,v), y=y(u,v) kujul x = r cos , y = r sin , siis J=r ja muutujate vahetuse eeskiri: f ( x, y)dxdy = f ( x(u, v), y(u, v)) J dudv omandab kuju: D f ( x, y)dxdy = f (r cos , r sin )rdrd D Kahekordse integraali rakendusi Tasandilise kujundi D pindala: S D = dxdy, ( f ( x, y ) = 1)
integraalis muutuja vahetuse u=x+y (7.16) v = 2x - 3y Sellises juhul xy-tasandi r¨o¨opk¨ ulik teiseneb uv-tasandi ristk¨ ulikuks, mis on m¨a¨aratud tingimustega -1 u 3 ja -6 v 12. Integreeritav funkt- sioon (2x - 3y - 4)2 = (v - 4)2 . Jakobiaani (7.12) arvutamiseks avaldame v~orrandis¨usteemist (7.16) muutujad x ja y 3 1 x = u + v 5 5 2 1 y = u- v 5 5 ja leiame osatuletised x 3 y 2
annaabi.ee 
