Kahe tasandi vastastikused asendid On antud 2 tasandit A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ja A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 . Nende normaalvektorid on vastavalt n 1 = ( A1 ; B1 ; C1 ) ja n 2 = ( A2 ; B2 ; C 2 ) . 1. Tasandid on risti, kui nende normaalvektorite skalaarkorrutis on 0: n 1 n 2 = A1 A2 + B1 B2 + C1 C 2 = 0 . 2. Tasandid on paralleelsed, kui nende normaalvektorite vastavate koordinaatide jagatised on võrdsed ning tasandite võrrandite vabaliikmete jagatis ei ole eelmistega A1 B1 C1 D1 = = võrdne: 2 A B 2 C 2 D2 . 3. Tasandid ühtivad, kui nende normaalvektorite vastavate koordinaatide jagatised on võrdsed ning tasandite võrrandite vabaliikmete jagatis on ka eelmistega võrdne: A1 B1 C1 D1 = = = A2 B2 C 2 D2 . 4
sirgel. Sarnasus Kahte võrdset kujundit saab asetada nii teineteise peale, et nad ühtivad. Kui kaks kujundit on ühesuguse kujuga, kuid erineva suurusega, siis need kujundid on sarnased. Reegel! KAKS HULKNURKA ON TEINETEISEGA SARNASED SIIS, KUI NENDE HULKNURKADE VASTAVAD NURGAD ON VÕRDSED JA VASTAVAD KÜLJED ON VÕRDELISED. Kahe hulknurga võrdelisus tähendab seda, et vastavate külgede jagatised on võrdsed. Sarnasuse märkimine Kahe hulknurga, nt viisnurkade ABCDE ja FGHIJ sarnasust märgitakse lühidalt nii: ABCDE~FGHIJ Sarnaste hulknurkade ümbermõõtude suhe Teoreem. Kahe sarnase hulknurga ümbermõõtude suhe võrdub vastavate külgede suhtega ehk sarnasusteguriga. Sarnaste hulknurkade pindala suhe Teoreem. Kahe sarnase hulknurga pindalade suhe võrdub nende hulknurkade vastavate külgede suhte ruuduga ehk sarnasusteguri ruuduga.
joonist), mille üheks küljeks on ringjoone diameeter. On antud: AB = 15 cm ja BC = 9 cm. Arvuta: 1) kolmnurga külg AC; 2) kolmnurga ümbermõõt ja pindala. 24. (2002)Täisnurksesse kolmnurka ABC on joonestatud ruut KLMC (vt joonist). On antud: AB = 13 cm,BC = 12 cm. 1) Arvuta külje AC pikkus. 2) Põhjenda, et ABC ~ LBM ja kirjuta välja vastavate külgede jagatised (suhted). 3) Arvuta ruudu pindala. Ümarda vastus kümnendikeni. 25. (2002) Ringi sisse on joonestatud kolmnurk CDF (vt joonist), F mille üheks küljeks on ringjoone diameeter. On antud: D CF = 12 cm ja DF = 16 cm. Arvuta 1) kolmnurga külg CD; 2) kolmnurga ümbermõõt ja pindala. C 26. (2002) Täisnurksesse kolmnurka KLM on joonestatud ruut
algvõrrandi järgi. · Selleks asendame algvõrrandis tundmatu saadud arvuga ning kontrollime, kas pärast arvutusi jõuame tõese arvvõrduseni. · Kui kontrollimine kinnitab, et saadud arv on lähtevõrrandi lahendiks, siis anname selle ülesande vastuseks (võõrlahendeid vastusesse ei märgita). Võrdekujuline võrrand · Lihtsamad murdvõrrandid on võrdekujulised või saab neid võrdekujuliseks teisendada. · Võrre on võrdus, mille mõlemad pooled on võrdsed jagatised. Võrdekujulisi a c võrrandeid saab lahendada võrde b d põhiomaduse abil! Võrdekujulise võrrandi lahendamine · Võrde põhiomadus: võrde välisliikmete korrutis on võrdne tema siseliikmete korrutisega. a c ad bc b d Kontrollime, kas leitud lahendite seas pole võõrlahendeid (nimetajate nullkohti)!
RAUDVARA 3. peatükk Kujundite sarnasus 1. Võrdelised lõigud: Kui kahe lõikude hulga vahel saab korraldada sellise vastavuse, et kõik vastavate lõikude jagatised on võrdsed, siis nimetatakse ühe hulga lõike võrdelisteks teise hulga lõikudega. Geomeetriline keskmine on võrdne ruutjuurega nende arvude korrutisest( tähistame:k ) Näide: Kolmnurgad on võrdelised. Leia x. 2. Kiirteteoreem: Teoreem: Kui nurga haarasid lõigata paralleelsete sirgetega, siis on nurga ühel haaral tekkinud lõigud võrdelised teisel haaral tekkinud lõikudega. Eeldus: Nurga O haarasid u ja v on lõigatud kahe paralleelse sirgega s ja t. s || t
Matemaatika definitsioonid 1.Lõikuvad sirged on sirged, millel leidub ühine punkt. 2.Paralleelsed sirged on sirged, mis paiknevad ühel ja samal tasandil ning ei lõiku. 3.Ristuvad sirged on kaks lõikuvat sirget, mis lõikumisel moodustavad täisnurga. 4.Sirgnurk on sirge, mille haarad moodustavad sirge. 5.Täisnurk on sirge, mis on 90kraadi. 6.Teravnurk on nurk, mis mahub täisnurga sisse. 7.Nürinurk on nurk, mis mahub sirgnurga sisse, aga mitte täisnurga sisse. 8.Kõrvunurkadeks nimetatakse kaht nurka, millel üks haar on ühine ja mille teised haarad moodustavad sirge. 9.Kaht nurka nimetatakse tippnurkadeks, kui ühe nurga haarad on teise nurga haarade pikendused üle nende ühise tipu. 10.Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk. 11.Teravnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad. 12.Nürinurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on nürinurk. 13.Erikülgne kolmnurk on ko...
Geogebra : y=3x Pöördvõrdelises seoses on muutujate x ja y vaheline seos, kus ühe suutuse kasvades väheneb teise suurus. Selle valem on y=a/x Geogebra = y=3/x Lineaarseks seoseks nimetatakse muutujate x ja y vahelist seost, kui y = a *x + b Geogebra : y=3-x Lineaarliikmeks nimetatakse seose y=a*x + b liiget a*x ja vabaliikmeks liiget b Ei pea läbima 0 punkti Võrrand on võrdus mille mõlemal poolel on suhted ehk jagatised. Võrde põhiomaduseks on see, et jagatisena esitatud võrduse korral on diagonaalide korrutised võrdsed. NT : Võrdekujuliseks võrrandiks nimetatakse võrdust, mis on võrde kujul ja mille üks liige on tundmatu. Nt : Võrde põhiomadust kutsutakse mõnikord ka ristkorrutiseks. Sagedus näitab, kui tihti mingi sündmus toimub. Suhteline sagedus näitab, kui suure osa moodustab kindel sündmus kõikide vaadeldud sündmuste arvust
Kui a on väiksem kui null (a<0), siis graafik asetseb teises ja neljandas veerandis. Võrdelise seose graafikul on alati sirge. KUIDAS TEHA: 1) Koostame tabeli andes argumendile (x) vabalt võetud väärtusi. 2) Joonestan kordinaatteljestiku ja märgin vastavad punktid. 4.4 VÕRRE. Tõest võrdust, mille mõlemad pooled on jagatised, nimetatakse võrdeks. = a:b=c:d A ja d on välisliikmed, b ja c on siseliikmed. Võrde välisliikmete korrutis võrdub tema siseliikmete korrutisega. 8:4=4:2 SISELIIKMEID VÕIB VAHETADA. = = VÄLISLIIKMEID VÕIB VAHETADA. = = Mõlemal murrul võib omavahel vahetada lugejaid ja nimetajaid. = = 4.5 VÕRDKUJULINE VÕRRAND. Võrdust, millel on võrde kuju, milles üks liige on tundmatu nimetatakse võrdekujuliseks võrrandiks.
5) Teeme kontrolli 6) Kirjutame vastuse 13. Kuidas lahendada võrratusi? 1) Kui võrrandis on sulud, siis avame need 2) Tundmatud viime vasakule, vabaliikmed paremale (teisele poole viies märk muutub) 3) Koondame sarnased liikmed 4) Võrratuse mõlemaid pooli jagame tundmatu kordajaga 5) Teeme joonise, kirjutame vastuse 14. Mis on võrre? Võrde põhiomadus. Kuidas lahendada võrdekujulist võrrandit? Tõest võrdust, mille mõlemad pooled on jagatised, nimetatakse võrdeks. Põhiomadus: Võrde välisliikmete korrutis võrdub tema siseliikmete korrutisega. Lahendamine: Võrdekujulist võrrandit lahendatakse ristvõrrandi abil. 15. Mis on ruutvõrrand? Mida nimetatakse normaalkujuliseks ruutvõrrandiks? Mida nimetatakse täielikuks ruutvõrrandiks? Mida nimetatakse mittetäielikuks ruutvõrrandiks? Mis on taandatud ruutvõrrand? Võrrandit ax + bx + c = 0, milles a, b ja c on antud arvud (a ei võrdu nulliga) ja x on
väärtuse ning leiame nende muutujate jagatise . Saadud vastus ongi võrdetegur. x 2. Võrre ja võrdekujuline võrrand Tekstülesannete lahendamisel võrdekujulise võrrandi abil on oluline · Võrre jälgida, et: Võrdeks nimetatakse tõest võrdust, mille mõlemad pooled on jagatised. · seostes üksteise alla kirjutatud suuruste ühikud oleksid a c ühesugused = ehk a:b = c:d b d ja et Muutujaid a, b, c ja d nimetatakse võrde liikmeteks. Võrde liikmeteks · võrde koostamisel lugejateks (murrujoone peal) võetud suurused
takistus.... ....) 10. Koosta ruudulisele lehele tabeli pohjal graafik, kus horisontaalteljel asuvad (Sinu poolt vabalt valitud) pinge vaartused, moodetuna voltides, pustisel teljel aga vastavad voolutugevuse vaartused. (tehtud) 11. Kirjelda oma valitud joont? Skitseeri (joonesta vaba kaega) graafik siia lehele Vastus: Graafikul on joon mis liigub diagonaalselt ulespoole. 12. Arvuta iga moodetud pinge ja voolutugevuse jaoks nende jagatised. Kanna need tabeli kolmandasse ritta. Mida markad? Vastus: Koikide jagatiste vastusteks on 5 13. Kliki lambil ning loe ekraani alumisest servast, mis sinna on kirjutatud? Vastus: Ekraani alumises servas on kirjutatud takistus 10 Ohmi 14. Muuda esimese lambi takistus 2 korda suuremaks ja teise lambi takistus 2 korda vaiksemaks ning jalgi kuidas muutub pinge lambi klemmidel ja kuidas voolutugevus lambis. Kirjelda ka elektronide liikumist
Näide: 5x + 3 > 2x 9 5x 2x > -9 3 3x > -12 |: 3 x>-4 Suhe ja mõõtkava: Geograafilise kaardi nurgast leiame mõõtkava, kus on märgitud kahe arvu suhe. nt: 1:30000 st. et 1cm kaardil vastab 30000cm (300m) looduses. Kahe arvu a ja b suhteks nimetatakse nende jagatist a:b. Suhe näitab, kui mitu korda on üks suurus teisest suurem või missuguse osa ta teisest moodustab. Võrre: Tõest võrdust, mille mõlemad pooled on jagatised nimetatakse võrdeks. Võrde võime kirjutada kujul a : b = c : d Võrde välisliikmete korrutis võrdub siseliikmete korrutisega. ad = bc Võrdekujuline võrrand: Olgu antud võrdus: 6 : 5 = 18 : x Sellel võrdusel on võrde kuju, milles üks liige on tundmatu. Paneme selle kirja võrde põhiomaduse põhjal kirja: 6x = 5 * 18 6x = 90 | : 6 x = 15 Jagamismärgiga võrdust kontrolli murrukujulise võrrandiga! Jäävad ja muutuvad suurused:
Kui a on positiivne, siis on sirge esimeses ja kolmandas veerandis, kui a on negatiivne, siis teises ja neljandas. 33. Lineaarfunktsioon ja selle graafik. Lineaarfunktsiooni üldkuju y = ax + b (0,b)(1,a) Graafikuks on sirge. 34. Pöördvõrdeline seos ja selle graafik. a y x Pöördvõrdeline seos, ülkduju • Hüperbool 35. Võrre, võrde põhiomadus, võrdekujuline võrrand. Võrre on tõene võrdus, mille mõlemad pooled on jagatised (võrdsed). Võrdus on avaldis, mis võib olla tõene või väär. Võrrand on võrdus, mis sisaldab tundmatut. Põhiomadus: Siseliikmete korrutis on võrdne välisliikmete korrutisega. Sisearvude korrutis on võrdne välisarvude korrutisega. 2:2=3:3
a1a2 Vektor on suunaga lõik, millel on alguspunkt (rakenduspunkt) ja lõpppunkt. Igal sihil on kaks suunda. Paralleelsetel sirgetel on sama siht. Vektoreid tähistatakse kas 2 suure tähega või 1 väikse tähega. AB vastandvektor on BA; v vastandvektor on v Vektorid on võrdsed kui nendel on sama pikkus ja suund. Sama sihiga ehk samasihilisi vektoreid nimetatakse kollineaarseteks. Vektorid on kollineaarsed siis, kui nende koordinaadid on võrdelised (s.t. vastavate koordinaatide jagatised on võrdsed). Vektori lahutamisel asendame lahutamise vastandvektori liitmisega. Vektori liitmisel liidame vastavad koordinaadid, lahutamisel lahutame. Vektorid i ja j ristuvad ühik vektorid. Ühe ühiku pikkused, teljestiku sihis. Vektori koordinaatide leidmiseks lahutan lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti koordinaadid. Vektori pikkus võrdub ruutjuurega koordinaatide ruutude summast. Sellist vektorit, mille algus punktid on koordinaatide alguspunktis nim kohavektoriks
Kokku: 17 elementi, suurus: 4 * 1.5 + 7 * 2.0 + 1 * 2.5 + 1 * 2.0 + 1 * 2.5 + 1* 2.0 + 1 * 2.0 + 1 * 2.5 = 33.5 Kriitiline tee 8.5 Alternatiivsel juhul on kokku 21 elementi, suurus 40.5 ja kriitiline tee 8.0, kuid seda varianti ei kasutata. Ühiste alamavaldiste otsimine Ühised alamavaldised – ühised tuumad = mittetriviaalsed, ühised konjuktsioonid = triviaalsed. Tuumade leidmisel on näidatud ainult tuumadeni viivad jagajaid ja jagatised. Lisaks on võimalusel ka tuuma minimeeritud ja/või hinnatud realiseerimiseks kasutatavaid elemente. y1’ = x2’x3 x4 + x2 x3’+ x2 x4’ + x1’x4’ /x2 --> x3’+ x4’ /x4’ --> x2 + x1’ y2 = x3’x4’ + x2’x3 x4 + x1’x2’ + x1’x4’ /x1’ --> x2’ + x4’ /x2’ --> x3 x4 + x1’ /x4’ --> x3’ + x1’ y3 = x1’x3 + x1x3’+ x2x3’ /x3’ --> x1 + x2 y4’ = x2’x3 x4 + x1 x3’+ x2 x4’
annaabi.ee 
