Konstanti c nimetatakse integreerimiskonstandiks. Määramata integraali omadused 1) ( f (x)±g(x))dx= f (x)dx± g(x)dx 2) af(x)dx=a f (x)dx 3) ( f (x)dx)'= f (x) 4) dF(x) =F(x)+c 9. Määratud integraal ja tema omadused Piirväärtust nimetatakse funktsiooni f (x) määratud integraaliks (ehk Riemanni integraaliks) lõigus [a; b] ja kirjutatakse Arve a ja b nimetatakse radadeks. 10. Piisavad ja tarvilikud tingimused funktsiooni integreeruvuseks. x a kus a ei tohi võrduda ühega, ehk a 1 Määratud integraali jaoks on vaja teada Newton Leibnisi valemit. Lõigus pidev funktsioon on integreeruv selles lõigus. Lõigus tõkestatud monotonne funktsioon on integreeruv selles lõigus. Lõigus tõkestatud funktsioon, millel on lõplik arv katkevuspunkte, on integreeruv selles lõigus. Kui funktsioonid f ja g on integreeruvad mingis lõigus, siis ka nende korrutis fg on integreeruv selles lõigus
T19. Kui funktsioonidel u=u(x) ja v=v(x) on lõigus [a, b] integreeruvad tuletised, siis kehtib valem abudv = uv |ab- abvdu. T20. Kui funktsioonil y=f(x) on olemas algfunktsioon lõigus [a, b] ja kui x=(t) on mingis lõigus [ ,] diferentseeruv funktsioon, mille väärtused kuuluvad lõiku [a, b], kusjuures () = a ja () = b, siis kehtib võrdus abf(x)dx=f [ (t)]'(t)dt, kui mõlemad integraalid eksisteerivad. T21. Tarvilik tingimus funktsiooni integreeruvuseks: Kui funktsioon y=f(x) on integreeruv lõigus [a, b] , siis ta on tõkestatud selles lõigus.
...........................24 Osamurdude integreerimine...........................................................................................................24 37. Kirjeldada kõvertrapetsi pindala leidmist. ...............................................................................24 38. Määratud integraal ja tema omadused. .................................................................................... 24 39. Piisavad ja tarvilikud tingimused funktsiooni integreeruvuseks. ............................................ 25 40. Kirjeldada integraali ligikaudset arvutamist ristkülikvalemi abil. ...........................................25 41. Kirjeldada integraali ligikaudset arvutamist trapetsvalemi abil. ............................................. 26 42. Kahe muutuja funktsioon, tema määramispiirkond ja muutumispiirkond. Tuua näiteid kahemuutuja funktsioonide kohta. .............................................................................................
rajaks. Lõiku [a;b] nimetatakse integreerimislõiguks Seejuures integereerimislõigu alguspunkti a nimetatakse alumiseks rajaks ja lõigu lõpp - punkti b ülemiseks rajaks. 88.Kuidas defineeritakse määratud integraal juhul, kui alumine raja on suurem ülemisest rajast? Juhul, kui rajad on võrdsed? 89.Tarvilik tingimus selleks, et funktsioon oleks antud lõigus integreeruv. 90.Piisavad tingimused funktsiooni integreeruvuseks 91.Määratud integraali aditiivsuse omadus. 92.Määratud integraali lineaarsuse omadus. 93.Määratud integraali monotoonsuse omadus. 94.Lõigus alt ja ülalt tõkestatud funktsiooni integraali omadus. 95.Lõigus pideva funktsiooni integraali omadus. 96.Newton-Leibnizi valem. 97.Ositi integreerimise valem määratud integraali leidmisel 98.Muutujate vahetus määratud integraali leidmisel
seda nimetatakse funktsiooni f Darboux' ülemintegraaliks. Alumine raja kui suurim alumine tõke ei saa olla väiksem alumisest tõkkest I∗ (f), j¨arelikult I∗ (f) ≤ I∗ (f) . Öeldakse, et lõigus [a, b] tõkestatud funktsioon f on selles lõigus integreeruv, kui tema Darboux’ alam- ja ülemintegraal on võrdsed, s.t. I ∗ (f) = I∗ (f) . 48. Tarvilik ja piisav tingimus tõkestatud funktsiooni integreeruvuseks (*) Defineerida Darboux ülem- ja alamintegraal ja integreeruvad funktsioonid. Iga ülemsumma S (T) on kõigi alamsummade hulga {s (T) | T ∈ } ülemine tõke. Pidevuse aksioomi kohaselt eksisteerib sup {s (T) | T ∈ } =: I∗ (f) , arvu I∗ (f) nimetatakse funktsiooni f Darboux' alamintegraaliks. Kuna arv I∗ (f) on hulga {s (T) | T ∈ } vähim ülemine tõke, siis I∗ (f) ≤ S (T) suvalise alajaotuse T ∈ korral
D b Analoogia: Kui funktsioon f on pidev lõigus [a, b] , siis [a, b] nii, et f (x )dx = f ( )(b - a ) . a Kahekordse integraali olemasolu Piisav tingimus: Kui f on pidev piirkonnas D , siis on ta ka integreeruv selles piirkonnas. Tarvilik tingimus: Funktsiooni f integreeruvuseks piirkonnas D on tarvilik funktsiooni f tõkestatus selles piirkonnas ( M > 0 : f (P ) M P D ). 12 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 3. Kahekordse integraali arvutamine Kahekordse integraali arvutamiseks on valemid, kui D on kõvertrapets. Olgu D = {( x, y ) : a x b, (x ) y ( x )} .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.3 Taylori valem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5 Integreeruvad funktsioonid 106 5.1 Kõvertrapetsi pindala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.2 Riemanni integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.2.1 Integraali mõiste. Tarvilik tingimus integreeruvuseks . . . . . . . . . 107 4 5.2.2 Tõkestatud funktsiooni Darboux’ summad, nende omadused . . . . . 109 5.2.3 Darboux’ ülem- ja alamintegraal. Integreeruvuse kriteerium . . . . . . 111 5.3 Riemanni integraali omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.3.1 Integreeruvus osalõigus. Integraali aditiivsus . . . . . . . . . . . . .
annaabi.ee 
