M¨a¨aratud integraali lineaarsuse omadus t ~oestusega. () ( ) 14. M¨a¨aratud integraali aditiivsuse omadus t ~oestusega. f(x) = =0 ! ( - ) + ( )()Kui (n + 1)-järku tuletis on integreeruv 15. Lebesgue'i teoreem. Konstantse funktsiooni integreeruvus. Pideva funktsiooni lõigul [a, x], siis jääkliige on esitatav integraalkujul integreeruvus. 1 (+1) ( )() = ()( - ) Monotoonse funktsiooni integreeruvus. U¨ ks lausetest to~estada. ! 16. N¨aidata, et
kus 1 on lõigu tükeldus punktidega x0,x1, ..., xk-1 , c ja 2 on lõigu tükeldus punktidega c, xk, ..., xn-1, xn. Lõigul integreeruv funktsioon on tõkestatud sellel lõigul põhjal saame Millest järeldub f(x)=O(1) . Et Seega on lause tõene. 15. Lebesgue'i teoreem. Konstanse funktsiooni inegreerivus. Pideva funktsiooni integreeruvus. Monotoonse funktsiooni integreeruvus. Üks lausetest tõestada. Lause (Lebesgue'i teoreem) Funktsioon f on lõigul [a; b] Riemanni mõttes integreeruv parajasti siis kui ta on tõkestatud lõigul [a; b] ja pidev peaaegu kõikjal lõigul [a; b], st katkev hulgal, mille Lebesgue mõõt on null. Lause Lõigul [a; b] konstantne funktsioon on integreeruv sellel lõigul,kusjuures Lause Lõigul pidev funktsioon on integreeruv sellel lõigul. POOLIK 16. Näidata, et f(x) g(x) (f, g I[a,b]) Tõestus. [PS
ruumala ja pindala, näiteid Nimetatakse integraalsummade piirväärtuseks. Newton-Leibinzi valem lubab määratud integraale arvutada määramata integraalide abil. Integreerimise omadusi: 3+2 valemit Rakendused: 1) Tasap. kujundi S=int(ülem-alum) 2) Joone kaare pikkus VALEM 3)Pöördpinna ruumala VALEM 4) Pöördpinna pindala 3. Kahekordse integraali definitsioon ja omadused: aditiivsus, lineaarsus, monotoonsus, absoluutne integreeruvus, keskväärtusteoreem, näide Vaatleme tasapinnal xy joonega L piiratud kinnist piirkonda D. Olgu selles piirkonnas antud pidev funktsioon z=f(x,y). Jagame piirkonna D n osapiirkannaks, mille pindalad tähistame ΔS1, ΔS2 … ΔSn. Võtame igas piirkonnas punkti PiЄ ΔSi. Siis summat Vn=Σni=1f(Pi)ΔSi nimetame funktsiooni z=f(x,y) integraalsummaks. Kui eksisteerib piirväärtus, mis ei sõltu piirkonna D osadeks jagamise viisist ega punktide
[xk−1, xk] ning moodustame funktsiooni f alajaotusele T ning punktide komplektile ξ := {ξ1, . . . , ξn} vastava integraalsumma Kuna siis niisiis, s (T) ≤ σ (T, ξ) ≤ S (T) iga T ∈ T puhul, (11.5) sõltumata sellest, kuidas valitakse punktide komplekt ξ iga konkreetse alajaotuse T puhul. Seejuures lause 1.6(b) põhjal analoogiliselt Defineerida funktsiooni integreeruvus Riemanni mõttes ning funktsiooni Riemanni integraal. Öeldakse, et tõkestatud funktsioon f : [a, b] → R on lõigus [a, b] Riemanni mõttes integreeruv, kui eksisteerib lõplik piirväärtus , s.t. ∀ε > 0 ∃δ > 0 : λ (T) < δ ⇒ < ε iga valiku ξk ∈ [xk−1, xk] korral. Arvu I nimetatakse sel juhul funktsiooni f Riemanni integraaliks lõigus [a, b], seda tähistatakse Teada järgmisi väiteid:
. . . . . . . 107 5.2.1 Integraali mõiste. Tarvilik tingimus integreeruvuseks . . . . . . . . . 107 4 5.2.2 Tõkestatud funktsiooni Darboux’ summad, nende omadused . . . . . 109 5.2.3 Darboux’ ülem- ja alamintegraal. Integreeruvuse kriteerium . . . . . . 111 5.3 Riemanni integraali omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.3.1 Integreeruvus osalõigus. Integraali aditiivsus . . . . . . . . . . . . . . 114 5.3.2 Integraali tehetega seotud omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.3.3 Integraali monotoonsusomadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.3.4 Integraali keskväärtusteoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.4 Pidevate ja katkevate funktsioonide integreerimine . . . .
m a Teoreem: Kui funktsioonid f ja g on integreeruvad mingis lõigus, siis on selles lõigus integreeuv ka fg . (fakt) b b b s.t. f ( x )dx g ( x )dx f ( x )g ( x )dx a a a 30 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Funktsiooni f + g integreeruvus Teoreem: Kui funktsioonid f ja g on integreeruvad lõigus [a, b] , siis suvaliste , R korral on integreeruv ka funktsioon f + g ja kehtib seos b b b [f (x ) + g (x )]dx = f (x )dx + g (x )dx .
D D f x, y g x, y dxdy f x, y dxdy g x, y dxdy D D D 3. Monotoonsus. Kui funktsioonid z f x, y ja z g x, y on integreeruvad ja f x, y g x, y iga x, y D korral, siis f x, y dxdy g x, y dxdy D D 4. Absoluutne integreeruvus. Kui funktsioon z f x, y ja on integreeruv, siis ka funktsioon z f x, y on integreeruv ja kehtib võrratus f x, y dxdy f x, y dxdy D D 5. Keskväärtusteoreem. Kui funktsioon z f x, y ja on integreeruv, siis leidub selline arv min f x, y , max f x, y , et kehtib võrdus f x, y dxdy SD D
annaabi.ee 
