Samuti toimib teiste telgedega. 3) II liiki joonintegraalid on aditiivsed ʃABfdx+gdy+qdz=ʃACfdx+gdy+qdz + ʃCBfdx+gdy+qdz 4) II liiki joonintegraalid on lineaarsed, s.t. suvaliste konstantide k ja l jaoks. VALEM Arvutamine Kui on antud parameetrilised võrrandid, siis J=ʃABfdx+gdy+qdz = ʃαß{f[x(t);y(t);g(t)]x’+g[...]y’+q[...]z’}dt Kui tasandiline joon on antud võrrandiga y=y(x) xЄ[a;b], siis ʃABf(x,y)dx=ʃabf[x,y(x)]dx 13. II liiki joonintegraali sõltumatus integreerimisteest, näide II liiki joonel on üks omadus veel - olgu üks tasandiline joonintegraal J=ʃLfdx + gdy, mis ühendab punkte M ja N, siis joonintegraal ei sõltu integreerimisteest, kui J = ʃLfdx + gdy = ʃMQNfdx + gdy = ʃMPNfdx + gdy Täisdiferentsiaal: dz = ux(x,y)dx + uy(x,y)dy ning selleks, et fdx+gdy oleks mingi funktsiooni täisdiferentsiaal, on vajalik ja piisav, et fy=gx. Seetõttu kehtib väide, et joonintegraal J = ʃLfdx + gdy on sõltumatu
tuletamata). 40. Teist liiki joonintegraali omadused (sh omadused 3 ja 4 koos põhjendustega). 41. Teist liiki joonintegraali arvutamine parameetrilise joone korral (kahemõõtmelisel juhul tuletada vastav valem ja kolmemõõtmelisel juhul esitada vastav valem ilma tuletamata). 42. Tuletada Greeni valem. 43. Tõestada, et potentsiaalse jõuvälja integraal mööda kinnist kontuuri tasandil võrdub nulliga. Joonintegraali sõltumatus integreerimisteest (tuletada vastav valem kahemõõtmelisel juhul ja esitada vastav valem ilma tuletamata kolmemõõtmelisel juhul ). Konservatiivse jõuvälja mõiste. 44. Esimest liiki pindintegraali definitsioon. Pinna pindala ja pinna massi arvutamine (tuletada vastavad valemid). 45. Arvrida, arvrea osasumma ja arvrea summa. Geomeetriline rida ja selle koonduvus. Sõnastada ja tõestada arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. 46. Arvridade koonduvustunnused: majoranttunnus, d'Alemberti tunnus,
. Seega J xydx xydx. AB BC Kasutame nüüd valemit 19 . Sirge AB võrrand on y 0, x 0, 1 . Sirge BC võrrand aga y 1 x, x 1, 0 . Seega 1 0 x2 x3 0 1 J x 0dx x1 x dx 2 3 6 0 1 1 2.2.2 II liiki joonintegraali sõltumatus integreerimisteest II liiki joonintegraalil on huvitav omadus. Vaatleme lihtsuse mõttes tasandilist joonintegraali J fdx gdy, 20 L üle tasandilise joone L , mis ühendab punkte M ja N. Siis joonintegraal ei sõltu integreerimisteest, kui J fdx gdy fdx gdy fdx gdy. L MQN MPN
i =1 Fdx +Gdy = - Fdx +Gdy Kaks viimast võrdust kokku liites saame Funktsioonide F ja G joonintegraal kahe punkti M ja N vahel ei sõltu Leibnitzi tunnus b neid punkte ühendavast integreerimisteest, vaid ainult nende punktide Kui vahelduvate märkidega reas a1a2+a3a4, ..., liikmed on sellised, et F ( x, y )dx + G ( x, y )dy = [ F ((t ),F( P(t)))= ) G ((t ),(t )) ' (t )]dt
Soojusprotsessidel on kindel suund. 7. Entalpia olekufunktsioon, mille muut iseloomustab reaktsioonide, protsesside soojusefekte. Valemist ( Q = dU + p dV + dWe 2 2 Q = U 2 - U1 + p dV + dWe ) nähtub, et süsteemile lisatud soojus ei ole määratud ainult süsteemi 1 1 kahte olekut kirjeldavate olekufunktsioonide vahega, vaid sõltub ka olekust 1 olekusse 2 liikumise viisist (integreerimisteest). Võib aga välja kirjutada funktsiooni, mille jaoks süsteemi kahe oleku vahe teatud juhtudel võrdub just lisatud soojusega. Seda funktsiooni nimetatakse entalpiaks ja defineeritakse järgmiselt: H = U + pV Kuna paremal asuvad suurused U, p ja V on üheselt määratud süsteemi olekuga, siis on ka entalpia olekufunktsioon. Entalpia lõpmata väike muutus dH avaldub siis järgmise valemiga: dH = dU + p dV +V dp 8
' y L päripäeva D Fdx +Gdx = [G ] - Fy' dxdy ' x vastupäeva L D 28. Joonintegraali sõltumatus integreerimisteest Funktsioonide F ja G joonintegraal kahe punkti M ja N vahel ei sõltu neid punkte ühendavast integreerimisteest, vaid ainult nende punktide asukohast, siis kui F ( P ) =U x' ( P ) G ( P ) =U y' ( P ) Olgu xy-tasandil antud kinnise kontuuriga L piiratud piirkond D. Olgu antud punktid M ja N ning neid ühendavad jooned L1 ja L2 nii, et L=L1L2. Olgu piirkonnas D antud funktsioonid U, F ja G, mis rahuldavad eelpool mainitud tingimusi. Arvutame Fdx + Gdx = [ F ]
L L 3) Kui joone L ospunktid on M ja N ning Q on mingi kolmas punkt joonel L, siis Fdx +Gdy = Fdx + Gdy + Fdx + Gdy MLN MLQ QLN 4) Fdx +Gdy = - Fdx + Gdy MLN NLM 26. Tuletada valem teist liiki joonintegraali arvutamiseks mööda parameetriliselt antud joont. (lk 35-37) 27. Tuletada Greeni valem. (Lk 38-40) 28. Millistel tingimustel on joonintegraal sõltumatu integreerimisteest? Põhjendada. Kui funktsioonid F ja G rahuldavad tingimusi F(P)=U x'(P), G=Uy'(P) ehk [F(P), G(P)]=gradU(P) siis nende funktsioonide teist liiki joonintegraal ei sõltu integreerimis teest, vaid alinult alinult integreerimis alg- ja lõpp-punktist. (Põhjendus lugeda lk 40-42) 29. Defineerida esimest liiki pindintegraal. Olgu kolmemõõtmelises ruumis antud lõpliku pindalaga pind S. Peale selle olgu antud pinnal S määratud funktsioon (P). Jaotame pinna S n tükiks S 1,S2,..
8. Eksaktne võrrand Def 8.1 Esimest järku dif-võr (8.1) On eksaktne kui on täidetud tingimus: (8.2) Teoreem 8.1 Tingimus (8.2) on piisav ja tarvilik, et leiduks selline funktsioon , et (8.3) . Võrrandi (8.1) vasak pool omandab kuju: (8.4) du=0, mille üldlahendiks on (8.5) . Tuletame meelde joonintegraali potentsiaali mõiste. Vaatleme joonintegraali: (8.6) , kus vektorväli Teoreem 8.2 Joonintegraal (8.6) ei sõltu integreerimisteest L, siis ja ainult siis, kui on täidetud tingimus: (8.7) . Tingimus (8.7) on piisav ja tarvilik, et väli oleks potnetsiaalne, kusjuures ehk ja , u(x,y) on potentsiaal. Kui väli on potentsiaalne, siis Kui P(x0,y0) ja Q(x,y), seega eksaktse võrrandi lahendi ja välja potnetsiaali leidmine toimub sama valemi abil. (8.8) . Algpunktiks P(x0,y0) võib valida suvalise punkti, milles A(x,y) ja B(x,y) on määratud punkti ümbrusega. Võimaluse korral võtame x0=y0=0. 9
- dx = - (x-2)2 d(x-2) = - = =- 8 8 8 3 0 8 3 3 0 0 14 7.6 Joonintegraali integreerimisteest s~ oltumatuse tin- gimus Selles punktis uurime, millistel tingimustel joonintegraal X(x, y)dx + Y (x, y)dy (7.19) AB s~oltub ainult punktide A ja B asukohast tasandil, mitte aga neid u ¨hendavast joonest. Eeldame, et D on punkte A ja B sisaldav piirkond, milles funktsioonid
annaabi.ee 
