D n f ( x, y)dxdy s.t lim diamsi 0 f ( P )s = f ( x, y )dxdy Piirkonda D nimetatakse i =1 i i D D integreerimispiirkonnaks. Teoreem 2. Kahe funktsiooni summa ( x, y ) + ( x, y ) kahekordne integraal üle piirkonna D võrdub summaga, mille liidetavateks on funktsioonide ( x, y ) ja ( x, y ) , kahekordsed integraalid üle sama piirkonna D. [ ( x, y) + ( x, y )]ds = ( x, y )ds + ( x, y)ds D D D Teoreem 3. Konstantse teguri võib tuua kahekordse integraali märgi ette: kui a=const, siis: a ( x, y )ds = a ( x, y )ds
nullile lähenemisel ja n lõpmatul kasvamisel piirväärtus, mis on üks ja sama iga jada pihi, s.t. ta ei sõltu piirkonna D osapiirkondadeks si jaotamise viisist ega punkti Pi valikust piirkonnas si. Tähistame osapiirkondade si maksimaalset läbimõõtu sümboliga , s.t. Piirväärtust nim. funktsiooni z=f(x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse sümboliga Piirkonda D nim. integreerimispiirkonnaks. Kui f(x,y)0 piirkonnas D, siis kahekordne integraal tähendab geomeetriliselt niisugust kõversilindri ruumala, mis alt on piiratud xy- tasandi piirkonnaga D, ülalt funktsiooni z=f(x,y) graafikuks oleva pinnaga ja küljelt silinderpinnaga, mille moodustaja on paralleelne z-teljega ja juhtjooneks piirkonna D rajajoon. Kahekordse integraali omadusi: 1. Kahe funktsiooni summa kahekordne integraal on võrdse nende funktsioonide kahekordsete integraalide summaga: 2
Kui summeerida saame määratud integraali b l = 1 + [ f ' ( x ) ] 2 dx . a PÄRATUD INTEGRAALID Määratud integraali olemasoluks peab funktsioon olema pidev ning rajad lõplikud. Mõnikord on vaja laiendada integraali mõistet juhtudele, kus üks või mõlemad eeldused ei ole täidetud, need on päratud integraalid: lõpmatute rajadega integraal ja katkeva integreeritava funktsiooniga integraal. A) LÕPMATUTE RAJADEGA PÄRATUD INTEGRAALID Olgu integreerimispiirkonnaks [a,+] b b Leiame integraali J = f ( x ) dx piirväärtuse lim J = lim f ( x ) dx b + b + a a Kui see piirväärtus on olemas ning lõplik, öeldakse, et on olemas päratu integraal funktsioonist f(x)
b l = 1 + [ f ' ( x ) ] 2 dx . a Kehade pind- ja masskeskmed, tehnikas inertsmomendid, staatilised momendid PÄRATUD INTEGRAALID Määratud integraali olemasoluks peab funktsioon olema pidev ning rajad lõplikud. Mõnikord on vaja laiendada integraali mõistet juhtudele, kus üks või mõlemad eeldused ei ole täidetud, need on päratud integraalid: lõpmatute rajadega integraal ja katkeva integreeritava funktsiooniga integraal. A) LÕPMATUTE RAJADEGA PÄRATUD INTEGRAALID Olgu integreerimispiirkonnaks [a,+] b b Leiame integraali J = f ( x ) dx piirväärtuse lim J = lim f ( x ) dx b + b + a a 8
178 0 3 0 0 Näide 29. Arvutada Poissoni integraal 2 e x dx. Arvutame esmalt kahekordse integraali x2 y2 IR e dxdy, D kus integreerimispiirkonnaks on ring, mille rajajoone võrrand on x2 y2 R2 Kuna integreerimispiirkonnaks on ring, siis on sobiv kasutada polaarkoordinaate x2 y2 2 R 2 cos 2 sin 2 IR e dxdy e d d 0 0 D
ANTUD JUHUL PIIRAVAD FUNKTSIOONIDE KIMPE SIRGED x=a ja x=b ja x-telg ja f(x) 0 · Niisiis on määratud integraal selline elukas: n b lim max xi 0 i =1 f( )x i i = a f(x) dx , kus arvu a nimetatakse integraali alumiseks rajaks ja arv b kannab nimetust integraali ülemine rada. Lõiku [a, b] nimetatakse integreerimispiirkonnaks, suurust x nimetatakse integreerimismuutujaks ja funktsiooni f(x) INTEGREERITAVAKS FUNKTSIOONIKS DEF 2 n lim Kui funktsiooni f(x) korral eksisteerib piirväärtus max xi 0 i =1 f(i)xi , siis nimetatakse funktsiooni f(x) integreeruvaks lõigul [a, b]
T¨ahistame xy-tasandi piirkonnale D vastava piirkonna -tasandil s¨umboliga . Siis muutja vahetuse valemist (7.25) saame u¨ leminekul ristkoordinaatidest polaarkoordinaatidesse valemi f (x, y)dxdy = f ( cos , sin ) dd . (7.18) D N¨ aide 1. Teisendame polaarkoordinaatidesse kahekordse integraali f (x, y)dxdy, D kui integreerimispiirkonnaks D on ring x2 + y 2 4y. Piirkond D on piiratud ringjoonega x2 + y 2 = 4y, mille teisendamisel saame x2 + y 2 - 4y = 0, st x2 + y 2 - 4y + 4 = 4 ehk x2 + (y - 2)2 = 4. Seega ringjoone keskpunktiks on (0; 2) ja raadiuseks 2. y 2 D x Joonis 7.9. Ring x2 + y 2 4y
annaabi.ee 
