Integraal 1- 1 (0)

Integraal



Integraal Heldena Taperson www.welovemath.ee 


jagatise muudu funktsiooni diferentserimiseks


0 1 korrutisega 2 1 x  x 2 1 a ax ln x 1 a x ln 1 1  n nx x cos x sin  x 2 cos 1 x e v u    v u    u c 
v u v u  v u 


Tuletise leidmise pöördoperatsiooniks on algfunktsiooni 
leidmine. funktsioon tuletis funktsioon tuletis 3 2 5 ) ( 2    x x x f ? ) (  x f 2 10 ) (    x x f x x f 3 ) (  


algfunktsiooniks pöördtehe 1. Funktsiooni                    nimetatakse funktsiooni                    ....................................
Piirkonnas X, kui selles piirkonnas                        .  2. Funktsiooni a)             algfunktsiooniks on näiteks ...........................
b)              algfunktsiooniks on näiteks ...........................
c)                algfunktsiooniks on näiteks ........................... 3.Funktsiooni algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks ja see on 
tuletise leidmise ........................................... 3 5  x 4 ln  x 10 cos   x ) ( ) ( x f x F   ) (x f y  ) (x F y  4 5x y  x y sin  x y 1 


Gümnaasiumi kitsas matemaatika, 
Avita


konstant Integreerimine on algfunktsioonide üldavaldise ehk 
määramata integraali leidmine. C x F x G   ) ( ) (    C x F dx x f ) ( ) (  dx x f ) ( ) (x f x C


C x+C n+1 x x 2 cos x sin x C ex  x a


summaga märgi ette xdx cos       2 1 sin cos C x C x C x x    cos sin  dx x4 C x C x     5 5 5 3 5 3


    C x C x       3 5 , 1 3 5 9 2 5 , 1 3 5 3 1   C x    5 2 cos 2 1 6 1 x 6 2  C 3  x C 3 1 x  C C 2 4 x 


5 2 2 5 6 ln6 x  C C x   18 ln6


  C x   5 9 4 4 C x C t     44 2 11 44 4


x x=a x=b 2  t C x   2 ln 2 1 2 C t 


Gümnaasiumi kitsas matemaatika, 
Avita


Gümnaasiumi kitsas matemaatika, 
Avita


Kui kõvertrapetsi kõverhaar on määratud võrrandiga y=f(x) ja selle kõvertrapetsi 
pindala on S(x), siis  Gümnaasiumi kitsas matemaatika, 
Avita ) ( ) ( x f x S  


määratud integraaliks a-st  b-ni ülemiseks rajaks alumiseks rajaks


algfunktsioon ülemise alumise ülemise alumise


21   3 1         3 2 7


Matemaatika lisamaterjal 12.kl, 
Avita 9 1 2 2 x x       2 5 2 2 2 3          6  5 , 1 1 x 5 , 1 1   x 5 , 1  x x                1 2 1 2 2 4     2 3 5 2 1 1 4      


2 2  x 2 2  x   2 2  x          2 1 2 2 ln 2 x x 2 ln 2 2 ln 4 7 2 2 ln 2 7 2 2 ln 2 1 4 2 ln 4 ) 1 ( 2 2 ln 2 2 2 2 ln 2 1 2                              x sin 1    x x sin 1 sin 1     x sin 1 x sin 1 2 3 1 2 3 6 2 1 3 cos 3 6     
   
              x x


  2 2 1 2 dt dx dx dx x      4   C t dt t dx x       10 2 1 1 2 5 4 4   5 1 10 1 10 1 10 1 0 10 1 1 2 10 1 2 1 0 5          x


summaga märgi ette


integraali märk vastupidiseks


          4 1 2 3 10 2 3 3 x x x       10 5 , 1 3 1 40 24 3 1 21 1 10 2 1 3 3 1 4 10 2 4 3 3 4 2 3 2 3        
   
                   


x=a x=b ristlõike ruumalade   b a; 2 r  ) (x S


0 6 0 6 0 6 0 6 4 5 , 0   x 16 4 4 2   x x x x x 16 2 4 12 2 3                   0 16 0 2 12 0 6 16 6 2 12 6 2 3 2 3 


4 1 1  x 1 2 2   x x 4 1 x x x   2 3 3 
  
   
   
       1 1 3 1 4 4 3 4 2 3 2 3  39


b)    3 5 2 0 5 2 0 4 2 2 0 2 6 , 25 0 5 2 4 5 4 4 2 ü x dx x dx x V               


c)            dx x dx x xdx V       0 0 0 2 2 cos 1 2 2 2 cos 1 sin 2 2 cos 1 sin ! 2 x x NB    3 2 0 5 , 0 2 0 sin 2 1 0 2 sin 2 1 2 2 sin 2 1 2 ü x x                             


Integraali seos füüsikaga Kui keha liigub mööda sirget kohast a kohani b muutuva jõu 
P mõjul, mis mõjub piki sirget ja sõltub läbitud tee pikkusest 
s, st P=f(s), kui a ˂b, siis avaldub tehtud töö    ds s f s s f A b a n i i n           1 0 lim


Näide. Venimata olekus vedru on 20 cm pikk. Jõud suurusega 
100 N suudab hoida selle vedru 5 cm pikemana. Kui palju tööd 
minimaalselt on vaja teha, et venitada vedru pikkuselt 25 cm 
pikkuseni 35 cm? Hooke’i seaduse põhjal venitusjõud P on vedru tasakaaluasendis
võrdeline vedru algpikkuse muuduga             st P=ks. Et 100 N suurune jõud hoiab vedru 5 cm = 0,05 m pikemana 
100=k·0,05, st k=2000 ja P=2000s. Meid huvitab töö pärast 
seda, kui vedru on juba venitatud 0,05 m võrra ja seda jätkatakse
Kuni vedru on pikenenud 15 cm = 0,15 m võrra. O. Prinits Matemaatika 11. klassile, Valgus 1988 s x       J s ds s A 20 05 , 0 15 , 0 1000 2 2000 2000 2 2 15 , 0 05 , 0 2 15 , 0 05 , 0      


Vastus. Kaarhalli otsa pindala on ligikaudu 0,2 m². Harjutusülesanne 5, lk. 77. 4 , 0 2   ax y ) 4 , 0 ; 0 (   0 ; 4 , 0        4 . 0 0 2 4 , 0 5 , 2 2 dx x S  2 3 4 , 0 0 3 2 , 0 0 4 , 0 4 , 0 3 4 , 0 5 , 2 2 4 , 0 3 5 , 2 2 m x x                         0 4 , 0 16 , 0   a 4 , 0 5 , 2 5 , 2 4 , 0 16 , 0 2        x y a a

Document Outline

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Integraali seos füüsikaga
• Slide 32
• Slide 33