Saame Kuid Siit saame W determinandi suletiseks Järelikult saame võrrandi (14.5) See on Liouille'i valem. Järelikult, kui , siis Liouille'i valemi (14.5) kohaselt ka , Järeldus 1 Kui lahendite vronskiaan on null mingis punktis, siis see on konstantselt null kõigis punktides. Järeldus 2 Kui homogeense lineaarse võrrandi lahendid on lineaarselt sõltumatud, siis nende vronskiaan on nullist erinev. Teoreem 14.3 Olgu y1 ja y2 kaks lineaarselt sõltumatut lineaarse homogeense võrrandi erilahendit, siis selle võrrandi üldlahend on (14.6) Kus C1 ja C2 on suvalised konstandid. Tõestus 14.3 Lemmas 13.1 järeldub, et y(x) on homogeense lineaarse võrrandi lahend. Näitame, et mistahes algtingimuste ja jaoks saab leida konstandid C1 ja C2 nii, et need tingimused oleksid rahuldatud. Kasutades võrdust (14.6) saame, et (14.7) See on lineaarse võrrandi süsteem C1 ja C2 suhtes, mille determinant on Vrosnki determinant , sest eelduse kohaselt on lahendid ja lineaarselt sõltumatud.
Konstantsete kordajatega lineaarne diferentsiaalvõrrand (KKLD) Teist järku homogeense KKLD d2y dy a0 2 + a1 + a2 y = 0 dx dx üldlahend avaldub lineaarselt sõltumatute erilahendite lineaarse kombinatsioonina y = C1 y1 + C 2 y 2 . Lineaarselt sõltumatute erilahendite korral on y 0 ainult juhul, kui C1 = C 2 0 . Üldlahendi kordajad C1 ja C 2 määratakse alg- ja/või rajatingimuste abil. Otsime ühte erilahendit kujul y = e x , siis saame (a 0 2 + a1 + a 2 ) e x = 0 . Seejuures karakteristlikul võrrandil a 0 + a1 + a 2 = 0 on üldjuhul kaks erinevat 2 lahendit - a1 + a12 - 4a 0 a 2 - a1 - a12 - 4a 0 a 2 1 = , 2 = . 2a 0 2a 0 Reaalarvuliste 1 ja 2 korral on KKLD erilahenditeks y1 = e 1 x ja y 2 = e 2 x .
.. {y(n-1((x0)=1. Oleme saanud võrandi Ly=0 n lahendit y 1(x),y2(x),...yn(x): moodustane nende fun. W(x). W[y1(x),...yn(x)]λ=x0=[Wronski det]=[1) 1,0..0 2) 0,1...0...] =1Kuna wronski det on nullist erinev siis on fun lineaarselt sõltumatud ja moodustavad LFS. Lagrange’i konstantide varieerimise meetod KV kasutatakse n-järku lin. mittehom DV ühe konkreetse lahendi leidmiseks. Võrrand Ly=f(x). Olgu teada vastava homogeense DV Ly=0 lahendite fs y 1...yn sarnaselt 1. Järku lin võr otsime erilahendit lin hom võrrandilahendi kuju järgi, seega otsime y * kujul y*= C1(x)y1(x)+ C2(x)y2(x)+... Cn(x)yn(x). Et def-tud y* oleks võrrandi Ly=f(x) lahend, on vaja määrata suurused C 1(x)...Cn(x). Et Ly=f(x)oleks rahuldatud, annab ühe tingimuse, on vaja n tundmatu määramiseks veel n-1 tingimust, valime ise. Y H= C1y1+ C2y2+... Cnyn yi=yi(x), i=1,2..n on LFS (Ly1=0,... Lyn=0). y*’=C1’(x)y1+... Cn’(x)yn+ C1(x)y1'+... Cn(x)yn’= C1(x)y1'+... Cn(x)yn’. y*’’=C1’(x)y1’+..
..,Cn=Cn0. Teoreem on tõestatud ning sellega on ka esimene teoreem tõestatud. y(x)=C10y1(x)+C20y2(x)+...+Cn0yn(x)+y*(x) rahuldab tingimusi 7. Lagrange'i konstantide varieerimise meetod. V: Konstantide varieerimist kasutatakse n-järku lineaarse mittehomogeense DV ühe konkreetse lahendi leidmiseks. Vaatame võrrandit Ly=f(x). Olgu teada vastava homogeense DV Ly=0 lahendite fundamentaalsüsteem y1,...,yn. Sarnaselt I järku lineaarsete võrranditega otsime ka nüüd erilahendit lineaarse homogeense võrrandi lahendi kuju järgi, seega otsime y* kujul y*=C1(x)y1(x)+C2(x)y2(x)+...+Cn(x)yn(x). Selleks, et nii defineeritud y* oleks võrrandi Ly = f(x) lahend, on vaja sobivalt määrata suurused C1(x), ..., Cn(x). See, et Ly = f oleks rahuldatud, annab meile ühe tingimuse, on vaja n tundmatu määramiseks veel n-1 tingimust, valime ise. yH=C1y1+C2y2+...+Cnyn
diferentseeruv punktis ( (), ... , ()) siis saame esituse ( + ) = () + fxi = (())( xi ( + ) - xi ()) + ( Leiame vastava lineaarse homogeense DV y' + p(x)y = 0 üldlahendi yh(x) = Ce-p(x)dx 2 ). Kuna vastavalt eedlusele on funktsioonid x i = xi ()( = 1, ... , ) diferentseeruvad punktis t, siis xi ( + ) = xi () + xi Otsime lineaarse mittehomogeense DV y' + p(x)y = q(x) erilahendit kujul y*(x) = C(x)e-p(x)dx () + ( ).Ilmselt ( 2) = ( ). Tõepoolest, lim 0 2 / = lim 0 ( xi () / ) ^2 = (xi Võrrandi y' + p(x)y = q(x) üldlahend on kujul y(x) = yh(x) + y*(x). ()) ^2 .Kuna f on diferentseeruv, siis osatuletised xi on tõkestatud. Seega ()/ = lim 0 fxi (())( xi () +
avaldame juhtelementidele (x2, x3) vastavad tundmatud: 7 3 1 x 2 = 12 - 2 x1 + 12 x 4 1 5 x3 = - + x 4 6 6 , tähistades x1 = C1, x4 = C2, saame süsteemi üldlahendiks: x1 = C1 7 3 1 x 2 = - C1 + C 2 12 2 12 1 5 x3 = - + C 2 6 6 x4 = C2 Saab kontrollida ka üldlahendit asendades saadud lahendid algsüsteemi, aga mõistlikum on Kontrollida mingit erilahendit. Seega kirjutame välja kas või ühe erilahendi: x1 = C1 = 1 x = C = -1 4 2 x 2 = -1 x3 = -1 Kontroll: 3 1 + 2 (-1) 5 (-1) + 4 (-1) = 2, 3 2 + 5 4 = 2, 2 = 2; 6 1 + 4 (-1) - 4 (-1) + 3 (-1) = 3, 6 4 + 4 3 = 3, 3 = 3; 9 1 + 6 (-1) - 3 (-1) + 2 (-1) = 4, 9 6 + 3 -2 = 4, 4 = 4. Üldise LVS (6.1) lahenduvuse küsimusele annab vastuse Cronecker-Capelli teoreem: Lineaarne võrranditesüsteem (6.1) on lahenduv siis ja ainult siis , kui selle tundmatute
6 6 avaldame juhtelementidele (x2, x3) vastavad tundmatud: 7 3 1 x 2 = 12 - 2 x1 + 12 x 4 1 5 , x3 = - + x 4 6 6 tähistades x1 = C1, x4 = C2, saame süsteemi üldlahendiks: x1 = C1 7 3 1 x 2 = - C1 + C 2 12 2 12 1 5 x3 = - + C 2 6 6 x4 = C2 Saab kontrollida ka üldlahendit asendades saadud lahendid algsüsteemi, aga mõistlikum on Kontrollida mingit erilahendit. Seega kirjutame välja kas või ühe erilahendi: - 40 - Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina x1 = C1 = 1 x = C = -1 4 2 x 2 = -1 x3 = -1 Kontroll: 3 1 + 2 (-1) 5 (-1) + 4 (-1) = 2, 3 2 + 5 4 = 2, 2 = 2; 6 1 + 4 (-1) - 4 (-1) + 3 (-1) = 3, 6 4 + 4 3 = 3, 3 = 3; 9 1 + 6 (-1) - 3 (-1) + 2 (-1) = 4, 9 6 + 3 -2 = 4, 4 = 4. Üldise LVS (6
annaabi.ee 
