d) a (b c) = (a b) c a, b, c korrutamise assotsiatiivsus e) a (b + c) = ab + ac a, b, c korrutamise distributiivsus 2) - hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. 4. Algarvud. 1) Algarvuks nimetatakse 1-st suuremat naturaalarvu, mis jagub ainult iseenda ja 1-ga. 2) Eratosthenese sõel. a) Nimekiri arvudest 2..N. b) Nimekirjast tõmmatakse maha need arvud, mis on mingi algarvu kordsed. 5. Algarvud. 1) Eukleidese teoreem. a) Teoreem : algarvude hulk on lõpmatu. b) Tõestus : Tähistame p1=2, p2=3, p3=5, ... Oletame vastuväiteliselt, et leidub suurim algarv pn. Vaatleme naturaalarvu a=p1 p2 ... pn + 1.
III aastatuhandel e.Kr. hakkasid koostama Vahemere äärsed inimed geograafilisi kirjeldusi. Egiptlaste peamine sõidutee oli Niiluse jõgi. Nende kõrval avastasid foiniiklased, kes jõudsid välja Atlandi ookeanile, ületades esimestena ekvaatori. Nad tegid esimestena merereisi ümber Aafrika. Arvatakse, et nad jõudsid ka Indiasse ja Kagu-Aasiasse. Kreeka hakkas tegema avastusi u. 800 a. e.Kr. Kreeklaste geograafilised teadmised on kogutud Eratosthenese raamatusse. Raamatus väidetakse, et maa ümbermõõt on 39 500 km. See arv täpsutati alles 1800 aasta pärast, mil tõestati, et maakera ümbermõõt on 40 075 km. Teine tähtis avastaja oli Ptolemaios. Hiljem, esimese aastatuhande lõpus paistsid oma avastusretkega silma Skandinaavia päritoluga viikingid. Nad kasutasid sõiduks viikingilaevu. Nad avastasid Islandi (795. a.), Gröönimaa (981. a.) ja Põhja-Ameerika (u. 1000. a.) Pärast pikemat vaheaega algas 15
46 eKr - Julius Caesar, kelle käsul astronoom Sosigenes - koostas korrapärase kalendri(11min pikem aasta). Juuliuse kalender reformiti paavst Gregoriuse poolt 1582. aastal. Reform seisnes selles, et iga 400 aasta kohta jäetakse kolm lisapäeva ära. Henri Poincaré: Teadus on üles ehitatud faktidele, nii nagu maja on üles ehitatud kividest; kuid faktide kogu on samavõrd teadus kui kivihunnik on maja Maa diameetri ja ümbermõõdu määras teadaolevalt esimesena Eratosthenes ca 235.a. eKr. Eratosthenese andmetest saab Maa raadiuseks 6370 km Ebateadus on uskumuste süsteem, mida tema pooldajad peavad teaduseks või selle haruks. ANTIIKAJA TEADLASED : Pythagoras 570 eKr - Temalt pärineb sõna “matemaatika”. Pythagorase teoreem. Tema idee oli, et maailmas valitseb üldine harmoonia, mida saab väljendada arvude ja nendevaheliste seostega. tõdemus, et lüüra keelte pikkuste aritmeetiline suhe on seotud muusikaliste helide kõrgusega.
algtegurite korrutisena. Kuna selliselt leitud arvu 30 tegurid on kõik algarvud, siis öeldakse, et me lahutasime arvu 30 algteguriteks. Näide 2. 24=4*6, 24=4*6=(2*2)*(2*3)=2*2*2*3. 7. Ajaloolisi andmeid Algarvudest olid teadlased huvitatud juba väga kauges minevikus. Eukleides, kui Vanakreeka matemaatik, näitas, et algarvude hulk on lõpmatu. Seejärel hakati otsima võimalusi, kuidas eraldada algarvud naturaalarvude hulgast. Seda meetodit hakati nimetama Eratosthenese sõelaks. Kuidas selle võttega leida algarve 1 ja 20 vahel? Kui kirjutada välja arvud 1-st 20-ni, tuleb hakata maha tõmbama neid arve, mis pole algarvud: arv 1, arvu 2 kordsed (4, 6,..., 20) ja kõik arvu 3 kordsed, mis pole veel maha tõmmatud. Niiviisi ,,sõelutakse" välja kõik algarvud, mis on väiksemad kui 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ja 19. Tänapäeval püütakse leiutada valemit, mille abil võimaldaks leida, kui palju on
ringi keskpunkti, samuti sellise sirglõigu pikkust. Diameeter on raadiusest 2 korda pikem. Ruutjuurealust avaldist (b² - 4ac) nimetatakse ruutvõrrandi ax² + bx + c = 0 diskriminandiks ja tähistatakse tähega D. Näide 1 Kui D > 0, siis on ruutvõrrandil 2 reaalarvulist lahendit. Näide 2 Kui D = 0, siis on ruutvõrrandil 2 ühtivat (võrdset) reaalarvulist lahendit. Näide 3 Kui D < 0, siis ruutvõrrandil ei ole reaalarvulisi lahendeid. Eratosthenese sõel meetod algarvude leidmiseks. Selgitus : Kirjutame välja arvud 1-st n-ni: 1, 2, 3, 4, ..., n. Kriipsutame maha arvu 1, mis ei ole algarv. Edasi võtame arvu 2 ja kriipsutame maha kõik tema kordsed: 4, 6, 8 jne. Pärast seda on esimene allesjäänud arv 3. Kriipsutame maha kõik arvu 3 kordsed: 6, 9, 12 jne. Järgmine allesjäänud arv on 5, kriipsutame maha kõik arvu 5 kordsed jne. Kui oleme niiviisi kõik kordsed eemaldanud, jäävad järele parajasti kõik algarvud.
1o 111 km kohta) -Ringikujuline vari kuuvarjutuse ajal Oma aja kohta erakordselt täpse maa ümbermõõdu määratluse tegi 250.a. e.m.a Kreeka mõttetark Eratosthenes, kes arvutas suvisel pööripäeval Syenes Seniidis oleva Päikese, samal päeval Alexandrias 7,2 kraadise päikese varjunurga ning Syene ja Alexandria vahemaa alusel maa kaarepikkuse ja selle alusel ümbermõõdu 43 000 km, mis on vaid 3000km pikem meridiaani mööda mõõdetud tegelikust ümbermõõdust Eratosthenese meetod oli esimene teadaolev Maa kerakujulisuse korrektne määrang Maa ei oma ideaalselt korrapärast kuju. Lähim lihtne geomeetriline keha, mis vastab Maa kujule, on pöördellipsoid Maa kuju määravaks pinnaks loetakse geoidi Geoidi mõiste on tekkinud gravitatsioonilisest mudelist (Newton, Clairaut), peegeldab täpselt määratlevate füüsikaliste jõudude tasakaalu. Loodjoone järgi seatakse üles
[16]. Fibonacci arvud. Üldliikme valem ja rakendused. [17]. Lucas` arvud. [18]. Catalani arvud. [19]. Sündmused ja tõenäosus. Statistiline tõenäosus. Bernoulli suurte arvude seadus. [20]. Sõltuvad ja sõltumatud sündmused. Sündmuste summa ja korrutis. [21]. Täistõenäosuse valem. Bayesi reegel. [22]. Bernoulli valem (k katse õnnestumine katsete üldarvu n korral). [23]. Kord- ja algarvud. Algarvude jaotus, algarvulisuse kontroll, Eratosthenese sõel. [24]. Naturaalarvude kanooniline kuju. Suurim ühistegur ja vähim ühiskordne. [25]. Fermat teoreem. Pseudoalgarvud ja Carmichaeli arvud. [26]. Eukleidese algoritm. [27]. Lineaarsed diofantilised võrrandid. [28]. Täisarvude kongruentsid. Kongruentsi omadusi. [29]. Moodularitmeetika. [30]. Algarvulisuse Fermat` test. Miller-Rabini test. [31]. Graafid ja graafide omadused. Ahelad ja tsüklid graafis. [32]. Euleri graafid. Hamiltoni tsüklid. [33]. Puud. Puude omadused. [34]
Kes olid vanakreeka tuntumad kõnemehed? Sofistid, kes ei ole koolkond vaid rändõpetajad, seadsid üleandeks õpetada ,,hästi ja veenvalt" kõnelema poliitika ja moraali küsimustest. Sofistide põhiliseks õpetuseks oli retoorika ehk kõnekunsti teooria. Retoorika oli vajalik selleks, et poliitikud saaksid veenvalt esineda rahvakoosolekutel ning kodanikud enda väiteid tõestada kohtuprotsessidel. Tuntumad kõnemehed olid: Lysias (u 459-380 eKr), kellelt säilinud 34 kõnet (,,Kaitsekõne Eratosthenese mõrva puhul"); Isokrates (436-338 eKr), kellelt on säilinud 21 kõnet (,,Panegüürika", ,,Rahu") ning kes rajas Ateenasse retoorikakooli. Demosthenes (384-322 eKr), kellelt on säilinud 61 kõnet (,,Kõned Philippose vastu"). 45. Millises Aristophanese komöödias oli Sokrates üks peategelasi? Kuidas teda on seal kujutatud? Sokrates on peategelane Aristophanese komöödias ,,Pilved", kus teda kujutatakse sofistina, kuigi ta tegelikult oli selle vastu. 46
Jumalate kättemaks ajalugu mõjutava tegurina. Ülistab pigem spartat. 25. Millise filosoofide koolkonna mõjul tekkis Antiik-Kreekas kõnekunst ja miks? Kes olid vanakreeka tuntumaid kõnemehed? Tekkis sofistide koolkonna mõjul. Retooriline proosa tekkis kohtute tõttu. Pidid ennast ise kaitsma. Sofistide eesmärk õpetada hästi ja veenvalt. Lysias ( u 459-380 eKr ). Antiikajal oli Lysiase nime all käibel üle 400 kõne, 233 peeti ehtsaks, säilinud 34 kõnet. Eesti k ,,Kaitsekõne Eratosthenese mõrva puhul" Vikerkaar 1996 nr 8/9. Isokrates ( 436-338 eKr) Isokrateselt on säilinud 21 kõnet ja 9 kirja. 390.a paiku rajas ta Ateenasse 1. retoorikakooli, kus õppisid paljud poliitikud ja kõnemehed. Isokratese haridusideaalil oli tuev järelmõju Rooma kõnemehele Cicerole. Ta koostas ka ilukirjanduslikke kõnesid. Õppis sofistide juures. 30 türanni valitsemisajal kaotas ta oma varanduse, pidi tegutsema kohtukõnede kirjutajana. Tasakaalustatud kõnestiil.
Selles programmis on kasutatud eelkontrolliga korduslauset eeskätt sellepärast, et faili pikkus ja seega ka korduste arv ei ole teada. Kui sisendfail on tühi, siis ei ole vajadust ühtegi sümbolit läbi vaadata. Ja lisaks tundub mulle, et sellel programmil võib olla kursusest osavõtjatele praktiline rakendusala ;) Näide 3. Ü l e s a n n e: Leida kõik algarvud, mis on väiksemad kui 1000. Ma loodan, et Te teate, mis on algarv. Ja loodetavasti olete Te kuulnud, mis asi on Eratosthenese sõel? Ei ole? Niimoodi nimetatakse meetodit, mille abil võibki leida etteantud naturaalarvust väiksemad algarvud. Vaatame seda siis lähemalt. Algarvu definitsioonist selgub, et algarv on ühest suurem ning jagub parajasti arvuga 1 ja iseendaga. Kui me nüüd võtame meile antud arvude hulga { 2, ..., 999 } ( arvu 1 ei ole vajadust vaadelda) ja hakkame nende hulgast eemaldama arve, mis jaguvad 2-ga, 3-ga, 5-ga ja teiste juba leitud algarvudega, siis jäävadki alles ainult algarvud
} fclose(sf); /* sulgeme failid */ fclose(vf); return 0; } /* P r o g r a m m i l õ p p */ Selles programmis on kasutatud eelkontrolliga korduslauset eeskätt sellepärast, et faili pikkus ja seega ka korduste arv ei ole teada. Kui sisendfail on tühi, siis ei ole vajadust ühtegi sümbolit läbi vaadata. Näide 3. Ü l e s a n n e: Leida kõik algarvud, mis on väiksemad kui 1000. Ma loodan, et Te teate, mis on algarv. Ja loodetavasti olete Te kuulnud, mis asi on Eratosthenese sõel? Ei ole? Niimoodi nimetatakse meetodit, mille abil võibki leida etteantud naturaalarvust väiksemad algarvud. Vaatame seda siis lähemalt. 69 / 115 Algarvu definitsioonist selgub, et algarv on ühest suurem ning jagub parajasti arvuga 1 ja iseendaga. Kui me nüüd võtame meile antud arvude hulga { 2, ..., 999 } ( arvu 1 ei ole vajadust vaadelda) ja hakkame nende hulgast eemaldama
annaabi.ee 
