Tükeldused: Milliste omadustega relatsioon on ekvivalentsisuhe? Binaarushet ehk relatsiooni nimetatakse ekvivalentsisuhteks, kui ta on refleksiivne, sümmeetriline ja transitiivne. Mis on ekvivalentsiklass? Ekvivalentsisuhte alushulga sellist osahulka, mille kõik elemendid on omavahel relatsioonis, nimetatakse ekvivalentsiklassiks. Mis on hulga tükeldus? Hulga tükeldus on selle hulga mittelõikuvate osahulkade hulk, millel on kindlat omadused. Millest tükeldus koosneb? Tükeldus kui hulkade hulga elementideks ehk mittelõikuvateks osahulkadeks on ekvivalentsisuhte kõik ekvivalentsiklassid. Mis on tükelduse plokk? Tükelduse koosseisu kuuluvaid ekvivalentsiklasse nimetatakse ka tükelduse plokkideks ehk tükelduse tükkideks. Millisel juhul on kaks hulgaelementi ekvivalentsed?
Seos hulgal A on alamhulk A x A-le. Pöördrelatsioon R-1 on relatsiooni täiend. aRb -> Elemendid a ja b on seoses R Refleksiivsus - iga a korral aRa (a on iseendaga seoses) Sümmeetria iga a korral aRb => bRa (kõik seosed on vastastikused) Transitiivsus iga a korral aRb && bRc => aRc (põhimõtteliselt järjestusseos) Ekvivalentsiseoseks nimetatakse seost, mis on refleksiivne, sümmeetriline ja transitiivne. Elemendiga a (A element) ekvivalentsete elementide hulka nimetatakse a ekvivalentsiklassiks (hulgal A). Elemendiga a ekvivalentsete elementide hulka tähistatakse [a] = {b | aRb}, kus R on ekvivalentsiseos. Teoreem 1: Ekvivalentsiseos R hulgal A. Iga elemendipaari a ja b korral kehtib seos [a] = [b] või [a] ühisosa [b] on tühihulk. Tõestus: Kuna R on sümmeetriline ja transitiivne, näitame, et kui aRb ja suvaline element [a]-st on z, siis sümmeetria tõttu bRa ja aRz transitiivsuse järgi bRz ehk siis z kuulub [b]. Siit nähtub, et [b] on alamhulgaks [a]-le.
b. Defineerime hulga X iga elemendi x X jaoks tema ekvivalentsiklassi relatsiooni R järgi: [x]R = {y X | xRy}. Näide: Olgu X lausemuutujatest A ja B moodustatud lausearvutuse valemite hulk ja FRK tähendagu valemite F ja G samaväärsust. Siis valemi F ekvivalentsiklass on kõigi temaga samaväärsete ainult muutujaid A ja B sisaldavate valemite hulk. Selgitasime välja, et hulk X jaguneb 16 ekvivalentsiklassiks. c. Teoreem hulga jaotumisest ekvivalentsiklassideks: Kui R on hulgal X defineeritud ekvivalentsirelatsioon, siis kehtib: i. Kui kehtib xRy, siis [x]R = [y]R, ii. Kui xRy ei kehti, siis [x]R [y]R = , iii. Ekvivalentsiklasside ühend on hulk X. Tõestus. 1) Kehtigu xRy. Vastavate ekvivalentsiklasside võrduse näitamiseks näitame, et kumbki on teise alamhulk. Olgu z [x]R
vähima paaridearvuga transitiivne relatsioon, mis sisaldab endas alamhulgana relatsiooni. 30. Millega osutub võrdseks transitiivse relatsiooni transitiivne sulund? Transitiivse relatsiooni transitiivne sulund on võrdne transitiivse relatsiooni endaga. Tükeldused 1. Milliste omadustega relatsioon on ekvivalentsisuhe? Relatsiooni nimetatakse ekvivalentsisuhteks, kui ta on refleksiivne, sümmeetriline ja transitiivne. 2. Mis on ekvivalentsiklass? Ekvivalentsiklassiks nimetatakse ekvivalentsisuhte sellist osahulka, mille kõik elemendid on omavahel relatsioonis. 3. Mis on hulga tükeldus? Hulga tükeldus on selle hulga mittelõikuvate osahulkade hulk, millel on kindlad omadused. 4. Millest tükeldus koosneb? Tükelduse elementideks on ekvivalentsisuhte kõik ekvivalentsiklassid. 5. Mis on tükelduse plokk (ehk tükelduse tükk)? Tükelduse koosseisu kuuluvaid ekvivalentsiklasse nimetatakse ka tükelduse plokkideks ehk tükelduse tükkideks. 6
OMADUSED: 1) Refleksiivsus - iga seotud vektor on ekvivalentne iseendaga 2) Transitiivsus - Kui esimene seotud vektor on ekvivalentne teisega ning teine kolmandaga siis on ka esimene ja kolmas seotud vektor omavahel ekvivalentsed. 3) Sümmeetria - Kui üks seotud vektor on ekvivalentne teise seotud vektoriga, siis on ka teine ekvivalentne esimesega. Ekvivalentsiklass - Seotud vektoriga AB E 0 ekvivalentsete seotud vektorite hulka { : ~ AB } nimetame ekvivalentsiklassiks moodustajaga AB . Ekvivalentsiklassi moodustajaga AB tähistame abil. Seega := { : ~ AB }. Vabavektor ehk vektor Hulga E elemente, täpsemalt hulga ekvivalentsiklasse, nimetame edaspidi vabavektoriteks ehk lühidalt vektoriteks. Nullvektor - Vektorite summa . Vektorite ja y summaks nimetatakse vektorit z E, mis saadakse järgmisel teel: 1) valime mingi punkti A E ning leiame sellise punkti B E, et AB ;
omavahel lõikumatud ja üheskoos katavad nad kogu hulga X. Ühte klassi kuuluvad elemendid on kõik omavahel ekvivalentsed. o Olgu X lausemuutujatest A ja B moodustatud lausearvutuse valemite hulk ja FRG tähendagu valemite F ja G samaväärsust. Siis valemi F ekvivalentsiklass on kõigi temaga samaväärsete ainult muutujaid A ja B sisaldavate valemite hulk. Selgitasime välja, et hulk X jaguneb 16 ekvivalentsiklassiks. Teoreem hulga jaotumisest ekivalentsiklassideks o Teoreem. Kui R on hulgal X defineeritud ekvivalentsirelatsioon, siis kehtib: 1) Kui xRy kehtib, siis [x ] R=[ y ]R , 2) Kui xRy ei kehti, siis [x ]R ∩ [ y ] R=∅ , 3) Ekvivalentsiklasside ühend on hulk X . 21 25. Mitterange ja range järjestusrelatsioon. Tähtsamad näited. Lineaarsed ja mittelineaarsed järjestused. Näited. [2]
hulgal A . A=R , siis moodustavad klassijaotuse poollõigud K i=¿ , i Z Näide: Kui . Meenutame, et seost R hulgal A nimetatakse ekvivalentsusseoseks, kui ta on (a) refleksiivne, s.t kui aRa iga a A korral; (b) sümmeetriline, s.t kui aRb , siis bRa ; (c) transitiivne, s.t kui aRb ja bRc , siis aRc . Definitsioon Olgu R ekvivalentsusseos hulgal A . Ekvivalentsiklassiks elemendi a A järgi nimetatakse hulga A osahulka , mis koosneb hulga A kõigist elementidest, mis on [a] R seoses R elemendiga a , s.t [a]R ¿={x A :aRx } . Definitsioon Olgu R ekvivalentsusseos hulgal A . Hulka, mille elementideks on seosele R vastava klassijaotuse kõik klassid, nimetatakse hulga A faktorhulgaks ekvivalentsusseose R järgi ja tähistatakse A / R . [a]R={x A : aRx } A / R={[ a ]R : a A }
PEATÜKK 13. VEKTORID RUUMIS Märkus 13.6 Seotud nullvektor on nii samasuunaline kui vastassuunaline iga teise seotud vektoriga. Definitsioon 13.9 Seotud vektorit AB nimetame ekvivalentseks seotud vektoriga CD, tähistame AB CD abil, kui |AB| = |CD| ja AB CD. 13.2 Vabavektorid Definitsioon 13.10 Seotud vektoriga AB ekvivalentsete seotud vektorite hulka {XY | XY AB} nimetame ekvivalentsiklassiks moodusta- jaga AB. Viimast tähistame AB abil. Seega AB := {XY | XY AB}. Märkus 13.7 Seotud nullvektorid moodustavad omaette ekvivalentsiklassi 0 := {XX | X E}. Definitsioon 13.11 Tähistame E3 = {XY | XY E3 }, E2 = {XY | XY E2 } Siin mõtleme, et näiteks ruu-
annaabi.ee 
