funktsiooni väärtus kasvab. Tähis( X ) Funktsiooni kahanemispiirkonnaks nimetatakse arvtelje piirkonda, mil argumendi väärtuse kasvades funktsiooni väärtus kahaneb. Tähis( X ) Argumendi väärtust, mille korral funktsioon saavutab oma suurima või vähima väärtuse nimetatakse ekstreemumkohaks.X min/ Xmax Funktsiooni väärtust, mille korral funktsiooni saavutab oma suurima või vähima väärtuse nimetatakse ekstreemumiks. Ymin/Ymax Ekstreemumpunktiks nimetatakse funktsiooni graafiku punktiks, mille korral kordinaatideks on ekstreemumkoht ja ekstreemum. Emin/max(x, y) Funktsiooni y=f(x) nimetatakse paaris funktsiooniks, kui iga x väärtuse korral määramispiirkonnast kehtid võrdus f(-x)=f(x) ja graafiks on sümmeetriline y-telje suhtes. Funktsiooni y=f(x) nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x väärtuse korral määramispiirkonnast kehtid võrdus f(-x)=-f(x) ja graafiks on sümmeetriline 0-punkti suhtes.
16. Kahe muutuja funktsiooni globaalsed ekstreemumid. Funktsioonil f on punktis P0D globaalne maksimum, kui piirkonna D igas punktis P kehtib võrdus f(P)f(P0). Funktsioonil f on punktis P0D globaalne miinimum, kui piirkonna D igas punktis P kehtib võrdus f(P)f(P0). Globaalse maksimumi ja globaalse miinimumi ühine nimetus on globaalne ekstreemum. Punktis P0, kus funktsioonil f on globaalne ekstreemum, nim. funktsiooni f globaalseks ekstreemumpunktiks. Funktsiooni f globaalne maksimum ja miinimum on vastavalt funktsiooni f suurim ja vähim väärtus piirkonnas D. 17. Kahe muutuja funktsiooni tinglikud ekstreemumid. Definitsioon, võrduse (16.4) tuletamine ja selle sisu selgitus, Lagrange abifunktsioon, süsteemi samaväärtus võrdusega (16.4). Funktsioonil f on punktis P0 tinglik lokaalne maksimum (miinimum), kui punktil P0 on olemas ümbrus nii et ümbruse U
lõpmatu või ei eksisteeri, nimetatakse funktsiooni y = f(x) kriitilisteks punktideks. 25. Funktsiooni lokaalne ekstreemum- öeldakse, et funktsioonil f on punktis a lokaalne maksimum ( miinimum ), kui leidub niisugune punkti a ümbrus , kus f (x) <= f(a) maksimum f (x) >= f(a) miinimum Lokaalse maksimumi ja miinimumi ühine nimetus on lokaalne ekstreemum. 26. Funktsiooni lokaalne ekstreemumpunkt- punkti ( a ; f(a) ) nimetatakse lokaalseks ekstreemumpunktiks. ( x ja y väärtus mõlemad ) 27. Funktsiooni globaalne ekstreemum- funktsiooni f globaalseks e. absoluutseks maksimumiks (miinimumiks) piirkonnas A X nimetatakse tema suurimat (vähimat) väärtust selles piirkonnas. Globaalse maksimumi ja globaalse miinimumi ühine nimetus on globaalne ekstreemum. 28. Käänukoht- punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse joone käänupunktiks. Käänukoht on käänupunkti x väärtus. 29
(x) ≥ f (a)). Lokaalse maksimumi ja miinimumi ühine nimetus on lokaalne ekstreemum. Argumendi väärtust x = a nimetatakse kas maksimum- või miinimumkohaks. Punkti (a; f(a)) nimetatakse lokaalseks ekstreemumpunktiks (maksimum- või miinimumpunktiks) Mis on funktsiooni globaalsed Funktsioon f globaalseks ehk ekstreemumid? Kuidas neid absoluutseks maksimumiks leida? (miinimumiks) piirkonnas A ⊆ X nimetatakse tema suurimat (vähimat) väärtust selles piirkonnas. Globaalse maksimumi ja globaalse miinimumi ühine nimetus on globaalne
y = f (x) f (x) f (a) f (x) f (x) f (x) f (a) 0 x a x x 0 x a x x Lokaalse maksimumi ja miinimumi ühine nimetus on lokaalne ekstreemum. Punkti (a; f (a)) nimetatakse lokaalseks ekstreemumpunktiks (maksimum- või miinimumpunktiks). 9 Ekstreemumi tarvilikud ja piisavad tingimused Ekstreemumi tarvilik tingimus: Lokaalne ekstreemum võib funktsioonil olla vaid tema kriitilises punktis. Ekstreemumi piisavad tingimused: Olgu funktsioon y = f (x) pidev kriitilises punktis a. 1) kui f (x) > 0 (s.t. f kasvab) punkti a vasakpoolses ümbruses ja f (x) < 0 (s.t
ümbrus, et f(x) f(a) Punkti A=(a,f(a)) nimetatakse lokaalseks maksimumpunktiks. Kui f''(a)<0 siis punktis A range lokaalne maksimum. Öeldakse, et funktsioonil y=f(x) on kohal a lokaalne miinimum, kui leidub selline ümbrus, et f(x)f(a) Punkti A=(a,f(a)) nimetatakse lokaalseks miinimumpunktiks. Kui f´´(a)>0, siis punktis A range lokaalne miinimum. Kui definitsioonis on mitterangete võrratuste asemel ranged võrratused siis nimetatakse punkti A rangeks lokaalseks ekstreemumpunktiks. 6. Mis on funktsiooni globaalsed ekstreemumid? Kuidas neid leida? Funktsiooni f globaalseks ehk absoluutseks maksimumiks piirkonnas A kuulub hulka X, nimetatakse tema suurimat väärtust selles piirkonnas. Funktsiooni f globaalseks ehk absoluutseks miinimumiks piirkonnas A kuulub hulka X nimetatakse tema vähimat väärtust selles piirkonnas. Globaalne ekstreemum kui lokaalne ekstreemum kehtib iga x korral. Leidmiseks: 1) leida funktsiooni kriitilised punktid f'(x)=0
f(x) f(a) Punkti A=(a,f(a)) nimetatakse lokaalseks maksimumpunktiks. Kui f´´(a)<0 siis punktis A range lokaalne maksimum. Öeldakse, et funktsioonil y=f(x) on kohal a lokaalne miinimum, kui leidub selline ümbrus, et f(x) f(a) Punkti A=(a,f(a)) nimetatakse lokaalseks miinimumpunktiks. Kui f´´(a)>0 siis punktis A range lokaalne miinumum. Kui definitsioonis on mitterangete võrratuste asemel ranged võrratused siis nimetatakse punkti A rangeks lokaalseks ekstreemumpunktiks. 6. Mis on funktsiooni globaalsed ekstreemumid? Kuidas neid leida? Funktsiooni f globaalseks ehk absoluutseks maksimumiks piirkonnas A kuulub hulka X, nimetatakse tema suurimat väärtust selles piirkonnas. Funktsiooni f globaalseks ehk absoluutseks miinimumiks piirkonnas A kuulub hulka X nimetatakse tema vähimat väärtust selles piirkonnas. Globaalne eksreemum kui lokaalne ekstreemum kehtib iga x korral. Leidmiseks: 1) leida funktsiooni kriitlised punktid f´(x)=0
suunas. Märkus: Gradientvektor on funktsiooni nivoopinna normaaliks ja iseloomustab funktsiooni kiireima muutumise sihti. Definitsioonide kohaselt funktsiooni väärtus ei muutu nivoopinna w` puutuja t0 suunas: =0 t` Gradient: funktsiooni w = f (P ) gradient on n-mõõtmeline vektor, mille koordinaatideks on vaadeldava funktsiooni esimest järku osatuletised: grad w = ( w1 , w2 ,..., wn ) Kahe muutuja funktsiooni ekstreemum Ekstreemumpunkt: Ekstreemumpunktiks on funktsiooni w = f (P ) määramispiirkonna sisepunkt A kui sellel punktil leidub selline ümbrus S(A,r), milles funktsiooni muut f = f ( A) - f ( P ) säilitab märki. 2 Maksimumpunkt: f > 0 A lokaalne maksimum Miinimumpunkt: f < 0 A lokaalne miinimum Statsionaarne punkt: Kui funktsioonil w = f (P ) on määramispiirkonna punktis A kõik osatuletised wi , i = 1,2,..
tuletis on lõpmatu või ei eksisteeri, nimetatakse funktsiooni y = f(x) kriitilisteks punktideks. 25. Funktsiooni lokaalne ekstreemum - öeldakse, et funktsioonil f on punktis a lokaalne maksimum ( miinimum ), kui leidub niisugune punkti a ümbrus , kus f (x) <= f(a) maksimum f (x) >= f(a) miinimum Lokaalse maksimumi ja miinimumi ühine nimetus on lokaalne ekstreemum. 26. Funktsiooni lokaalne ekstreemumpunkt - punkti ( a ; f(a) ) nimetatakse lokaalseks ekstreemumpunktiks. ( x ja y väärtus mõlemad ) 27. Funktsiooni globaalne ekstreemum - funktsiooni f globaalseks e. absoluutseks maksimumiks (miinimumiks) piirkonnas A X nimetatakse tema suurimat (vähimat) väärtust selles piirkonnas. Globaalse maksimumi ja globaalse miinimumi ühine nimetus on globaalne ekstreemum. 28. Käänukoht - punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse joone käänupunktiks. Käänukoht on käänupunkti x väärtus. 29
annaabi.ee 
