e 1 +x1 ⃗ e 1+ …+ x n ⃗ en , kus x 1 ∈ R (i=1,2, … , n) . Lõplikumõõtmeline – vektorruum, milles leidub lõplikust arvust vektoritest koosnev baas B . Lõpmatumõõtmeline – kui eelnevalt mainitud baasi ei leidu. TEOREEM: Lõplikumõõtmelise vektorruumi baasivektorite arv ei sõltu baasi valikust. DEF2: Vektorruumi V baasivektorite arv on vektorruumi mõõde ehk dimensioon. Lin.kombo ⃗x =x 1 ⃗ e 1 + x1 ⃗ e 1+ …+ x n ⃗ en kordajad x 1 ∈ R (i=1,2, … , n) on vektori ⃗x koordinaadid antud baasi suhtes. LAUSE: Vektorruumi
2a2+...+nan=0 . Kui kõik kordajad on nullid on süsteem lineaarselt sõltumatu. 4)Vektorruum ja tema baas. Vektori koordinaadid antud baasi suhtes. Vektorruumi baas on tema max lineaarselt sõltumatute vektorite hulk/süsteem. Mistahes vektori lisamisel muutub süsteem lineaarselt sõltuvaks. Me võime avaldada lisatud vektori baasi elementide kaudu. Antud baasis on vektorite koordinaadid üheselt määratletud; võrdsetel vektoritel on võrdsed koordinaadid. Baasivektorite arvu me nim selle vektori mõõtmeks(dimensioon). 5)Polaarkoordinaadid tasandil. (kõverjoonelised koordinaadid), mis on määratud polaarraadiuse(pikkus) ja polaarnurgaga. Seosed riskoordinaatidega x=r*cos ja y=r*sin ning r=x2+y2 ja =arctan y/x. 6)Maatriks, parameetrid, erikujulised maatriksid. Maatriksiks nimetame nende arvude tabelit, milles on m rida ja n veergu. Maatriksi rea elemendid on vaadeldavad n-mõõtmelise vektori koordinaatidena(reas asuvad sama vektori
lineaarne kombinatsioon, siis öeldakse, et vektorid e 1, e2, . . . ,en moodustavad LINEAARSELT SÕLTUMATU SÜSTEEMI. DEFINITSIOON 4. Kui leidub mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon (A), mis võrdub nulliga, siis öeldakse, et vektorid e1, e2, . . . , en moodustavad LINEAARSELT SÕLTUVA SÜSTEEMI. DEFINITSIOON 5. Vaadeldava vektorite hulga maksimaalset sõltumatute vektorite hulka nimetatakse selle vektorite hulga BAASIKS. Baasivektorite arvu nimetatakse vaadeldava vektorite hulga MÕÕTMEKS. MÄRKUS. Sõltumatute vektorite hulga maksimaalsus tähendab seda, et kui lisada baasile kas või üks vektor, tekib lineaarselt sõltuv vektorite süsteem. DEFINITSIOON 6. Kui vaadeldava baasi elemendid e1, e2, . . . , en on paarikaupa ristuvad ühikvektorid, siis nimetatakse seda baasi ORTONORMEERITUD BAASIKS. 4 VEKTORI KOORDINAADID ANTUD BAASIS TEOREEM
lineaarne kombinatsioon, siis öeldakse, et vektorid e 1, e2, . . . ,en moodustavad LINEAARSELT SÕLTUMATU SÜSTEEMI. DEFINITSIOON 4. Kui leidub mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon (A), mis võrdub nulliga, siis öeldakse, et vektorid e1, e2, . . . , en moodustavad LINEAARSELT SÕLTUVA SÜSTEEMI. DEFINITSIOON 5. Vaadeldava vektorite hulga maksimaalset sõltumatute vektorite hulka nimetatakse selle vektorite hulga BAASIKS. Baasivektorite arvu nimetatakse vaadeldava vektorite hulga MÕÕTMEKS. MÄRKUS. Sõltumatute vektorite hulga maksimaalsus tähendab seda, et kui lisada baasile kas või üks vektor, tekib lineaarselt sõltuv vektorite süsteem. DEFINITSIOON 6. Kui vaadeldava baasi elemendid e1, e2, . . . , en on paarikaupa ristuvad ühikvektorid, siis nimetatakse seda baasi ORTONORMEERITUD BAASIKS. 4 VEKTORI KOORDINAADID ANTUD BAASIS TEOREEM
baasiks, kui baasivektorid moodustavad ortonormeeritud vektorite süsteemi. Ortonormaalne reeper: i*j = 0, kui ij ja 1, kui i=j. Eukleidilise ruumi reeperit R = (O; B), milles B = {1; ...; n} on vektorruumi V ortonormaalne baas, nimetatakse ortonormaalseks reeperiks ehk teljestikuks. = (a1; ...; an) = a11 + ... + ann = aii; = (b1; ...; bn) = b11 + ... + bnn = bjj. * = (aii) * (bjj) = (... + aii + ...) * (... + bjj + ...) = (aibj)(ij) => skalaarkorrutis on määratud, kui on teada baasivektorite skalaarkorrutised i*j. Kui reeper on ortonormaalne, siis * = aibi = a1b1 + ... + anbn Vektori pikkus |||| avaldub ortonormaalse reeperi korral kujul |||| = sqrt(*) = sqrt(a12 + a22 + ... + an2) Punktide A(a1; ...; an) ja B(b1; ...; bn) vaheline kaugus (A,B) avaldub ortonormaalse reeperi korral kujul (A,B) = ||v(AB)|| = sqrt((b1-a1)2 + ... + (bn - an)2) 30. Sirge ja tema võrrandid. Sirge võrrandid kahemõõtmelises eukleidilises ruumis. = (V,P) - n-mõõtmeline eukleidiline ruum.
..+ alfn*an= SUM( i=1; n)alfi*ai= 0 kehtib vaid siis, kui kõik kordajad ai on nullid. Vektorite hulga lineaarse sõltuvuse tarvilik ja piisav tingimus. Vektorruumi baas ja mõõde. Vektori koordinaadid Vektorruumi lineaarselt sõltumate vektorite maximaalarvu nim vektorruumi mõõtmex ja tähistataxe dim V. n-mõõtmelise vektorruumi V^n suvalist n lineaarset sõltumatute vektorite hulka B = {e1,e2,..,en} nim vektor baasix. Iga vektor x V^n avaldub üheselt baasivektorite ei lineaarkombinatsioonina x= SUM(i=1;n) (xi *ei). Kordajad xi( i= 1,2,..,n) nim vektori x koordinaatidex antud baasil ja tähistataxe x=( x1,x2,....,xn). Sirge ja tasand ruumis Sirge vektorvõrrand nim vek) x= x0+ ts, kus t kuulub R => (x,y,z ) = (x0,y0,z0) +t(sx,sy,sz) =>parameetrilised võrrandid ja kanoonilised võrrandid => (x,y,z) = ( x0+tsx, y0+ tsy, z0+ tsz) => { x= x0+tsx; y= y0+tsy; z= z0+tsz: => avaldame t saame lõpux kanooniline võrrand => x-x0/sx= y- y0/sy=z-z0/ sz
Hüperbooli fookused - Punkte F1 ja F2 nimetame hüperbooli fookusteks. Hüperpooli keskpunkt - Ristreeperi alguspunkt ehk pooluse O paigutatud lõigu F1F2 keskpunkti. Hüperbooli imaginaarsed e ebatipud punktid B1(0,-b) ja B2(0,b) Hüperbooli tipud - A1(-a, 0), A2(a, 0) , leitakse hüperbooli kanoonilisest võrrandist asenduste x1 = 0 ja x2 = 0 teel. Hüperbooli harud 2 tükki, millest hüperbool koosneb. Hüperbooli sümmeetriateljed- kanoonilise reeperi baasivektorite poolt määratud koordinaatteljed on hüperbooli sümmeetriatelgedeks. Hüperbooli reaaltelg (imaginaartelg) Hüperbooli samal sümmeetriateljel asuvat tipupaari (ebatipupaari) poolt välja eraldatud lõik ja tema pikkus. Hüperpooli poolteljed Lõike A1O,OA2,B1O ja OB2 ning nende pikkusi a ja b nimetame hüperbooli pooltelgedeks. Lõike A1O,OA2 ja nende pikkust a nimetame hüperbooli reaalseks poolteljeks ehk reaalpoolteljeks ning lõike
Olgu vektorruumi V baasiks B={ 1, 2,..., n}. Siis on iga vektor avaldatav lineaarkombinatsioonina Definitsioon. Arve 1, 2, ..., n . nimetatakse vektori koordinaatideks antud baasil B. Teoreem. Vektori koordinaadid baasil B on on üheselt määratud. Tõestus. Oletame, et ja on veel mingid arvud 1,..., n nii, et Siis 1- 1 1+ 2- 2 2 + ...+ n- n n millest baasivektorite lineaarse sõltumatuse tõttu järeldub, et 23. Vektorite skalaarkorrutis ja eukleediline vektorruum. Eesmärgiga üldistada vektori pikkuse ja nurk vektorite vahel mõisted mistahes vektoruumile defineerime skalaarkorrutise: Definitsioon. Skalaarkorrutiseks vektorruumis nimetatakse reeglit, mis igale kahele vektorile seab vastavusse parajasti ühe reaalarvu, mida tähistatakse ja
annaabi.ee 
