Tingimisi koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus............................................ 6 7. Funktsionaalread. Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus. Koonduvus normi järgi. Ühtlane koonduvus.Weierstraßi tunnus................................................................................................ 6 8.Astmeread. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste. Koonduvusraadiuse leidmine. Abeliteoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega....................... 8 9. Astmeridade liikmeti diferentseerimine ja integreerimine. Astmeridade rakendusi..............9 10. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral:.......................................................................................... 9 11.Fourier' rida ortogonaalsete polünoomide süsteemi järgi Lehendre'i või Tsebõsovi polünoomide näitel.................................................................................
Tingimisi koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus............................................ 6 7. Funktsionaalread. Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus. Koonduvus normi järgi. Ühtlane koonduvus.Weierstraßi tunnus................................................................................................ 6 8.Astmeread. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste. Koonduvusraadiuse leidmine. Abeliteoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega....................... 8 9. Astmeridade liikmeti diferentseerimine ja integreerimine. Astmeridade rakendusi..............9 10. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral:.......................................................................................... 9 11.Fourier' rida ortogonaalsete polünoomide süsteemi järgi Lehendre'i või Tsebõsovi polünoomide näitel.................................................................................
Teine Kui astmerea korral ak≠0(k>n) leidub lõplik või lõpmatu piirväärtus Siis selle rea koonduvusraadius avaldub kujul Abeli teoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega. Kui astmerida koondub punktis x0, siis see astmerida koondub absoluutselt iga x korral, kui |x|<|x0| ja koondub ühtlaselt hulgal {q<0). Xq={X : |X|≤q<|x0|} Kui astmerida hajub punktis x0, siis see astmerida hajub iga x korral, kui |x|>|x0| 9. Astmeridade liikmeti diferentseerimine ja integreerimine. Astmeridade rakendusi Liikmeti integreerimine: Kui lõigul [a,b] integreeruvate funktsioonide rida (1) koondub sel lõigul ühtlaselt, siis rida (1) võib lõigul [a,b] liikmeti integreerida, st . Liikmeti diferentseerimine: Kui re a (1) korral ja koondub ühtlaselt
𝑛→∞ Uurime rea ∑∞ 𝑛 𝑘=1 1 = 1 + 1+. . . +1+. . . koonduvust. Et 𝑆𝑛 = ∑𝑘=1 1 = 𝑛 siis lim 𝑆𝑛 = lim 𝑛 = +∞ , seega see rida on hajuv. 9. Astmeridade liikmeti diferentseerimine ja integreerimine. Astmeridade rakendusi. Liikmeti integreerimine: Kui lõigul ka neid lihtsustada algebralisteks võrranditeks. 𝑛→∞ 𝑛→∞ Näide 2. Uurime rea ∑∞ 1 koonduvust
ehk üldisemalt n n =0 kus a on mingi arv, nimetatakse astmereaks. Arve a n nimetatakse astmerea kordajaiks. Muutujavahetusega x - a = t võib alati realt (2) üle minna reale (1). Iga astmerea korral leidub selline R , kus 0 R , et astmerida (1) (või (2)) koondub absoluutselt, kui x < R vastavalt ( x - a < R ), ja hajub, kui x > R (vastavalt x - a > R ). Vahemikke (- R; R ) ja (a - R; a + R ) nimetatakse vastavalt astmeridade (1) ja (2) koonduvus- vahemikeks ja suurust R koonduvusraadiuseks. Koonduvusvahemike otspunktides võib astmerida koonduda (tingimisi, absoluutselt) või hajuda. Astmerea koonduvusraadiuse R leidmiseks võib kasutada järgmisi valemeid: 1 a 1 = lim n +1 ja = lim a n , R n a n R n
1.tõestus. Eelduse põhjal rida koondub, siis tema üldliige anx0n0, kui n. Mis aga tähendab, et kõik
rea liikmed on abs väärtuse poolest väiksemad kui M. M+Mx/x0+Mx/x02+...+Mx/x0n+...
Viimane rida osutub x
· Leibnizi tunnus. Kui nlim a n = 0 ja a n a n +1 , siis vahelduvate märkidega rida (3) koondub.Seejuures Rn = S - S n < an+1. Seega, kui lähendame S Sn , siis absoluutne viga on väiksem kui esimese ärajäetud liikme absoluutväärtus. n 24. Astmeread. Astmeridade a n x ja a n ( x - c ) n koonduvuspiirkonnad. n =0 n =0 Astmereaks nimetatakse rida, mille liikmeteks on funktsioonid f, kus f n ( x ) = a n x n , st rida n 2 a n x = a 0 + a1 x + a 2 x + ... (4) n =0 või üldisemalt n 2
. . 160 6.6.1 Astmerea koonduvuspiirkond. Cauchy–Hadamardi teoreem . . . . . . 160 6.6.2 Astmerea summa omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.6.3 Funktsiooni Taylori rida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.7 Trigonomeetriliste funktsioonide defineerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.7.1 Definitsioonid astmeridade abil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.7.2 Definitsioonid funktsionaalvõrrandite abil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.7.3 Arv π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5 6.8 Funktsioonide arendamine astmereaks . . . . . .
annaabi.ee 
