I RÜHM 2x 4 0 15 1. 2p. Väga lihtne ülesanne. Vastus: x>2 3 x 2 4 2x 2 6 x 0 6x3 6x 2. 3p. Arvteljele tuleb kanda 4 väärust, nende hulgas on 2 kahekordset väärtust ja null. Intervallmeetodil lahendades alustad paremalt joonistamist ALT. Lõppvastuses on ka üks üksik väärus. Vastuseks on poollõik või üksik element 2 x 2 32 3. 2p. Ruutvõrratuse lahendamine, mille lahendamine eeldab parabooli joonistamist ja sealt vastuse lugemist. Vastuseks on lõik x2 4 0 4. 1p.
PP = 1 . VP PP . Seega on x = -3 lähtevõrrandi jaoks võõrlahend. Kui x = 4 , siis VP = 4 - 25 -16 = 1 = PP . Vastus: x = 4 3. Ülesanded 1. Kanna arvteljele järgmised reaalarvude piirkonnad ja esita nende tähised: 1. lõik -3-st 8-ni 4. x 6,1 või x > 10 2. 2 < x < 10 5. x 7 3. - 3 x < 4,5 6. lõpmatu poolvahemik: 4-st suuremad arvud. 2. Leia joonise abil hulkade A =]2;7[ ja B =[3;9] ühisosa. 3. Leia joonise abil hulkade A =]-7;-2] ja B = [ - 5;5] ühend. 4. Kanna arvteljele hulk A = R [ - 3;6[ ja esita märgi abil. 5
Igale arvtelje punktile vastab üks kindel reaalarv ja igale reaalarvule vastab mingi kindel punkt arvteljel. · Reaalarvude hulk R on kinnine liitmisel, lahutamisel, korrutamisel ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust on alati reaalarv. REAALARVUDE PIIRKONNAD Reaalarve võime kujutada punktidena arvteljel. Valime arvteljel kaks suvalist reaalarvu a ja b nii, et a < b. Kandes need reaalarvud kasvavas järjekorras arvteljele, näeme ,et punktid a ja b jaotavad arvtelje kolmeks osaks e. piirkonnaks. xb x Sellised piirkonnad kujutavad endast reaalarvude osahulki. Mõnedele neist hulkadest on antud spetsiaalsed nimetused ja tähised. Need on esitatud järgmises tabelis. Nimetus Tingimus Tähis Graafiline esitus Lõik a-st b-ni Axb [a; b]
Nüüd on võrratuse teine pool üldiselt mitme avaldise korrutis ja/või jagatis. Viimasest võib ära jätta kõik ruutjuured ja alati positiivsed tegurid (näiteks alati positiivsed 5 ruutkolmliikmed jne); paarituarvuliste astendajate korral võib ära jätta astendaja. Kõik alati negatiivsed tegurid võib asendada arvuga -1. Järgnevalt leitakse kõigi ülejäänud tegurite nullkohad (lahendades vastavad võrrandid) ning kantakse need arvteljele. Seejärel tõmmatakse pidev kõverjoon, mis lõikab arvtelge ainult sellele eelnevalt kantud punktides (nullkohtades) x1, x2, x3, ... nagu järgmisel joonisel. + + + x4 x3 x2 x1 x Kõvera joonistamist tuleb alustada ülalt paremalt kui teisendatud võrratuse vasaku poole ees ei ole "-" märki ja alt paremalt kui vasaku poole ees on "-" märk.
Muutuvate märkidega read, ehk read, mille liikmete märgid vahelduvad, s.t. read, millel on kuju u 1-u2+u3-u4+...+u2k-1-u2k+..., kus un>0. Teoreem 38.1. (Leibnizi teoreem). Kui vahelduvate märkidega reas u1-u2+u3-u4 (un>0) on liikmed sellised, et u1>u2> u3>... ja , siis on see rida koonduv ja tema summa on positiivne arv, mis ei ületa rea esimest liiget. Leibnizi teoreemi saab geomeetriliselt illustreerida järgmiselt: Kanname arvteljele osasummad. Osamuudusummade vastavad punktid lähenevad teatud punktile s, mis kujutab rea summat. Seejuures asetsevad paarisnumbrilistele osasummadele vastavad punktid punktist s vasakul ja paaritunumbrilistele osasummadele vastavad punktid paremal. 16. Muutuvate märkidega read
võrratusesüsteem. Selleks lahendatakse iga võrratus eraldi. Lahendihulgaks on süsteemi kuuluvate võrratuste lahendihulkade ühisosa. 4.4 Ruutvõrratused Üldkuju on Lahendamiseks lahendame ruutvõrrandi, skitseerime graafiku ja leiame graafikult, kus on funktsiooni väärtused pos ja neg 4.5 Intervallmeetod Võrratuse a(x-a1)(x-a2)...(x-an)>0 (kus a>0) lahendamiseks kanname kõigepealt vastava funktsiooni nullkohad arvteljele. Niimoodi jaguneb arvtelg lõplikuks arvuks intervallideks, millest igaühes funktsioon säilitab oma märgi + või -. Tõmbame läbi nullkohtade abijoone, alustades paremalt ülalt. Seejuures abijoon lõikab x-telge, kui nullkoht on paarituarvulise korsusega ning puudutab x-telge, kui on paarisarvulise kordsusega. Saadud jooniselt leiame võrratuse lahendid. 4.6 Murdvõrratused Murdvõrratuseks nimetatakse võrratust, mis sisaldab muutujat murru nimetajas. 4
Näide: 2x² - 5x + 3 > 0 (a=2>0, seega harud ülespoole) 2x² - 5x + 3 = 0 5 52 -4 2 3 5 16 5 4 x= = = x1 = 1 x2 = 1,5 2 2 4 4 x<1 v x>1,5 Intervallide meetod Näide 1: (x + 3)(x + 1)x(x - 2)(x 4) 0 (leiame vastava funktsiooni nullkohad) -3 -1 0 2 4 Kanname nullkohad arvteljele: Vastus: x3 v -1x0 v 2x4 Näide 2: 20 (x + 5)(x + 4)²(x 1)³(x 2)(x 3)² 0 -5 -4 1 2 3 Vastus: -5x1 v x2 Abijoon lõikab x-telge, kui nullkoht on paarituarvulise kordusega ning puudutab x-telge, kui on paarisarvulise kordusega. Murdvõrratus
x 2,7 6 Reaalrvude vahemikus (2,7 ; 6 ) on täisarvud 3, 4 ja 5. Vastus. {3 ; 4 ; 5}. Näide 9. Lahendada võrratus x 2 − x − 2 > 0 . Lahendus. Lahendame ruutvõrrandi x 2 − x − 2 = 0 , kasutame taandatud ruutvõrrandi lahendivalemit: x = 0,5 ± 0,25 + 2 = 0,5 ± 1,5 , x1 = −1 , x2 = 2 . 38 Kanname lahendid arvteljele ja joonistame kõvera läbi nende lahendite. Alustame 2-st paremalt ja ülalt, kuna x 2 kordaja a = 1 , s.t. a > 0 (vaata kõrgema astme võrratuste või ruutvõrratuste lahendamist): _________ ___________ x -1 2 Vastus
Intervallide (vahemike) meetodit kasutatakse selliste võttatuste lahendamiseks, mis esituvad kujul (x – x1)(x – x2) … (x – xn) > 0, kus arvud x1; x2; … ; xn on kasvavas järjekorras. Märgi > asemel võib olla ka üks märkidest (<, ≥ või ≤). Näide 1. Lahendame võrratuse (2x – 1)(3 – x)(x + 2) > 0 Kõigepealt leiame need x väärtused, mille korral tegurid on võrdsed nulliga, need on x1 = 0,5; x2 = 3 ja x3 = –2. Märgime need arvud kasvavas järjekorras arvteljele ning määrame korrutise märgi x > 3 korral. Korrutis on sel juhul negatiivne ja sel juhul asub graafik allpool x-telge. Kuna kõik võrrandi (2x – 1)(3 – x)(x + 2) = 0 lahendid on paarituarv kordsed, siis läbib joon kõiki neid punkte ning jooniselt loemegi võrratuse lahendihulga. Joone tõmbamist alustame joonisel näidatud noole suunas (võib toimida ka vastupidi). Vastus: L ;2 0,5;3 Näide 2. Lahendame võrratuse (2x – 1)2(3 – x)(x + 2) ≤ 0
Ka irratsionaalarvudel leidub kümnendsüsteemis esitus. Ainus mure on, et neid ei saa selles kujus kunagi täpselt esitada – irratsionaalarvude kümnendesitus on lõp- matult pikk. Näiteks arvu esimesed 20 kohta on , aga edasi tulevad jälle täiesti ennustamatud numbrid ning veelgi hullem – neid tuleb lõpmatult palju. Pannes arvteljele kirja kõik ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud, saame lõpuks kokku terve arvtelje – ükski punkt ei jää puudu ega vahele. Kõik arvtelje arvud kokku moodustavad reaalarvude hulga, mida tähistatakse arvuga . Kui ratsionaalarvud saime üles ehitada täisarvudest, siis kõikide irratsionaalarvude täpne matemaatiline konstrueerimine on juba veidi keerulisem. Võime küll irratsio-
annaabi.ee 
