...}. pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed väärtused sellel lõigul, st lõigus [a; b] leiduvad Jada x väärtusi x(n), n N tähistame xn ja nimetame jada liikmeteks. Jada x tähistame {x1, x2,...} punktid [a, b] ja [a, b], nii et või { xn} või { xn}/ n=1 või { xn}n N. min x [a,b] f(x)=f() , max x [a,b] f(x)=f(). Kui xn R (n N), st x : N R, siis nimetame jada x arvjadaks. Tõestada Bolzano-Cauchy teoreem vahepealsetest väärtustest. Lõigul pidev fun-n omab iga Ütleme, et jada {xn}/ n=1 koondub suuruseks a (ehk jada {xn}/ n=1 piirväärtus on a) kui iga 0 < väärtust, mis paikneb ekstremaalsete väärtuste vahel. R korral leidub C N nii et xn U(a) iga n > C korral. Tähistame xn a või xn n / a või lim/n xn = a. 10. Def. Fun-ni y=f(x)
Jada x tähistame {x1, x2, . . .} või {xn} või {xn}∞ n=1 või {xn}n∈N.Kui xn ∈ R (n ∈ N), st x : N −→ R, siis nimetame jada x järgnevad tingimused: arvjadaks. * Ütleme, et jada koondub suuruseks a ehk jada piirväärtus on a kui iga 0 < ε ∈ R 1). ∀ u ∈ V ||u||≥ 0 ;||u||=0 u=Θ korral leidub n ∈ N nii et Xn ∈ Uε(a) iga n > N korral.
k = lim =1 ja b = lim [ f ( x ) - kx ] = lim - x = 0, x x x x x siis vaadeldava joone parempoolseks kaldasümptoodiks on sirge y=x. Analoogiliselt saame, et sirge y= x on ka antud joone vasakpoolne kaldasümptoot. §5 JADAD JA READ 1. Arvjadad Arvjadaks nimetatakse naturaalarvulise argumendiga funktsiooni x = x( n), n =1,2,.... Tähistame x(n) = x n . Arvu x n nimetatakse jada x=(xn) üldliikmeks ( ka elemendiks). Kirjutame ka x=(xn) = (x1, x2,...,xn,...). Definitsioon 13. Jada x=(xn) nimetatakse koonduvaks, kui eksisteerib lõplik piirväärtus lim x n = a. n Jada, mis ei koondu ( nlim x n = ± või lim x n ), , nimetatakse hajuvaks.
k = lim ja b = lim [ f ( x ) - kx ]. x - x x - III Joone y = f(x ) rõhtasümptootideks on sirged y =b. Sel juhul xlim f ( x) = b või xlim f ( x) = b. Rõhtasümptoodid on kaldasümptootide erijuhud, mille korral tõus k = 0. - 21. Arvjadad. Arvjada koonduvus ja hajuvus. Arvjadaks nimetatakse naturaalarvulise argumendiga funktsiooni x = x( n), n =1,2,.... Tähistame x ( n) = x n . Arvu x n nimetatakse jada x=(xn) üldliikmeks ( ka elemendiks). Kirjutame ka x=(xn) = (x1, x2,...,xn,...). Jada x=(xn) nimetatakse koonduvaks, kui eksisteerib lõplik piirväärtus lim x n = a. n
Kui h (x) := x2 + 1 ja f (x) :=(x – 1)1/2, siis h ◦ f (x) = h (f (x)) = (f (x)) 2 + 1 = (x − 1) + 1 = x iga x ∈ [1,∞) korral. Seega h ◦ f : [1,∞) → [1,∞) on identsusfunktsioon intervallis [1,∞) Kui h (x) := x2 + 1 ja f (x) :=(x – 1)1/2, siis h ◦ f (x) = h (f (x)) = (f (x))2 + 1 = (x − 1) + 1 = x iga x ∈ [1,∞) korral. Seega h ◦ f : [1,∞) → [1,∞) on identsusfunktsioon intervallis [1,∞) . 7. Jada piirväärtus, selle ühesus Arvjada mõiste - Arvjadaks nimetatakse funktsiooni, mille määramispiirkonnaks x x (n), n 1,2,.... on kõigi naturaalarvude hulk N. Defineerida jada piirväärtus ning koonduvad ja hajuvad jadad, tuua näiteid koonduvatest ja hajuvatest jadadest. Arvu a nimetatakse jada (xn) piirväärtuseks (kirjutame kas või xn → a), kui ∀ε > 0 ∃N ∈ IN : n ≥ N ⇒ |xn − a| < ε. Kui jadal on lõplik piirväärtus, siis nimetatakse seda jada koonduvaks,
naturaalarvude hulk N = {1, 2, 3, . . .}. Jada x va¨ artusi ¨ x(n) (n N) tahistame ¨ xn ja nimetame jada liikmeteks. ¨ Jada x tahistame {x1 , x2 , . . .} voi ~ {xn } ~ {xn } voi ~ {xn }nN . n=1 voi Kui xn R (n N), st x : N - R, siis nimetame jada x arvjadaks. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 8 / 24 Jada piirva¨ artus ¨ Jada koonduvus ja piirva¨ artus ¨ Definitsioon ¨ et jada {xn } Utleme, n=1 koondub suuruseks a (ehk jada {xn }n=1 piirva¨ artus
R := {f (x) | x ∈ D} aga väärtuste hulgaks (range, область значений). Punktide hulka Grf := {(x, f (x)) | x ∈ D} xy-tasandil nimetatakse funktsiooni f graafikuks. See, mis puudutab funktsioonide esitus- viise, nende liike, graafikuid jne., on lugejale tuttav eelnevatest matemaatilise analüüsi kur- sustest. 2.1 Koonduvad jadad 2.1.1 Koonduvate jadade üldised omadused Arvjadaks (sequence, последовательность) nimetatakse reaalarvuliste väärtustega funkt- siooni x, mille määramispiirkond on kõigi naturaalarvude hulk N. Selline funktsioon x : N → R seab igale naturaalarvule n vastavusse reaalarvu x (n), mis tavaliselt kirjutatakse kujul xn . Neid funktsiooni väärtusi xn nimetatakse arvjada x liikmeteks, naturaalarve n ∈ N aga indeksiteks. Arvjada x ennast tähistame sümboliga (xn ), vajaduse korral märgime juurde
annaabi.ee 
