asendada vastavate u-st s˜oltuvate suurustega. Erinevalt m¨a¨aramata integraalist, tuleb m¨a¨aratud integraali korral lisaks suurustele x ja dx asendada ka integreerimisl˜oik koos rajadega. Uus integreerimisl˜oik koosneb funktsiooni u = ϕ(x) v¨a¨artustest, mis on saadud argumendi x varieerimisel ¨ule kogu esialgse integreerimisl˜oigu [a, b]. Uhtlasi on uue integraali alumine raja v˜ordne ¨ u v¨a¨artusega, mis vastab muutuja x v¨a¨artusele a ja ¨ulemine raja on v˜ordne u v¨a¨artusega, mis vastab muutuja x v¨a¨artusele b. Seega on uue integraali alumine raja ϕ(a) ja ulemine raja ϕ(b). Kokkuv˜ottes saame j¨argmise valemi: b φ(b) ∫ f ( x ) dx = ∫ f [ψ ( u ) ] ψ ' ( u ) du . a φ(a) b b a a | ∫ udv=uv ba −∫ vdu
. , bm ) ruumis Rm . Vaatleme punktist A punkti B suunatud sirgl~oiku. See on punktide P = (x1 , x2 , . . . , xm ) hulk, mille koordinaadid xi rahuldavad parameetrilisi v~orrandeid x1 = a1 + (b1 - a1 )t x2 = a2 + (b2 - a2 )t ... xm = am + (bm - am )t , t [0, 1] . Antud hulgas vastab parameetri v¨a¨artusele t = 0 punkt A ja parameetri v¨a¨ artusele t = 1 punkt B. Nimetame sellist sirgl~oiku vektoriks ruumis Rm ja t¨ahistame -- -- -- AB. Vektori AB pikkust t¨ahistame s¨ umboliga |AB| ja defineerime selle kui -- -- punktide A ja B vahelise kauguse, st |AB| = |AB|. Vektoriga AB samav¨ a¨
hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. N¨aiteks keha tempe- ratuur v~oib teoreetiliselt omada k~oiki v¨a¨artusi, mis on suuremad v~oi v~ordsemad kui absoluutne miinimum -273.15 C. Seega on temperatuuri muutumispiirkond l~opmatu pooll~oik [-273.15; ). 3 Funktsiooni m~ oiste. Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks (ehk u ¨heseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale v¨ a¨ artusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y u ¨he kindla v¨a¨artuse. Muutujat x nimetatakse seejuures s~oltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y s~oltuvaks muutujaks. Matemaatikas on levinud funktsiooni t¨ahised f, g, u, v, , jne. Olgu antud funktsioon f , mille argumendiks on x ja s~oltuvaks muutujaks y. Muutuja y v¨a¨artust, milleks funktsioon f kujutab argumendi x, nimetatakse funktsiooni f v¨a¨
hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. N¨aiteks keha tempe- ratuur v~oib teoreetiliselt omada k~oiki v¨a¨artusi, mis on suuremad v~oi v~ordsemad kui absoluutne miinimum -273.15 C. Seega on temperatuuri muutumispiirkond l~ opmatu pooll~oik [-273.15; ). 3 Funktsiooni m~ oiste. Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks (ehk u ¨heseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale v¨a¨artusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y u ¨he kindla v¨a¨artuse. Muutujat x nimetatakse seejuures s~oltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y s~oltuvaks muutujaks. Matemaatikas on levinud funktsiooni t¨ahised f, g, u, v, , jne. Olgu antud funktsioon f , mille argumendiks on x ja s~oltuvaks muutujaks y. Muutuja y v¨a¨artust, milleks funktsioon f kujutab argumendi x, nimetatakse
Kirjaviisi x X loetakse: suurus x kuulub piirkonda X. ¨ Uldlevinud on kahe nn kvantori - universaalsuskvantori ja olemasolu- kvantori kasutamine. S¨ umbolit loetakse teksti sees "iga"ja s¨ umbolit loetakse "eksisterib"v~oi "leidub". Kirjaviisi x > 0 [a; b] loetakse: iga positiivse x v¨a¨artuse korral leidub l~oik [a; b]. 1.1.2 Funktsiooni m~ oiste ja esitusviisid Definitsioon 1.1. Kui igale muutuja x v¨a¨artusele mingisugusest piirkonnast X on vastavusse seatud u ¨ks muutuja y kindel v¨a¨artus piirkonnast Y , siis muutujat y nimetetakse muutuja x funktsiooniks. Seda asjaolu m¨argitakse matemaatilise anal¨ uu ¨sis y = f (x), y = F (x), y = (x) jne. Muutuvat suurust x nimetatakse s~oltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutuvat suurust y s~oltuvaks muutujaks ehk funktsiooniks.
n=0 1 (I -A)-1 = := An I -A n=0 Definitsioon 19. Kui leidub arv ja vektor v = 0 nii, et Av = v, siis ¨oeldakse, et on maatriksi A omav¨ a¨artus ja vektor v on maatriksi A (omav¨a¨artusele vastav) omavektor. Teoreem 20. Maatriksrida f (A) koondub parajasti siis, kui vas- tav astmetrida f () koondub maatriksi A iga omav¨ a¨artuse kor- ral. Teoreem 21. Kui f (A) koondub ning on A omav¨ a¨artus, siis f () on maatriksi f (A) omav¨ a¨artus. II. Maatriksarvutus 21 8 ¨ Ulesandeid 8.1 ¨
-2 -2 -4 -4 6. Arkusfunktsioonid . Funktsiooni y = sin x (X = R Y = [ - 1; 1]) igale argu- mendi v¨ a¨ artusele x vastab t¨ ¨ks funktsiooni v¨a¨artus y [-1; 1]. Kui fikseerida apselt u u ¨ks siinusfunktsiooni v¨ artus y [-1; 1], siis see v¨a¨artus saavutatakse l~opmata paljude a¨ erinevate argumendi v¨ a¨ artuste x korral. Seda l~opmata mitmest funktsiooni t¨ahistatakse x =Arcsin y. R~ ohutame, et funktsioonidel y = sin x ja x =Arcsin y on u ¨hine graafik. Kui soovime u ¨ks¨
annaabi.ee 
